Distribución de cuasiprobabilidad de Wigner

Para otros usos, consulte Distribución de Wigner (desambiguación) .

La función de distribución de Wigner en física frente al procesamiento de señales

Función Wigner de un llamado estado de gato .

La distribución de cuasiprobabilidad de Wigner (también denominada función de Wigner o distribución de Wigner-Ville en honor a Eugene Wigner y Jean-André Ville ) es una distribución de cuasiprobabilidad . Fue introducido ^[1] por Eugene Wigner en 1932 para estudiar las correcciones cuánticas de la mecánica estadística clásica . El objetivo era vincular la función de onda que aparece en la ecuación de Schrödinger con una distribución de probabilidad en el espacio de fase .

Es una función generadora para todas las funciones de autocorrelación espacial de una función de onda mecánica cuántica dada ψ ( x ) . Por lo tanto, mapea ^[2] en la matriz de densidad cuántica en el mapa entre funciones de espacio de fase reales y operadores hermitianos introducidos por Hermann Weyl en 1927, ^[3] en un contexto relacionado con la teoría de la representación en matemáticas (cf. Cuantización de Weyl en física ). En efecto, es la transformada de Wigner-Weylde la matriz de densidad, por lo que la realización de ese operador en el espacio de fase. Más tarde, Jean Ville la rederivó en 1948 como una representación cuadrática (en señal) de la energía local de tiempo-frecuencia de una señal , ^[4] efectivamente un espectrograma .

En 1949, José Enrique Moyal , que lo había derivado de forma independiente, lo reconoció como el funcional generador de momento cuántico , ^[5] y, por lo tanto, como la base de una codificación elegante de todos los valores de expectativa cuántica, y por lo tanto de la mecánica cuántica, en el espacio de fase ( cf. formulación de espacio de fase ). Tiene aplicaciones en la mecánica estadística , la química cuántica , óptica cuántica , clásica óptica y análisis de señales en diversos campos tales como la ingeniería eléctrica , la sismología , análisis de tiempo-frecuencia para señales de música , espectrogramas enbiología y procesamiento del habla y diseño de motores .

Relación con la mecánica clásica

Una partícula clásica tiene una posición y un momento definidos y, por lo tanto, está representada por un punto en el espacio de fase. Dada una colección ( conjunto ) de partículas, la probabilidad de encontrar una partícula en una determinada posición en el espacio de fase se especifica mediante una distribución de probabilidad, la densidad de Liouville. Esta interpretación estricta falla para una partícula cuántica, debido al principio de incertidumbre . En cambio, la distribución de Wigner de cuasiprobabilidad anterior juega un papel análogo, pero no satisface todas las propiedades de una distribución de probabilidad convencional; y, a la inversa, satisface las propiedades de delimitación que no están disponibles para las distribuciones clásicas.

Por ejemplo, la distribución de Wigner puede y normalmente toma valores negativos para estados que no tienen un modelo clásico, y es un indicador conveniente de la interferencia mecánica cuántica. (Ver más abajo para una caracterización de estados puros cuyas funciones de Wigner no son negativas). Suavizar la distribución de Wigner a través de un filtro de tamaño mayor que ħ (por ejemplo, convolucionar con un espacio de fase gaussiano, una transformada de Weierstrass , para producir la representación de Husimi , a continuación), da como resultado una función semidefinida positiva, es decir, se puede pensar que se ha reducido a una semiclásica. ^[a]

Se puede demostrar que las regiones de tal valor negativo (convolviéndolas con un pequeño gaussiano) son "pequeñas": no pueden extenderse a regiones compactas mayores que unos pocos ħ y, por lo tanto, desaparecen en el límite clásico . Están protegidos por el principio de incertidumbre , que no permite una ubicación precisa dentro de regiones de espacio de fase menores que ħ y, por lo tanto, hace que esas " probabilidades negativas " sean menos paradójicas.

