De cadena

Este artículo trata sobre la curva matemática. Para otros usos, consulte Catenaria (desambiguación) .

"Chainette" vuelve a dirigir aquí. Para la uva de vino también conocida como Chainette, consulte Cinsaut .

Curva plana formada por un cable colgante

Una cadena que cuelga de puntos forma una catenaria.

Las líneas eléctricas aéreas que cuelgan libremente también forman una catenaria (más visiblemente visible con líneas de alto voltaje y con algunas imperfecciones cerca de los aisladores ).

La seda en una telaraña formando múltiples catenarias elásticas .

En la física y la geometría , una catenaria ( Estados Unidos : / k æ t ən ɛr i / , UK : / k ə t i n ər i / ) es la curva que un colgante idealizado cadena o cable asume bajo su propio peso cuando está apoyado sólo en sus extremos.

La catenaria tiene forma de U, superficialmente similar en apariencia a un arco parabólico , pero no es una parábola .

La curva aparece en el diseño de ciertos tipos de arcos y como una sección transversal del catenoide , la forma que asume una película de jabón delimitada por dos anillos circulares paralelos.

La catenaria también se llama alisoide , chainette , ^[1] o, particularmente en las ciencias de los materiales, funicular . ^{[2] La} estática de cuerdas describe las catenarias en un problema de estática clásica que implica una cuerda colgante. ^[3]

Matemáticamente, la curva de catenaria es la gráfica de la función coseno hiperbólico . La superficie de revolución de la curva catenaria, la catenoide , es una superficie mínima , específicamente una superficie mínima de revolución . Una cadena colgante asumirá una forma de menor energía potencial que es una catenaria. ^[4] Las propiedades matemáticas de la curva de catenaria fueron estudiadas por primera vez por Robert Hooke en la década de 1670, y su ecuación fue derivada por Leibniz , Huygens y Johann Bernoulli en 1691.

Las catenarias y las curvas relacionadas se utilizan en arquitectura e ingeniería (por ejemplo, en el diseño de puentes y arcos para que las fuerzas no den lugar a momentos flectores). En la industria del petróleo y el gas en alta mar, "catenaria" se refiere a un tubo ascendente de catenaria de acero , una tubería suspendida entre una plataforma de producción y el lecho marino que adopta una forma de catenaria aproximada. En la industria ferroviaria, se refiere al cableado aéreo que transfiere energía a los trenes. (Esto a menudo admite un cable de contacto más ligero, en cuyo caso no sigue una verdadera curva de catenaria).

En óptica y electromagnetismo, las funciones de seno y coseno hiperbólico son soluciones básicas a las ecuaciones de Maxwell. ^[5] Los modos simétricos que constan de dos ondas evanescentes formarían una forma catenaria. ^{[6] [7] [8]}

Historia

Modelo de catenaria de Antoni Gaudí en la Casa Milà

La palabra "catenaria" se deriva de la palabra latina catēna , que significa " cadena ". La palabra inglesa "catenaria" generalmente se atribuye a Thomas Jefferson , ^{[9] [10]} quien escribió en una carta a Thomas Paine sobre la construcción de un arco para un puente:

Recientemente he recibido de Italia un tratado sobre el equilibrio de los arcos, del Abbé Mascheroni. Parece ser un trabajo muy científico. Todavía no he tenido tiempo de dedicarme a ello; pero encuentro que las conclusiones de sus demostraciones son que cada parte de la catenaria está en perfecto equilibrio. ^[11]

A menudo se dice ^[12] que Galileo pensó que la curva de una cadena colgante era parabólica. En su Two New Sciences (1638), Galileo dice que una cuerda colgante es una parábola aproximada, y observa correctamente que esta aproximación mejora a medida que la curvatura se hace más pequeña y es casi exacta cuando la elevación es menor de 45 °. ^[13] Joachim Jungius (1587-1657) demostró que la curva seguida por una cadena no es una parábola ; este resultado se publicó póstumamente en 1669. ^[12]

La aplicación de la catenaria a la construcción de arcos se atribuye a Robert Hooke , cuya "verdadera forma matemática y mecánica" en el contexto de la reconstrucción de la Catedral de San Pablo aludía a una catenaria. ^[14] Algunos arcos mucho más antiguos se aproximan a las catenarias, un ejemplo de lo cual es el Arco de Taq-i Kisra en Ctesiphon . ^[15]

