En matemáticas , el principio de homotopía (o principio h ) es una forma muy general de resolver ecuaciones diferenciales parciales (PDE) y, más generalmente, relaciones diferenciales parciales (PDR). El principio h es bueno para PDE o PDR subdeterminadas , como ocurre en el problema de inmersión, el problema de inmersión isométrica, la dinámica de fluidos y otras áreas.
La teoría fue iniciada por Yakov Eliashberg , Mikhail Gromov y Anthony V. Phillips. Se basó en resultados anteriores que redujeron las relaciones diferenciales parciales con la homotopía , particularmente para inmersiones. La primera evidencia del principio h apareció en el teorema de Whitney-Graustein . Esto fue seguido por el isométrico Nash-Kuiper teorema de incrustación y teorema de inmersión de Smale-Hirsch.
Idea aproximada
Suponga que queremos encontrar una función f en R m que satisfaga una ecuación diferencial parcial de grado k , en coordenadas. Uno puede reescribirlo como
dónde representa todas las derivadas parciales de f hasta el orden k . Intercambiemos cada variable en para nuevas variables independientes Entonces nuestra ecuación original puede pensarse como un sistema de
y algunas ecuaciones del siguiente tipo
Una solucion de
se llama solución no holonómica , y una solución del sistema que también es solución de nuestro PDE original se llama solución holonómica .
Para comprobar si existe una solución a nuestra ecuación original, primero se puede comprobar si existe una solución no holonómica. Por lo general, esto es bastante fácil, y si no hay una solución no holonómica, entonces nuestra ecuación original no tenía ninguna solución.
Una PDE satisface el principio h si cualquier solución no holonómica se puede deformar en una holonómica en la clase de soluciones no holonómicas. Así, en presencia del principio h, un problema topológico diferencial se reduce a un problema topológico algebraico. Más explícitamente, esto significa que, aparte de la obstrucción topológica, no hay otra obstrucción a la existencia de una solución holonómica. El problema topológico de encontrar una solución no holonómica es mucho más fácil de manejar y puede abordarse con la teoría de la obstrucción para haces topológicos.
Muchas ecuaciones diferenciales parciales subdeterminadas satisfacen el principio h. Sin embargo, la falsedad de un principio h también es una afirmación interesante, intuitivamente esto significa que los objetos que se están estudiando tienen una geometría no trivial que no se puede reducir a la topología. Como ejemplo, los lagrangianos incrustados en una variedad simpléctica no satisfacen un principio h, para demostrar que éste necesita encontrar invariantes provenientes de curvas pseudo-holomórficas .
Ejemplos sencillos
Funciones monótonas
Quizás la relación diferencial parcial más simple es que la derivada no desaparezca: Propiamente, esta es una relación diferencial ordinaria , ya que es una función en una variable.
Una solución holonómica a esta relación es una función cuya derivada no desaparece en ninguna parte. Es decir, funciones diferenciables estrictamente monótonas, ya sea en aumento o en disminución. El espacio de tales funciones consta de dos conjuntos convexos disjuntos : los crecientes y los decrecientes, y tiene el tipo de homotopía de dos puntos.
Una solución no holonómica de esta relación consistiría en los datos de dos funciones, una función diferenciable f (x) y una función continua g (x), sin que g (x) desaparezca en ninguna parte. Una solución holonómica da lugar a una solución no holonómica tomando g (x) = f '(x). El espacio de soluciones no holonómicas nuevamente consta de dos conjuntos convexos disjuntos, según que g (x) sea positivo o negativo.
Por tanto, la inclusión de soluciones holonómicas en no holonómicas satisface el principio h.
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/8/8f/Winding_Number_Around_Point.svg/220px-Winding_Number_Around_Point.svg.png)
Este ejemplo trivial tiene generalizaciones no triviales: al extender esto a inmersiones de un círculo en sí mismo, los clasifica por orden (o número sinuoso ), elevando el mapa al espacio de cobertura universal y aplicando el análisis anterior al mapa monótono resultante: el mapa lineal corresponde para multiplicar el ángulo: (en números complejos). Tenga en cuenta que aquí no hay inmersiones de orden 0, ya que tendrían que volverse sobre sí mismas. Extendiendo esto a círculos sumergidos en el plano - la condición de inmersión es precisamente la condición de que la derivada no se desvanezca - el teorema de Whitney-Graustein clasificó estos por número de giro considerando la clase de homotopía del mapa de Gauss y mostrando que esto satisface un h- principio; aquí nuevamente el orden 0 es más complicado.