Definición y significado

La distribución de Wigner W ( x , p ) de un estado puro se define como:

${\displaystyle W(x,p)~{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}~{\frac {1}{\pi \hbar }}\int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}(x+y)\psi (x-y)e^{2ipy/\hbar }\,dy\,}$

donde ψ es la función de onda y x y p son posición y el momento, pero podría ser cualquier par variable de conjugado (por ejemplo, las partes real e imaginaria del campo eléctrico o la frecuencia y tiempo de una señal). Tenga en cuenta que puede tener soporte en x incluso en regiones donde ψ no tiene soporte en x ("beats").

Es simétrico en x y p ,

${\displaystyle W(x,p)={\frac {1}{\pi \hbar }}\int _{-\infty }^{\infty }\varphi ^{*}(p+q)\varphi (p-q)e^{-2ixq/\hbar }\,dq}$

donde φ es la función de onda espacio-momento normalizada, proporcional a la transformada de Fourier de ψ .

En 3D,

${\displaystyle W({\vec {r}},{\vec {p}})={\frac {1}{(2\pi )^{3}}}\int \psi ^{*}({\vec {r}}+\hbar {\vec {s}}/2)\psi ({\vec {r}}-\hbar {\vec {s}}/2)e^{i{\vec {p}}\cdot {\vec {s}}}\,d^{3}s.}$

En el caso general, que incluye estados mixtos, es la transformada de Wigner de la matriz de densidad ,

${\displaystyle W(x,p)={\frac {1}{\pi \hbar }}\int _{-\infty }^{\infty }\langle x+y|{\hat {\rho }}|x-y\rangle e^{-2ipy/\hbar }\,dy,}$

donde ⟨ x | ψ ⟩ = ψ (x) . Esta transformación (o mapa) de Wigner es la inversa de la transformada de Weyl , que asigna funciones de espacio de fase a operadores de espacio de Hilbert , en la cuantificación de Weyl .

Por tanto, la función de Wigner es la piedra angular de la mecánica cuántica en el espacio de fase .

En 1949, José Enrique Moyal aclaró cómo la función de Wigner proporciona la medida de integración (análoga a una función de densidad de probabilidad ) en el espacio de fase, para producir valores esperados de las funciones de número c de espacio de fase g ( x , p ) asociadas de forma única a adecuadamente ordenadas operadores Ĝ a través de la transformada de Weyl (cf. Transformada de Wigner-Weyl y propiedad 7 a continuación), de una manera que evoca la teoría clásica de la probabilidad .

En concreto, de un operador Ĝ valor esperado es un "medio-espacio de fase" de la Wigner transformada de ese operador,

${\displaystyle \langle {\hat {G}}\rangle =\int \!dx\,dp~W(x,p)~g(x,p)~.}$

Propiedades matematicas

La distribución de cuasiprobabilidad de Wigner para diferentes estados propios de energía del oscilador armónico cuántico : a) n  = 0 (estado fundamental), b) n  = 1, c) n  = 5.

1. W ( x ,  p ) es una función con valor real.

2. Las distribuciones de probabilidad x y p están dadas por los marginales :

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }dp\,W(x,p)=\langle x|{\hat {\rho }}|x\rangle .}$ Si el sistema puede describirse mediante un estado puro , se obtiene .${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }dp\,W(x,p)=|\psi (x)|^{2}}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }dx\,W(x,p)=\langle p|{\hat {\rho }}|p\rangle .}$Si el sistema se puede describir por un estado puro , uno tiene .${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }dx\,W(x,p)=|\varphi (p)|^{2}}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }dx\int _{-\infty }^{\infty }dp\,W(x,p)=Tr({\hat {\rho }}).}$

Normalmente, la traza de la matriz de densidad ρ̂ es igual a 1.

3. W ( x , p ) tiene las siguientes simetrías de reflexión:

• Simetría de tiempo: ${\displaystyle \psi (x)\rightarrow \psi (x)^{*}\Rightarrow W(x,p)\rightarrow W(x,-p).}$
• Simetría espacial: ${\displaystyle \psi (x)\rightarrow \psi (-x)\Rightarrow W(x,p)\rightarrow W(-x,-p).}$

4. W ( x , p ) es covariante de Galilei:

${\displaystyle \psi (x)\rightarrow \psi (x+y)\Rightarrow W(x,p)\rightarrow W(x+y,p).}$

No es covariante de Lorentz .