En 1671, Hooke anunció a la Royal Society que había resuelto el problema de la forma óptima de un arco, y en 1675 publicó una solución encriptada como un anagrama latino ^[16] en un apéndice de su Descripción de helioscopios, ^[17] donde escribió que había encontrado "una verdadera forma matemática y mecánica de todo tipo de arcos para la construcción". No publicó la solución a este anagrama ^[18] durante su vida, pero en 1705 su albacea la proporcionó como ut pendet continuum flexile, sic stabit contiguum rigidum inversum , que significa "Como cuelga un cable flexible, así, invertido, coloque las piezas conmovedoras de un arco ".

En 1691, Gottfried Leibniz , Christiaan Huygens y Johann Bernoulli derivaron la ecuación en respuesta a un desafío de Jakob Bernoulli ; ^[12] sus soluciones se publicaron en el Acta Eruditorum de junio de 1691. ^{[19] [20]} David Gregory escribió un tratado sobre la catenaria en 1697 ^{[12] [21]} en el que proporcionaba una derivación incorrecta de la ecuación diferencial correcta. ^[20]

Euler demostró en 1744 que la catenaria es la curva que, cuando se gira alrededor del eje x , da la superficie de área superficial mínima (la catenoide ) para los círculos delimitadores dados. ^[1] Nicolas Fuss dio ecuaciones que describen el equilibrio de una cadena bajo cualquier fuerza en 1796. ^[22]

Arco de catenaria invertido

Los arcos de catenaria se utilizan a menudo en la construcción de hornos . Para crear la curva deseada, la forma de una cadena colgante de las dimensiones deseadas se transfiere a una forma que luego se utiliza como guía para la colocación de ladrillos u otro material de construcción. ^{[23] [24]}

A veces se dice que el Gateway Arch en St. Louis, Missouri , Estados Unidos es una catenaria (invertida), pero esto es incorrecto. ^[25] Está cerca de una curva más general llamada catenaria aplanada, con la ecuación y = A  cosh ( Bx ) , que es una catenaria si AB = 1 . Mientras que una catenaria es la forma ideal para un arco independiente de espesor constante, el Gateway Arch es más estrecho cerca de la parte superior. Según la nominación de Monumento Histórico Nacional de EE. UU. Para el arco, es una " catenaria ponderada"en cambio. Su forma corresponde a la forma que se formaría una cadena ponderada, con eslabones más ligeros en el medio. ^{[26] [27]}

• Catenaria ^[28] arcos bajo el techo de la Casa Milà de Gaudí , Barcelona , España.

• El Sheffield Winter Garden está rodeado por una serie de arcos de catenaria . ^[29]

• El Gateway Arch (mirando al este) es una catenaria aplanada.

• Horno de arco de catenaria en construcción sobre forma temporal

• Sección transversal del techo de la estación de tren de Keleti (Budapest, Hungría)

• La sección transversal del techo de la estación de tren de Keleti forma una catenaria.

Puentes de catenaria

Los puentes colgantes simples son esencialmente cables engrosados ​​y siguen una curva de catenaria.

Los puentes de cinta tensados , como el Puente Leonel Viera en Maldonado, Uruguay , también siguen una curva de catenaria, con cables incrustados en una plataforma rígida.

En las cadenas colgantes, la fuerza ejercida es uniforme con respecto a la longitud de la cadena, por lo que la cadena sigue la curva de la catenaria. ^[30] Lo mismo ocurre con un simple puente colgante o "puente de catenaria", donde la calzada sigue al cable. ^{[31] [32]}

Un puente de cinta tensionado es una estructura más sofisticada con la misma forma de catenaria. ^{[33] [34]}

Sin embargo, en un puente colgante con una calzada suspendida, las cadenas o cables soportan el peso del puente, por lo que no cuelgan libremente. En la mayoría de los casos, la calzada es plana, por lo que cuando el peso del cable es insignificante en comparación con el peso que se soporta, la fuerza ejercida es uniforme con respecto a la distancia horizontal, y el resultado es una parábola , como se analiza a continuación (aunque el término " catenaria "se sigue utilizando a menudo, en un sentido informal). Si el cable es pesado, la curva resultante está entre una catenaria y una parábola. ^{[35] [36]}