La clasificación de Smale de las inmersiones de esferas como los grupos de homotopía de las variedades de Stiefel , y la generalización de Hirsch de esto a las inmersiones de las variedades que se clasifican como clases de homotopía de mapas de conjuntos de marcos son generalizaciones de mucho más alcance, y mucho más complicadas, pero similares en principio: la inmersión requiere que la derivada tenga rango k, lo que requiere que las derivadas parciales en cada dirección no desaparezcan y sean linealmente independientes, y el análogo resultante del mapa de Gauss es un mapa de la variedad Stiefel, o más generalmente entre paquetes de tramas.
Un carro en el avion
Como otro ejemplo simple, considere un automóvil en movimiento en el avión. La posición de un automóvil en el avión está determinada por tres parámetros: dos coordenadas y para la ubicación (una buena elección es la ubicación del punto medio entre las ruedas traseras) y un ángulo que describe la orientación del coche. El movimiento del automóvil satisface la ecuación
ya que un automóvil antideslizante debe moverse en la dirección de sus ruedas. En términos de robótica , no todos los caminos en el espacio de tareas son holonómicos .
Una solución no holonómica en este caso, en términos generales, corresponde a un movimiento del automóvil al deslizarse en el plano. En este caso, las soluciones no holonómicas no solo son homotópicas a las holonómicas, sino que también pueden ser arbitrariamente bien aproximadas por las holonómicas (yendo de un lado a otro, como un estacionamiento paralelo en un espacio limitado); tenga en cuenta que esto se aproxima tanto a la posición como a la el ángulo del coche arbitrariamente de cerca. Esto implica que, teóricamente, es posible estacionar en paralelo en cualquier espacio más largo que la longitud de su automóvil. También implica que, en un colector de contacto 3, cualquier curva es-Cerca de una curva Legendrian . Esta última propiedad es más fuerte que el principio h general; se llama el- principio h denso .
Si bien este ejemplo es simple, compárelo con el teorema de incrustación de Nash , específicamente el teorema de Nash-Kuiper , que dice que cualquier corto suave () incrustación o inmersión de en o mayor puede aproximarse arbitrariamente bien mediante un isométrico -inclusión (respectivamente, inmersión). Este también es un principio h denso, y puede probarse mediante una técnica de "arrugado", o más bien, de dar vueltas, esencialmente similar a la del automóvil en el avión, aunque es mucho más complicado.
Maneras de probar el principio h
- Técnica de eliminación de singularidades desarrollada por Gromov y Eliashberg
- Técnica de la gavilla basada en el trabajo de Smale e Hirsch.
- Integración convexa basada en el trabajo de Nash y Kuiper
Algunas paradojas
Aquí enumeramos algunos resultados contraintuitivos que se pueden probar aplicando el principio h:
- Eversión del cono . [1] Considere las funciones f en R 2 sin origen f ( x ) = | x |. Entonces hay una familia continua de funciones de un solo parámetro tal que , y para cualquier , no es cero en ningún momento.
- Cualquier variedad abierta admite una métrica riemanniana (no completa) de curvatura positiva (o negativa).
- La eversión de la esfera sin arrugar ni rasgar se puede hacer usando inmersiones de .
- El teorema de incrustación isométrica C 1 de Nash-Kuiper , en particular, implica que hay un inmersión isométrica de la ronda en una bola arbitrariamente pequeña de . Esta inmersión no puede serporque una pequeña esfera oscilante proporcionaría un gran límite inferior para las curvaturas principales y, por lo tanto, para la curvatura de Gauss de la esfera sumergida, pero por otro lado si la inmersión es esto tiene que ser igual a 1 en todas partes, la curvatura de Gauss del estándar , por Theorema Egregium de Gauss .
Referencias
- Masahisa Adachi, Embeddings e inmersiones , traducción Kiki Hudson
- Y. Eliashberg, N. Mishachev, Introducción al principio h
- Gromov, M. (1986), Relaciones diferenciales parciales , Springer, ISBN 3-540-12177-3
- MW Hirsch, Inmersiones de colector. Trans. Amer. Matemáticas. Soc. 93 (1959)
- N. Kuiper, en Incrustaciones isométricas I, II. Nederl. Acad. Wetensch. Proc. Ser A 58 (1955)
- John Nash, Incrustación isométrica. Ana. de Matemáticas (2) 60 (1954)
- S. Smale, La clasificación de inmersiones de esferas en espacios euclidianos. Ana. de Matemáticas (2) 69 (1959)
- David Spring, Teoría de integración convexa: soluciones al principio h en geometría y topología, Monografías en matemáticas 92, Birkhauser-Verlag, 1998
- ^ D. Fuchs, S. Tabachnikov, Ómnibus matemático: Treinta conferencias sobre matemáticas clásicas