En el campo matemático de la topología , una homotopía regular se refiere a un tipo especial de homotopía entre inmersiones de una variedad en otra. La homotopía debe ser una familia de inmersiones de 1 parámetro.
Similar a las clases de homotopía , se define que dos inmersiones están en la misma clase de homotopía regular si existe una homotopía regular entre ellas. La homotopía regular para inmersiones es similar a la isotopía de incrustaciones: ambos son tipos restringidos de homotopías. Dicho de otra manera, dos funciones continuas son homotópicos si representan puntos en el mismo camino-componentes del espacio de mapeo , dada la topología compacta-abierta . El espacio de inmersiones es el subespacio de que consiste en inmersiones, denotado por . Dos inmersionesson regularmente homotópicos si representan puntos en el mismo componente de ruta de.
Ejemplos de
El teorema de Whitney-Graustein clasifica las clases de homotopía regulares de un círculo en el plano; dos inmersiones son regularmente homotópicas si y solo si tienen el mismo número de vueltas , lo que equivale a una curvatura total ; de manera equivalente, si y solo si sus mapas de Gauss tienen el mismo grado / número de devanado .
Stephen Smale clasificó las clases de homotopía regulares de una esfera k inmersa en- se clasifican por grupos de homotopía de variedades de Stiefel , que es una generalización del mapa de Gauss, con aquí k derivadas parciales que no desaparecen. Más precisamente, el conjunto de clases de homotopía regulares de incrustaciones de esfera en está en correspondencia uno a uno con elementos del grupo . En caso tenemos . Desde está conectado con el camino, y y debido al teorema de periodicidad de Bott tenemos y desde entonces nosotros tenemos . Por tanto, todas las inmersiones de esferas y en los espacios euclidianos de una dimensión más son homotópicos regulares. En particular, esferas incrustado en admitir eversión si . Un corolario de su trabajo es que solo hay una clase de homotopía regular de una esfera 2 inmersa en. En particular, esto significa que existen eversiones de esferas , es decir, se puede dar la vuelta a las 2 esferas "de adentro hacia afuera".
Ambos ejemplos consisten en reducir la homotopía regular a homotopía; esto se ha generalizado posteriormente sustancialmente en el enfoque del principio de homotopía (o principio h ).
Referencias
- Whitney, Hassler (1937). "Sobre curvas cerradas regulares en el plano" . Compositio Mathematica . 4 : 276-284.
- Smale, Stephen (febrero de 1959). "Una clasificación de inmersiones de las dos esferas" (PDF) . Transacciones de la American Mathematical Society . 90 (2): 281–290. doi : 10.2307 / 1993205 . JSTOR 1993205 .
- Smale, Stephen (marzo de 1959). "La clasificación de inmersiones de esferas en espacios euclidianos" (PDF) . Annals of Mathematics . 69 (2): 327–344. doi : 10.2307 / 1970186 . JSTOR 1970186 .