Comparación de un arco catenario (curva punteada negra) y un arco parabólico (curva sólida roja) con la misma luz y combadura. La catenaria representa el perfil de un puente colgante simple, o el cable de un puente colgante de plataforma suspendida en el que su plataforma y sus colgantes tienen una masa insignificante en comparación con su cable. La parábola representa el perfil del cable de un puente colgante de plataforma suspendida en el que su cable y sus soportes tienen una masa insignificante en comparación con su plataforma. El perfil del cable de un puente colgante real con el mismo tramo y pandeo se encuentra entre las dos curvas. Las ecuaciones de catenaria y parábola son, respectivamente, y = cosh ( x ) e y = x ²

Anclaje de objetos marinos

Una cadena de ancla pesada forma una catenaria, con un ángulo de tracción bajo en el ancla.

La catenaria producida por gravedad proporciona una ventaja a las varillas de ancla pesadas . Una montura de ancla (o línea de ancla) generalmente consiste en una cadena o un cable o ambos. Los barcos, las plataformas petrolíferas, los muelles, las turbinas eólicas flotantes y otros equipos marinos utilizan cables de anclaje que deben estar anclados al lecho marino.

Cuando la cuerda está floja, la curva de la catenaria presenta un ángulo de tracción del ancla o dispositivo de amarre menor que el que tendría si estuviera casi recto. Esto mejora el rendimiento del ancla y aumenta el nivel de fuerza que resistirá antes de arrastrarlo. Para mantener la forma de la catenaria en presencia de viento, se necesita una cadena pesada, de modo que solo los barcos más grandes en aguas más profundas puedan confiar en este efecto. Los barcos más pequeños también dependen de la catenaria para mantener la máxima potencia de sujeción. ^[37]

Descripción matemática

Ecuación

Catenarias para diferentes valores de un

La ecuación de una catenaria en coordenadas cartesianas tiene la forma ^[35]

${\displaystyle y=a\cosh \left({\frac {x}{a}}\right)={\frac {a}{2}}\left(e^{\frac {x}{a}}+e^{-{\frac {x}{a}}}\right)}$

donde cosh es la función del coseno hiperbólico y donde x se mide desde el punto más bajo. ^[38] Todas las curvas de catenaria son similares entre sí; cambiar el parámetro a equivale a una escala uniforme de la curva. ^[39]

La ecuación de Whewell para la catenaria es ^[35]

${\displaystyle \tan \varphi ={\frac {s}{a}}\,.}$

Diferenciar da

${\displaystyle {\frac {d\varphi }{ds}}={\frac {\cos ^{2}\varphi }{a}}}$

y al eliminar φ se obtiene la ecuación de Cesàro ^[40]

${\displaystyle \kappa ={\frac {a}{s^{2}+a^{2}}}\,.}$

El radio de curvatura es entonces

${\displaystyle \rho =a\sec ^{2}\varphi }$

que es la longitud de la línea normal a la curva entre ella y el eje x . ^[41]

Relación con otras curvas

Cuando se rueda una parábola a lo largo de una línea recta, la curva de la ruleta trazada por su foco es una catenaria. ^[42] La envolvente de la directriz de la parábola también es una catenaria. ^[43] La involuta desde el vértice, es decir, la ruleta formada por un punto que comienza en el vértice cuando se rueda una línea en una catenaria, es la tractriz . ^[42]

Otra ruleta, formada haciendo rodar una línea en una catenaria, es otra línea. Esto implica que las ruedas cuadradas pueden rodar perfectamente suavemente en una carretera formada por una serie de baches en forma de curva de catenaria invertida. Las ruedas pueden ser cualquier polígono regular excepto un triángulo, pero la catenaria debe tener parámetros correspondientes a la forma y dimensiones de las ruedas. ^[44]

Propiedades geométricas

Sobre cualquier intervalo horizontal, la relación entre el área bajo la catenaria y su longitud es igual a a , independientemente del intervalo seleccionado. La catenaria es la única curva plana que no es una línea horizontal con esta propiedad. Además, el centroide geométrico del área bajo un tramo de catenaria es el punto medio del segmento perpendicular que conecta el centroide de la curva en sí y el eje x . ^[45]

Ciencia

Una carga en movimiento en un campo eléctrico uniforme viaja a lo largo de una catenaria (que tiende a una parábola si la velocidad de la carga es mucho menor que la velocidad de la luz c ). ^[46]

