En matemáticas , la deconvolución de Wiener es una aplicación del filtro de Wiener a los problemas de ruido inherentes a la deconvolución . Funciona en el dominio de la frecuencia , intentando minimizar el impacto del ruido desconvolucionado en frecuencias que tienen una mala relación señal-ruido .
De izquierda a derecha: imagen original, imagen borrosa, imagen
borrosa utilizando la deconvolución de Wiener.
El método de deconvolución de Wiener tiene un uso generalizado en aplicaciones de deconvolución de imágenes , ya que el espectro de frecuencia de la mayoría de las imágenes visuales se comporta bastante bien y se puede estimar fácilmente.
La deconvolución de Wiener lleva el nombre de Norbert Wiener .
Dado un sistema:
dónde denota convolución y:
- es alguna señal original (desconocida) en el momento .
- es la conocida respuesta de impulso de un invariante en el tiempo lineal sistema
- es un ruido aditivo desconocido, independiente de
- es nuestra señal observada
Nuestro objetivo es encontrar algunos para que podamos estimar como sigue:
dónde es una estimación de que minimiza el error cuadrático medio
- ,
con que denota la expectativa . El filtro de deconvolución de Wiener proporciona tal. El filtro se describe más fácilmente en el dominio de la frecuencia :
dónde:
- y son las transformadas de Fourier de y ,
- es la densidad espectral de potencia media de la señal original,
- es la densidad espectral de potencia media del ruido ,
- , , y son las transformadas de Fourier de , y , y , respectivamente,
- el superíndice denota conjugación compleja .
La operación de filtrado puede llevarse a cabo en el dominio del tiempo, como se indicó anteriormente, o en el dominio de la frecuencia:
y luego realizar una transformada de Fourier inversa en para obtener .
Tenga en cuenta que en el caso de las imágenes, los argumentos y arriba se vuelve bidimensional; sin embargo, el resultado es el mismo.
El funcionamiento del filtro Wiener se hace evidente cuando se reescribe la ecuación del filtro anterior:
Aquí, es la inversa del sistema original, es la relación señal-ruido , yes la relación entre la señal filtrada pura y la densidad espectral del ruido. Cuando hay ruido cero (es decir, una relación señal / ruido infinita), el término dentro de los corchetes es igual a 1, lo que significa que el filtro Wiener es simplemente el inverso del sistema, como cabría esperar. Sin embargo, a medida que aumenta el ruido en ciertas frecuencias, la relación señal / ruido disminuye, por lo que el término dentro de los corchetes también disminuye. Esto significa que el filtro Wiener atenúa las frecuencias de acuerdo con su relación señal / ruido filtrada.
La ecuación del filtro de Wiener anterior requiere que conozcamos el contenido espectral de una imagen típica y también el del ruido. A menudo, no tenemos acceso a estas cantidades exactas, pero es posible que nos encontremos en una situación en la que se puedan hacer buenas estimaciones. Por ejemplo, en el caso de imágenes fotográficas, la señal (la imagen original) típicamente tiene frecuencias bajas fuertes y frecuencias altas débiles, mientras que en muchos casos el contenido de ruido será relativamente plano con la frecuencia.
Como se mencionó anteriormente, queremos producir una estimación de la señal original que minimice el error cuadrático medio, que puede expresarse:
- .
La equivalencia a la definición anterior de , se puede derivar utilizando el teorema de Plancherel o el teorema de Parseval para la transformada de Fourier .
Si sustituimos en la expresión por , lo anterior se puede reorganizar para
Si expandimos la cuadrática, obtenemos lo siguiente:
Sin embargo, asumimos que el ruido es independiente de la señal, por lo tanto:
Sustituyendo las densidades espectrales de potencia y , tenemos:
Para encontrar el valor de error mínimo, calculamos la derivada de Wirtinger con respecto a y ajústelo a cero.
Esta igualdad final se puede reorganizar para dar el filtro de Wiener.