5. La ecuación de movimiento para cada punto en el espacio de fase es clásica en ausencia de fuerzas:

${\displaystyle {\frac {\partial W(x,p)}{\partial t}}={\frac {-p}{m}}{\frac {\partial W(x,p)}{\partial x}}.}$

De hecho, es clásico incluso en presencia de fuerzas armónicas.

6. La superposición de estados se calcula como:

${\displaystyle |\langle \psi |\theta \rangle |^{2}=2\pi \hbar \int _{-\infty }^{\infty }dx\,\int _{-\infty }^{\infty }dp\,W_{\psi }(x,p)W_{\theta }(x,p).}$

7. Los valores esperados del operador (promedios) se calculan como promedios de espacio de fase de las respectivas transformaciones de Wigner:

${\displaystyle g(x,p)\equiv \int _{-\infty }^{\infty }dy\,\left\langle x-{\frac {y}{2}}\right|{\hat {G}}\left|x+{\frac {y}{2}}\right\rangle e^{ipy/\hbar },}$

${\displaystyle \langle \psi |{\hat {G}}|\psi \rangle =Tr({\hat {\rho }}{\hat {G}})=\int _{-\infty }^{\infty }dx\,\int _{-\infty }^{\infty }dp\,W(x,p)g(x,p).}$

8. Para que W ( x , p ) represente matrices de densidad física (positiva):

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }dx\,\int _{-\infty }^{\infty }dp\,W(x,p)W_{\theta }(x,p)\geq 0~,}$

para todos los estados puros | θ〉.

9. En virtud de la desigualdad de Cauchy-Schwarz , para un estado puro, está limitado a estar acotado,

${\displaystyle -{\frac {2}{h}}\leq W(x,p)\leq {\frac {2}{h}}.}$

Este límite desaparece en el límite clásico, ħ → 0. En este límite, W ( x , p ) se reduce a la densidad de probabilidad en el espacio de coordenadas x , generalmente muy localizado, multiplicado por las funciones δ en el momento: el límite clásico es "puntiagudo ". Por lo tanto, este límite de la mecánica cuántica excluye una función de Wigner que es una función delta perfectamente localizada en el espacio de fase, como un reflejo del principio de incertidumbre. ^[6]

10. La transformación de Wigner es simplemente la transformada de Fourier de las antidiagonales de la matriz de densidad, cuando esa matriz se expresa en una base de posición. ^[7]

Ejemplos de

Ver también: Formulación de espacio de fase § Oscilador_armónico simple

Sea el -ésimo estado de Fock de un oscilador armónico cuántico . Groenewold (1946) descubrió que su función de Wigner asociada, en variables adimensionales, es${\displaystyle |m\rangle \equiv {\frac {a^{\dagger m}}{\sqrt {m!}}}|0\rangle }$${\displaystyle m}$

$${\displaystyle W_{|m\rangle }(x,p)={\frac {(-1)^{m}}{\pi }}e^{-(x^{2}+p^{2})}L_{m}(2(p^{2}+x^{2})),}$$

donde denota el -ésimo polinomio de Laguerre . ${\displaystyle L_{m}(x)}$${\displaystyle m}$

Esto puede resultar de la expresión de las funciones de onda de estado propio estático , donde es el -ésimo polinomio de Hermite . De la definición anterior de la función de Wigner, ante un cambio de las variables de integración, ${\displaystyle u_{m}(x)=\pi ^{-1/4}H_{m}(x)e^{-x^{2}/2}}$${\displaystyle H_{m}}$${\displaystyle m}$

${\displaystyle W_{|m\rangle }(x,p)={\frac {(-1)^{m}}{\pi ^{3/2}2^{m}m!}}e^{-x^{2}-p^{2}}\int _{-\infty }^{\infty }d\zeta e^{-\zeta ^{2}}H_{m}(\zeta -ip+x)H_{m}(\zeta -ip-x).}$