La superficie de revolución con radios fijos en cada extremo que tiene un área superficial mínima es una catenaria que gira alrededor del eje x . ^[42]

Análisis

Modelo de cadenas y arcos

En el modelo matemático, la cadena (o cuerda, cable, cuerda, cuerda, etc.) se idealiza asumiendo que es tan delgada que puede considerarse una curva y que es tan flexible cualquier fuerza de tensión ejercida por la cadena. es paralelo a la cadena. ^[47] El análisis de la curva para un arco óptimo es similar, excepto que las fuerzas de tensión se convierten en fuerzas de compresión y todo se invierte. ^[48] Un principio subyacente es que la cadena puede considerarse un cuerpo rígido una vez que ha alcanzado el equilibrio. ^[49]Las ecuaciones que definen la forma de la curva y la tensión de la cadena en cada punto pueden derivarse mediante una inspección cuidadosa de las diversas fuerzas que actúan sobre un segmento utilizando el hecho de que estas fuerzas deben estar en equilibrio si la cadena está en equilibrio estático .

Deje que el camino seguido por la cadena darse paramétricamente por r = ( x , y ) = ( x ( s ), y ( s )) , donde s representa la longitud del arco y r es el vector de posición . Esta es la parametrización natural y tiene la propiedad de que

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {r} }{ds}}=\mathbf {u} }$

donde u es un vector unitario tangente .

Diagrama de fuerzas que actúan sobre un segmento de una catenaria de c a r . Las fuerzas son la tensión T ₀ en c , la tensión T en r y el peso de la cadena (0, - λgs ) . Dado que la cadena está en reposo, la suma de estas fuerzas debe ser cero.

Se puede derivar una ecuación diferencial para la curva de la siguiente manera. ^[50] Sea c el punto más bajo de la cadena, llamado vértice de la catenaria. ^[51] La pendientedy/dxde la curva es cero en C ya que es un punto mínimo. Suponga que r está a la derecha de c ya que el otro caso está implícito por simetría. Las fuerzas que actúan sobre la sección de la cadena de c a r son la tensión de la cadena en c , la tensión de la cadena en r y el peso de la cadena. La tensión en c es tangente a la curva en c y, por lo tanto, es horizontal sin ningún componente vertical y tira de la sección hacia la izquierda, por lo que se puede escribir (- T ₀ , 0) donde T ₀ es la magnitud de la fuerza. La tensión en res paralelo a la curva en r y tira de la sección hacia la derecha. La tensión en r se puede dividir en dos componentes, por lo que se puede escribir T u = ( T cos φ , T sen φ ) , donde T es la magnitud de la fuerza y φ es el ángulo entre la curva en ry la x - eje (ver ángulo tangencial ). Finalmente, el peso de la cadena está representado por (0, - λgs ) donde λ es la masa por unidad de longitud, ges la aceleración de la gravedad y s es la longitud del segmento de cadena entre c y r .

La cadena está en equilibrio, por lo que la suma de tres fuerzas es 0 , por lo tanto

${\displaystyle T\cos \varphi =T_{0}}$

y

${\displaystyle T\sin \varphi =\lambda gs\,,}$

y dividiendo estos da

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=\tan \varphi ={\frac {\lambda gs}{T_{0}}}\,.}$

Es conveniente escribir

${\displaystyle a={\frac {T_{0}}{\lambda g}}}$

que es la longitud de la cadena cuyo peso en la Tierra es igual en magnitud a la tensión en c . ^[52] Entonces

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {s}{a}}}$

es una ecuación que define la curva.

La componente horizontal de la tensión, T cos φ = T ₀ es constante y la componente vertical de la tensión, T sen φ = λgs es proporcional a la longitud de la cadena entre r y el vértice. ^[53]

Derivación de ecuaciones para la curva

La ecuación diferencial dada arriba se puede resolver para producir ecuaciones para la curva. ^[54]

Desde

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {s}{a}}\,,}$

la fórmula para la longitud del arco da

${\displaystyle {\frac {ds}{dx}}={\sqrt {1+\left({\dfrac {dy}{dx}}\right)^{2}}}={\frac {\sqrt {a^{2}+s^{2}}}{a}}\,.}$

