En matemáticas , la variedad Stiefel es el conjunto de todos ortonormal k -frames enEs decir, es el conjunto de k -tuplas de vectores ortonormales ordenados enLleva el nombre del matemático suizo Eduard Stiefel . Asimismo, se puede definir la compleja variedad Stiefelde fotogramas k ortonormales eny el colector Stiefel cuaterniónicode fotogramas k ortonormales en. De manera más general, la construcción se aplica a cualquier espacio de producto interno real, complejo o cuaterniónico .
En algunos contextos, una variedad Stiefel no compacta se define como el conjunto de todos los k- fotogramas linealmente independientes en o esto es homotopía equivalente, ya que la variedad Stiefel compacta es una deformación retraída de la no compacta, por Gram-Schmidt . Los enunciados sobre la forma no compacta corresponden a los de la forma compacta, reemplazando el grupo ortogonal (o grupo unitario o simpléctico) por el grupo lineal general .
Topología
Dejar representar o El colector Stiefel se puede pensar como un conjunto de n × k matrices escribiendo un k -frame como una matriz de k vectores columna enLa condición de ortonormalidad se expresa mediante A * A =donde A * denota la transpuesta conjugada de A ydenota la matriz identidad k × k . Entonces tenemos
La topología enes la topología subespacial heredada de Con esta topología es un colector compacto cuya dimensión viene dada por
Como un espacio homogéneo
Cada uno de los colectores Stiefel puede verse como un espacio homogéneo para la acción de un grupo clásico de manera natural.
Cada transformación ortogonal de un fotograma k enda como resultado otro k- fotograma, y dos k- fotogramas cualesquiera están relacionados por alguna transformación ortogonal. En otras palabras, el grupo ortogonal O ( n ) actúa transitivamente sobreEl subgrupo estabilizador de una trama dada es el subgrupo isomorfo a O ( n - k ) que actúa de forma no trivial sobre el complemento ortogonal del espacio que abarca esa trama.
Asimismo, el grupo unitario U ( n ) actúa transitivamente sobrecon estabilizador subgrupo U ( n - k ) y el grupo simpléctico Sp ( n ) actúa transitivamente sobrecon subgrupo de estabilizadores Sp ( n - k ).
En cada caso puede verse como un espacio homogéneo:
Cuando k = n , la acción correspondiente es libre de modo que la variedad Stiefeles un espacio principal homogéneo para el grupo clásico correspondiente.
Cuando k es estrictamente menor que n, entonces el grupo ortogonal especial SO ( n ) también actúa transitivamente sobrecon subgrupo estabilizador isomorfo a SO ( n - k ) de modo que
Lo mismo vale para la acción del grupo unitario especial sobre
Por tanto, para k = n - 1, la variedad Stiefel es un espacio homogéneo principal para el grupo clásico especial correspondiente .
Medida uniforme
El colector Stiefel puede equiparse con una medida uniforme , es decir, una medida de Borel que es invariante bajo la acción de los grupos mencionados anteriormente. Por ejemplo,que es isomorfo al círculo unitario en el plano euclidiano, tiene como medida uniforme la medida uniforme obvia ( longitud del arco ) en el círculo. Es sencillo muestrear esta medida enusando matrices aleatorias gaussianas : sies una matriz aleatoria con entradas independientes distribuidas de manera idéntica de acuerdo con la distribución normal estándar eny A = QR es la factorización QR de A , luego las matrices,son variables aleatorias independientes y Q se distribuye de acuerdo con la medida uniforme enEste resultado es una consecuencia del teorema de descomposición de Bartlett . [1]
Casos especiales
A 1 fotograma en no es más que un vector unitario, por lo que la variedad Stiefel es solo la esfera unitaria en Por lo tanto:
Dado un cuadro de 2 en deje que el primer vector defina un punto en S n −1 y el segundo un vector unitario tangente a la esfera en ese punto. De esta forma, el colector Stiefelpuede identificarse con el paquete unitario tangente a S n −1 .
Cuando k = n o n -1 vimos en la sección anterior quees un espacio principal homogéneo, y por lo tanto difeomórfico al grupo clásico correspondiente:
Functorialidad
Dada una inclusión ortogonal entre espacios vectoriales la imagen de un conjunto de k vectores ortonormales es ortonormal, por lo que hay una inclusión cerrada inducida de variedades Stiefel,y esto es funtorial . Más sutilmente, dado un espacio vectorial n- dimensional X , la construcción de base dual da una biyección entre bases para X y bases para el espacio dual que es continuo, y por lo tanto produce un homeomorfismo de las principales variedades de Stiefel Esto también es funcional para isomorfismos de espacios vectoriales.
Como paquete principal
Hay una proyección natural
del colector Stiefel al Grassmannian de k -planes enque envía un k -frame al subespacio abarcado por ese marco. La fibra sobre un punto dado P enes el conjunto de todos ortonormal k -frames contenido en el espacio P .
Esta proyección tiene la estructura de un paquete G principal donde G es el grupo clásico asociado de grado k . Tomemos el caso real de la concreción. Hay una acción de derecho natural de O ( k ) sobreque gira un fotograma k en el espacio que abarca. Esta acción es gratuita pero no transitiva. Las órbitas de esta acción son precisamente los k- fotogramas ortonormales que abarcan un subespacio k -dimensional dado ; es decir, son las fibras del mapa p . Argumentos similares se mantienen en los casos complejos y cuaterniónicos.
Luego tenemos una secuencia de paquetes principales:
Los paquetes de vectores asociados a estos paquetes principales a través de la acción natural de G sobreson solo los paquetes tautológicos sobre los Grassmannianos. En otras palabras, el colector Stiefeles el paquete de marco ortogonal, unitario o simpléctico asociado al paquete tautológico en un Grassmannian.
Cuando uno pasa al límite, estos paquetes se convierten en paquetes universales para los grupos clásicos.
Homotopía
Los colectores Stiefel encajan en una familia de fibraciones :
así, el primer grupo de homotopía no trivial del espacioestá en la dimensión n - k . Es más,
Este resultado se utiliza en la definición de la teoría de la obstrucción de las clases de Stiefel-Whitney .
Ver también
- Colector de bandera
Referencias
- ^ Muirhead, Robb J. (1982). Aspectos de la teoría estadística multivariante . John Wiley & Sons, Inc., Nueva York. págs. xix + 673. ISBN 0-471-09442-0.
- Hatcher, Allen (2002). Topología algebraica . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-79540-0.
- Husemoller, Dale (1994). Paquetes de fibra ((3.a ed.) Ed.). Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94087-1.
- James, Ioan Mackenzie (1976). La topología de las variedades Stiefel . Archivo CUP. ISBN 978-0-521-21334-9.
- "Stiefel manifold" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]