En estadística , la probabilidad de Whittle es una aproximación a la función de probabilidad de una serie de tiempo gaussiana estacionaria . Lleva el nombre del matemático y estadístico Peter Whittle , quien lo introdujo en su tesis doctoral en 1951. [1] Se utiliza comúnmente en el análisis de series de tiempo y el procesamiento de señales para la estimación de parámetros y la detección de señales.
Contexto
En un modelo de serie de tiempo gaussiano estacionario , la función de verosimilitud es (como es habitual en los modelos gaussianos) una función de la media y los parámetros de covarianza asociados. Con un gran número () de observaciones, el () La matriz de covarianza puede volverse muy grande, lo que hace que los cálculos sean muy costosos en la práctica. Sin embargo, debido a la estacionariedad, la matriz de covarianza tiene una estructura bastante simple, y al usar una aproximación, los cálculos pueden simplificarse considerablemente (de a ). [2] La idea se reduce efectivamente a asumir un modelo gaussiano heterocedástico de media cero en el dominio de Fourier ; la formulación del modelo se basa en la transformada discreta de Fourier de la serie de tiempo y su densidad espectral de potencia . [3] [4] [5]
Definición
Dejar ser una serie de tiempo gaussiana estacionaria con densidad espectral de potencia ( unilateral ), dónde es uniforme y las muestras se toman a intervalos de muestreo constantes . Dejarser la transformada discreta de Fourier (DFT) (de valor complejo ) de la serie de tiempo. Entonces, para la probabilidad de Whittle, se asume efectivamente distribuciones gaussianas de media cero independientes para todos con variaciones para las partes reales e imaginarias dadas por
dónde es el a frecuencia de Fourier. Este modelo aproximado conduce inmediatamente a la función de probabilidad (logarítmica)
Caso especial de un espectro de ruido conocido
En caso de que se asuma que el espectro de ruido es conocido a priori , y las propiedades del ruido no deben inferirse de los datos, la función de verosimilitud puede simplificarse aún más ignorando los términos constantes, lo que lleva a la expresión de suma de cuadrados
Esta expresión también es la base del filtro emparejado común .
Precisión de aproximación
La probabilidad de Whittle en general es solo una aproximación, solo es exacta si el espectro es constante, es decir, en el caso trivial del ruido blanco . La eficiencia de la aproximación de Whittle siempre depende de las circunstancias particulares. [7] [8]
Tenga en cuenta que debido a la linealidad de la transformada de Fourier, la gaussianidad en el dominio de Fourier implica la gaussianidad en el dominio del tiempo y viceversa. Lo que hace que la probabilidad de Whittle sea solo aproximadamente precisa está relacionado con el teorema de muestreo: el efecto de Fourier-transformando solo un número finito de puntos de datos, que también se manifiesta como una fuga espectral en problemas relacionados (y que puede mejorarse usando los mismos métodos, es decir, ventanas ). En el presente caso, el supuesto implícito de periodicidad implica una correlación entre la primera y la última muestra ( y ), que se tratan efectivamente como muestras "vecinas" (como y ).
Aplicaciones
Estimación de parámetros
La probabilidad de Whittle se usa comúnmente para estimar parámetros de señal para señales que están enterradas en ruido no blanco. El espectro de ruido se puede asumir entonces conocido [9] o se puede inferir junto con los parámetros de la señal. [4] [6]
Detección de señal
La detección de señales se realiza comúnmente utilizando el filtro adaptado , que se basa en la probabilidad de Whittle para el caso de una densidad espectral de potencia de ruido conocida . [10] [11] El filtro emparejado efectivamente hace un ajuste de máxima verosimilitud de la señal a los datos ruidosos y usa la razón de verosimilitud resultante como la estadística de detección. [12]
El filtro adaptado puede generalizarse a un procedimiento análogo basado en una distribución t de Student considerando también la incertidumbre (por ejemplo, la incertidumbre de la estimación ) en el espectro de ruido. Desde el punto de vista técnico, esto implica un filtrado combinado repetido o iterativo. [12]
Estimación del espectro
La probabilidad de Whittle también es aplicable para la estimación del espectro de ruido , ya sea solo o junto con los parámetros de la señal. [13] [14]
Ver también
- Ruido de colores
- Transformada discreta de Fourier
- Función de verosimilitud
- Filtro coincidente
- Densidad espectral de potencia
- Procesamiento estadístico de señales
- Mínimos cuadrados ponderados
Referencias
- ^ Whittle, P. (1951). Prueba de hipótesis en análisis de series de tiempo . Upsala: Almqvist y Wiksells Boktryckeri AB.