Luego

${\displaystyle {\frac {dx}{ds}}={\frac {1}{\frac {ds}{dx}}}={\frac {a}{\sqrt {a^{2}+s^{2}}}}}$

y

${\displaystyle {\frac {dy}{ds}}={\frac {\frac {dy}{dx}}{\frac {ds}{dx}}}={\frac {s}{\sqrt {a^{2}+s^{2}}}}\,.}$

La segunda de estas ecuaciones se puede integrar para dar

${\displaystyle y={\sqrt {a^{2}+s^{2}}}+\beta }$

y cambiando la posición del eje x , β puede tomarse como 0. Entonces

${\displaystyle y={\sqrt {a^{2}+s^{2}}}\,,\quad y^{2}=a^{2}+s^{2}\,.}$

El eje x así elegido se denomina directriz de la catenaria.

De ello se deduce que la magnitud de la tensión en un punto ( x , y ) es T = λgy , que es proporcional a la distancia entre el punto y la directriz. ^[53]

La integral de la expresión para dx/dsse puede encontrar utilizando técnicas estándar , dando ^[55]

${\displaystyle x=a\operatorname {arsinh} \left({\frac {s}{a}}\right)+\alpha \,.}$

y, de nuevo, cambiando la posición del eje y , α puede tomarse como 0. Entonces

${\displaystyle x=a\operatorname {arsinh} \left({\frac {s}{a}}\right)\,,\quad s=a\sinh \left({\frac {x}{a}}\right)\,.}$

El eje y así elegido pasa a través del vértice y se denomina eje de la catenaria.

Estos resultados se pueden utilizar para eliminar s entrega

${\displaystyle y=a\cosh \left({\frac {x}{a}}\right)\,.}$

Derivación alternativa

La ecuación diferencial se puede resolver utilizando un enfoque diferente. ^[56] De

${\displaystyle s=a\tan \varphi }$

resulta que

${\displaystyle {\frac {dx}{d\varphi }}={\frac {dx}{ds}}{\frac {ds}{d\varphi }}=\cos \varphi \cdot a\sec ^{2}\varphi =a\sec \varphi }$

y

${\displaystyle {\frac {dy}{d\varphi }}={\frac {dy}{ds}}{\frac {ds}{d\varphi }}=\sin \varphi \cdot a\sec ^{2}\varphi =a\tan \varphi \sec \varphi \,.}$

Integrando da,

${\displaystyle x=a\ln(\sec \varphi +\tan \varphi )+\alpha }$

y

${\displaystyle y=a\sec \varphi +\beta \,.}$

Como antes, las x y Y -axes se pueden desplazar de modo α y β se pueden tomar para ser 0. Entonces

${\displaystyle \sec \varphi +\tan \varphi =e^{\frac {x}{a}}\,,}$

y tomando el recíproco de ambos lados

${\displaystyle \sec \varphi -\tan \varphi =e^{-{\frac {x}{a}}}\,.}$

Sumar y restar las dos últimas ecuaciones da la solución

${\displaystyle y=a\sec \varphi =a\cosh \left({\frac {x}{a}}\right)\,,}$

y

${\displaystyle s=a\tan \varphi =a\sinh \left({\frac {x}{a}}\right)\,.}$

Determinación de parámetros

Tres catenarias a través de los mismos dos puntos, dependiendo de la fuerza horizontal T _H .

En general, el parámetro a es la posición del eje. En este caso, la ecuación se puede determinar de la siguiente manera: ^[57]

Vuelva a etiquetar si es necesario para que P ₁ esté a la izquierda de P ₂ y sea H la horizontal y v la distancia vertical de P ₁ a P ₂ . Traducir los ejes de modo que el vértice de las mentiras de catenaria en la y eje x y su altura una se ajusta de modo satisface catenaria la ecuación estándar de la curva de

${\displaystyle y=a\cosh \left({\frac {x}{a}}\right)}$

y dejar que las coordenadas de P ₁ y P ₂ sea ( x ₁ , y ₁ ) y ( x ₂ , y ₂ ) respectivamente. La curva pasa por estos puntos, por lo que la diferencia de altura es

${\displaystyle v=a\cosh \left({\frac {x_{2}}{a}}\right)-a\cosh \left({\frac {x_{1}}{a}}\right)\,.}$

y la longitud de la curva de P ₁ a P ₂ es

${\displaystyle s=a\sinh \left({\frac {x_{2}}{a}}\right)-a\sinh \left({\frac {x_{1}}{a}}\right)\,.}$

Cuando s ² - v ² se expande usando estas expresiones, el resultado es

${\displaystyle s^{2}-v^{2}=2a^{2}\left(\cosh \left({\frac {x_{2}-x_{1}}{a}}\right)-1\right)=4a^{2}\sinh ^{2}\left({\frac {H}{2a}}\right)\,,}$

asi que

${\displaystyle {\sqrt {s^{2}-v^{2}}}=2a\sinh \left({\frac {H}{2a}}\right)\,.}$

Esta es una ecuación trascendental en a y debe resolverse numéricamente . Se puede demostrar con los métodos de cálculo ^[58] que hay como máximo una solución con a > 0 y, por lo tanto, hay como máximo una posición de equilibrio.

Sin embargo, si ambos extremos de la curva ( P ₁ y P ₂ ) están al mismo nivel ( y ₁ = y ₂ ), se puede demostrar que ^[59]

${\displaystyle a={\frac {{\frac {1}{4}}L^{2}-h^{2}}{2h}}\,}$

donde L es la longitud total de la curva entre P ₁ y P ₂ y h es el pandeo (distancia vertical entre P ₁ , P ₂ y el vértice de la curva).

También se puede demostrar que

${\displaystyle L=2a\sinh {\frac {H}{2a}}\,}$

y

${\displaystyle H=2a\operatorname {arcosh} {\frac {h+a}{a}}\,}$

donde H es la distancia horizontal entre P ₁ y P ₂ que se encuentran al mismo nivel ( H = x ₂ - x ₁ ).

La fuerza de tracción horizontal en P ₁ y P ₂ es T _H = aw , donde w es la masa por unidad de longitud de la cadena o cable.

Generalizaciones con fuerza vertical

Cadenas no uniformes

Si la densidad de la cadena es variable, entonces el análisis anterior se puede adaptar para producir ecuaciones para la curva dada la densidad, o dada la curva para encontrar la densidad. ^[60]

Sea w el peso por unidad de longitud de la cadena, entonces el peso de la cadena tiene magnitud

${\displaystyle \int _{\mathbf {c} }^{\mathbf {r} }w\,ds\,,}$

donde los límites de integración son c y r . Equilibrar las fuerzas como en la cadena uniforme produce

${\displaystyle T\cos \varphi =T_{0}}$

y

${\displaystyle T\sin \varphi =\int _{\mathbf {c} }^{\mathbf {r} }w\,ds\,,}$

y por lo tanto

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=\tan \varphi ={\frac {1}{T_{0}}}\int _{\mathbf {c} }^{\mathbf {r} }w\,ds\,.}$

La diferenciación entonces da

${\displaystyle w=T_{0}{\frac {d}{ds}}{\frac {dy}{dx}}={\frac {T_{0}{\dfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}}{\sqrt {1+\left({\dfrac {dy}{dx}}\right)^{2}}}}\,.}$

En términos de φ y el radio de curvatura ρ esto se convierte en

${\displaystyle w={\frac {T_{0}}{\rho \cos ^{2}\varphi }}\,.}$

Curva del puente colgante

Puente Golden Gate . La mayoría de los cables de los puentes colgantes siguen una curva parabólica, no catenaria, debido a que el peso de la calzada es mucho mayor que el del cable.

Se puede hacer un análisis similar para encontrar la curva seguida por el cable que sostiene un puente colgante con una calzada horizontal. ^[61] Si el peso de la calzada por unidad de longitud es w y el peso del cable y el alambre que soporta el puente es insignificante en comparación, entonces el peso sobre el cable (ver la figura en Catenaria # Modelo de cadenas y arcos ) de c a r es wx donde x es la distancia horizontal entre c y r . Proceder como antes da la ecuación diferencial

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=\tan \varphi ={\frac {w}{T_{0}}}x\,.}$

Esto se resuelve mediante una simple integración para obtener

${\displaystyle y={\frac {w}{2T_{0}}}x^{2}+\beta }$

y así el cable sigue una parábola. Si el peso del cable y los cables de soporte no es despreciable, el análisis es más complejo. ^[62]