- ^ Hurvich, C. (2002). "Aproximación de Whittle a la función de verosimilitud" (PDF) . NYU Stern .
- ^ a b Calder, M .; Davis, RA (1997), "Una introducción a Whittle (1953)" El análisis de múltiples series de tiempo estacionarias " ", en Kotz, S .; Johnson, NL (eds.), Breakthroughs in Statistics , Springer Series in Statistics, Nueva York: Springer-Verlag, págs. 141–169, doi : 10.1007 / 978-1-4612-0667-5_7 , ISBN 978-0-387-94989-5
Ver también: Calder, M .; Davis, RA (1996), "Una introducción a Whittle (1953)" El análisis de múltiples series de tiempo estacionarias " " , Informe técnico 1996/41 , Departamento de Estadística, Universidad Estatal de Colorado - ^ a b c Hannan, EJ (1994), "La estimación de frecuencia y probabilidad de Whittle", en Kelly, FP (ed.), Probabilidad, estadística y optimización; un tributo a Peter Whittle , Chichester: Wiley
- ^ Pawitan, Y. (1998), "Whittle likelihood", en Kotz, S .; Leer, CB; Banks, DL (eds.), Encyclopedia of Statistical Sciences , Update Volume 2, Nueva York: Wiley & Sons, págs. 708–710, doi : 10.1002 / 0471667196.ess0753 , ISBN 978-0471667193
- ^ a b Röver, C .; Meyer, R .; Christensen, N. (2011). "Modelado de ruido residual coloreado en el procesamiento de señales de ondas gravitacionales". Gravedad clásica y cuántica . 28 (1): 025010. arXiv : 0804.3853 . Código bibliográfico : 2011CQGra..28a5010R . doi : 10.1088 / 0264-9381 / 28/1/015010 .
- ^ Choudhuri, N .; Ghosal, S .; Roy, A. (2004). "Contigüidad de la medida de Whittle para una serie de tiempo gaussiana" . Biometrika . 91 (4): 211–218. doi : 10.1093 / biomet / 91.1.211 .
- ^ Countreras-Cristán, A .; Gutiérrez-Peña, E .; Walker, SG (2006). "Una nota sobre la probabilidad de Whittle". Comunicaciones en Estadística - Simulación y Computación . 35 (4): 857–875. doi : 10.1080 / 03610910600880203 .
- ^ Finn, LS (1992). "Detección, medición y radiación gravitacional". Physical Review D . 46 (12): 5236–5249. arXiv : gr-qc / 9209010 . Código Bibliográfico : 1992PhRvD..46.5236F . doi : 10.1103 / PhysRevD.46.5236 .
- ^ Turín, GL (1960). "Una introducción a los filtros combinados". Transacciones IRE sobre teoría de la información . 6 (3): 311–329. doi : 10.1109 / TIT.1960.1057571 .
- ^ Wainstein, LA; Zubakov, VD (1962). Extracción de señales de ruido . Englewood Cliffs, Nueva Jersey: Prentice-Hall.
- ^ a b Röver, C. (2011). "Filtro basado en Student-t para una detección de señal robusta". Physical Review D . 84 (12): 122004. arXiv : 1109.0442 . Código Bibliográfico : 2011PhRvD..84l2004R . doi : 10.1103 / PhysRevD.84.122004 .
- ^ Choudhuri, N .; Ghosal, S .; Roy, A. (2004). "Estimación bayesiana de la densidad espectral de una serie de tiempo" (PDF) . Revista de la Asociación Estadounidense de Estadística . 99 (468): 1050–1059. CiteSeerX 10.1.1.212.2814 . doi : 10.1198 / 016214504000000557 .
- ^ Edwards, MC; Meyer, R .; Christensen, N. (2015). "Estimación de densidad espectral de potencia semiparamétrica bayesiana en análisis de datos de ondas gravitacionales". Physical Review D . 92 (6): 064011. arXiv : 1506.00185 . Código Bibliográfico : 2015PhRvD..92f4011E . doi : 10.1103 / PhysRevD.92.064011 .