Catenaria de igual fuerza

En una catenaria de igual resistencia, el cable se refuerza según la magnitud de la tensión en cada punto, por lo que su resistencia a la rotura es constante a lo largo de su longitud. Suponiendo que la resistencia del cable es proporcional a su densidad por unidad de longitud, se puede escribir el peso, w , por unidad de longitud de la cadenaT/C, donde c es constante, y se puede aplicar el análisis de cadenas no uniformes. ^[63]

En este caso, las ecuaciones para la tensión son

${\displaystyle {\begin{aligned}T\cos \varphi &=T_{0}\,,\\T\sin \varphi &={\frac {1}{c}}\int T\,ds\,.\end{aligned}}}$

Combinando da

${\displaystyle c\tan \varphi =\int \sec \varphi \,ds}$

y por diferenciación

${\displaystyle c=\rho \cos \varphi }$

donde ρ es el radio de curvatura.

La solución a esto es

${\displaystyle y=c\ln \left(\sec \left({\frac {x}{c}}\right)\right)\,.}$

En este caso, la curva tiene asíntotas verticales y esto limita el intervalo a π c . Otras relaciones son

${\displaystyle x=c\varphi \,,\quad s=\ln \left(\tan \left({\frac {\pi +2\varphi }{4}}\right)\right)\,.}$

La curva fue estudiada en 1826 por Davies Gilbert y, aparentemente de forma independiente, por Gaspard-Gustave Coriolis en 1836.

Recientemente, se demostró que este tipo de catenaria podía actuar como un bloque de construcción de metasuperficie electromagnética y se conocía como "catenaria de gradiente de fase igual". ^[64]

Catenaria elástica

En una catenaria elástica , la cadena se reemplaza por un resorte que puede estirarse en respuesta a la tensión. Se supone que el resorte se estira de acuerdo con la ley de Hooke . Específicamente, si p es la longitud natural de una sección de resorte, entonces la longitud del resorte con la tensión T aplicada tiene la longitud

${\displaystyle s=\left(1+{\frac {T}{E}}\right)p\,,}$

donde E es una constante igual a kp , donde k es la rigidez del resorte. ^[65] En la catenaria el valor de T es variable, pero la relación sigue siendo válida a nivel local, por lo que ^[66]

${\displaystyle {\frac {ds}{dp}}=1+{\frac {T}{E}}\,.}$

La curva seguida por un resorte elástico ahora se puede derivar siguiendo un método similar al del resorte inelástico. ^[67]

Las ecuaciones para la tensión del resorte son

${\displaystyle T\cos \varphi =T_{0}\,,}$

y

${\displaystyle T\sin \varphi =\lambda _{0}gp\,,}$

a partir del cual

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=\tan \varphi ={\frac {\lambda _{0}gp}{T_{0}}}\,,\quad T={\sqrt {T_{0}^{2}+\lambda _{0}^{2}g^{2}p^{2}}}\,,}$

donde p es la longitud natural del segmento de c a r y λ ₀ es la masa por unidad de longitud del muelle sin tensión y g es la aceleración de la gravedad. Escribir

${\displaystyle a={\frac {T_{0}}{\lambda _{0}g}}}$

asi que

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=\tan \varphi ={\frac {p}{a}}\quad {\text{and}}\quad T={\frac {T_{0}}{a}}{\sqrt {a^{2}+p^{2}}}\,.}$

Luego

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx}{ds}}&=\cos \varphi ={\frac {T_{0}}{T}}\\[6pt]{\frac {dy}{ds}}&=\sin \varphi ={\frac {\lambda _{0}gp}{T}}\,,\end{aligned}}}$

a partir del cual

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx}{dp}}&={\frac {T_{0}}{T}}{\frac {ds}{dp}}&&=T_{0}\left({\frac {1}{T}}+{\frac {1}{E}}\right)&&={\frac {a}{\sqrt {a^{2}+p^{2}}}}+{\frac {T_{0}}{E}}\\[6pt]{\frac {dy}{dp}}&={\frac {\lambda _{0}gp}{T}}{\frac {ds}{dp}}&&={\frac {T_{0}p}{a}}\left({\frac {1}{T}}+{\frac {1}{E}}\right)&&={\frac {p}{\sqrt {a^{2}+p^{2}}}}+{\frac {T_{0}p}{Ea}}\,.\end{aligned}}}$

La integración da las ecuaciones paramétricas

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\operatorname {arsinh} \left({\frac {p}{a}}\right)+{\frac {T_{0}}{E}}p+\alpha \,,\\[6pt]y&={\sqrt {a^{2}+p^{2}}}+{\frac {T_{0}}{2Ea}}p^{2}+\beta \,.\end{aligned}}}$

Una vez más, las x y Y -axes se pueden desplazar de modo α y β se pueden tomar para ser 0. Así

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\operatorname {arsinh} \left({\frac {p}{a}}\right)+{\frac {T_{0}}{E}}p\,,\\[6pt]y&={\sqrt {a^{2}+p^{2}}}+{\frac {T_{0}}{2Ea}}p^{2}\end{aligned}}}$

son ecuaciones paramétricas para la curva. En el límite rígido donde E es grande, la forma de la curva se reduce a la de una cadena no elástica.

Otras generalizaciones

Encadenar bajo una fuerza general

Sin hacer suposiciones con respecto a la fuerza G que actúa sobre la cadena, se puede realizar el siguiente análisis. ^[68]

Primero, sea T = T ( s ) la fuerza de tensión en función de s . La cadena es flexible, por lo que solo puede ejercer una fuerza paralela a sí misma. Dado que la tensión se define como la fuerza que la cadena ejerce sobre sí misma, T debe ser paralela a la cadena. En otras palabras,

${\displaystyle \mathbf {T} =T\mathbf {u} \,,}$

donde T es la magnitud de T y T es el vector unitario tangente.

En segundo lugar, sea G = G ( s ) la fuerza externa por unidad de longitud que actúa sobre un pequeño segmento de una cadena en función de s . Las fuerzas que actúan sobre el segmento de la cadena entre s y s + delta s son la fuerza de la tensión T ( s + Δ s ) en un extremo del segmento, la fuerza casi enfrente - T ( s ) en el otro extremo, y la fuerza externa que actúa sobre el segmento que es aproximadamente G Δ s . Estas fuerzas deben equilibrarse para

${\displaystyle \mathbf {T} (s+\Delta s)-\mathbf {T} (s)+\mathbf {G} \Delta s\approx \mathbf {0} \,.}$

Divida por Δ sy tome el límite como Δ s → 0 para obtener

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {T} }{ds}}+\mathbf {G} =\mathbf {0} \,.}$

Estas ecuaciones se pueden utilizar como punto de partida en el análisis de una cadena flexible que actúa bajo cualquier fuerza externa. En el caso de la catenaria estándar, G = (0, - λg ) donde la cadena tiene masa λ por unidad de longitud yg es la aceleración de la gravedad.

Ver también

• Arco de catenaria
• Fuente de cadena o perlas auto-sifonantes
• Catenaria aérea : líneas eléctricas suspendidas sobre vehículos ferroviarios o tranvías
• Ruleta (curva) : una catenaria elíptica / hiperbólica
• Troposkein - la forma de una cuerda hilada
• Catenaria ponderada

Notas

1. MathWorld
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Bibliografía

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Lectura adicional

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• Venturoli, Giuseppe (1822). "Capítulo XXIII: De la Catenaria" . Elementos de la Teoría de la Mecánica . Trans. Daniel Cresswell. J. Nicholson e hijo.

Enlaces externos

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con la catenaria .

Wikiquote tiene citas relacionadas con: Catenaria

Wikisource tiene el texto del artículo de la Encyclopædia Britannica de 1911 Catenary .

• O'Connor, John J .; Robertson, Edmund F. , "Catenaria" , archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , Universidad de St Andrews.
• Catenaria en PlanetMath .
• Calculadora de curva de catenaria
• Catenaria en The Geometry Center
• "Catenaria" en Diccionario visual de curvas planas especiales
• La catenaria: cadenas, arcos y películas de jabón.
• Calculadora de error de hundimiento del cable : calcula la desviación de una línea recta de una curva de catenaria y proporciona la derivación de la calculadora y las referencias.
• Ecuaciones de curva cetenaria dinámicas y estáticas derivadas - Se derivan las ecuaciones que gobiernan la forma (caso estático) así como la dinámica (caso dinámico) de un centenario. Solución a las ecuaciones discutidas.
• La línea recta, la catenaria, la braquistocrona, el círculo y el acercamiento unificado de Fermat a algunas geodésicas.
• Ira Freeman "Una forma general de la catenaria del puente colgante" Boletín de la AMS