La expresión se deriva entonces de la relación integral entre los polinomios de Hermite y Laguerre. ^[8]

Ecuación de evolución para la función de Wigner

Artículos principales: Transformada de Wigner-Weyl y formulación de espacio de fase

La transformación de Wigner es una transformación invertible general de un operador Ĝ en un espacio de Hilbert a una función g (x, p) en el espacio de fase , y está dada por

${\displaystyle g(x,p)=\int _{-\infty }^{\infty }ds~e^{ips/\hbar }\left.\left\langle x-{\frac {s}{2}}\right.\right|\ {\hat {G}}\ \left.\left|x+{\frac {s}{2}}\right.\right\rangle .}$

Los operadores hermitianos se asignan a funciones reales. La inversa de esta transformación, es decir, del espacio de fase al espacio de Hilbert, se llama transformación de Weyl ,

${\displaystyle \langle x|\ {\hat {G}}\ |y\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }{dp \over h}~e^{ip(x-y)/\hbar }g\left({x+y \over 2},p\right),}$

(no confundir con la distinta transformación de Weyl en geometría diferencial ).

Por tanto, se considera que la función de Wigner W ( x, p ) analizada aquí es la transformada de Wigner del operador de matriz de densidad ρ̂ . Por lo tanto, la traza de un operador con la matriz de densidad Wigner se transforma en la superposición integral de espacio de fase equivalente de g ( x ,  p ) con la función de Wigner.

La transformada de Wigner de la ecuación de evolución de von Neumann de la matriz de densidad en la imagen de Schrödinger es

Ecuación de evolución de Moyal para la función Wigner,

${\displaystyle {\partial W(x,p,t) \over \partial t}=-\{\{W(x,p,t)~,~H(x,p)\}\}~,}$

donde H (x, p) es hamiltoniano y {{•, •}} es el paréntesis de Moyal . En el límite clásico ħ → 0, el corchete de Moyal se reduce al corchete de Poisson, mientras que esta ecuación de evolución se reduce a la ecuación de Liouville de la mecánica estadística clásica.

Estrictamente formalmente, en términos de características cuánticas , la solución de esta ecuación de evolución lee, donde y son soluciones de los llamados ecuaciones de quantum Hamilton , sujeto a las condiciones iniciales y , y donde -producto composición se entiende para todas las funciones de argumento.${\displaystyle W(x,p,t)=W(\star (x_{-t}(x,p),p_{-t}(x,p)),0)}$${\displaystyle x_{t}(x,p)}$${\displaystyle p_{t}(x,p)}$${\displaystyle x_{t=0}(x,p)=x}$${\displaystyle p_{t=0}(x,p)=p}$ ⋆ {\displaystyle \star }

Sin embargo, dado que la composición-es completamente no local (el "fluido de probabilidad cuántica" se difunde, como lo observó Moyal), los vestigios de las trayectorias locales son normalmente apenas perceptibles en la evolución de la función de distribución de Wigner. ^[b] En la representación integral de ★ -productos, las operaciones sucesivas realizadas por ellos se han adaptado a una integral de trayectoria de espacio-fase, para resolver esta ecuación de evolución para la función de Wigner ^[9] (ver también ^{[10] [11] [ 12]} ). Esta característica no trayectoria de la evolución temporal de Moyal ^[13] se ilustra en la galería a continuación, para los hamiltonianos más complejos que el oscilador armónico.${\displaystyle \star }$

Ejemplos de evoluciones temporales de la función Wigner

• Reproducir medios

  Estado puro en potencial Morse . Las líneas discontinuas verdes representan el conjunto de niveles del hamiltoniano .

• Reproducir medios

  Estado puro en potencial cuártico. Las líneas continuas representan el conjunto de niveles del hamiltoniano .

• Reproducir medios

  Tunelización de un paquete de ondas a través de una barrera potencial. Las líneas continuas representan el conjunto de niveles del hamiltoniano .

• Reproducir medios

  Evolución a largo plazo de un estado mixto ρ en un pozo de potencial anarmónico. Los marginales se trazan a la derecha ( p ) y arriba ( x ).

• Un estado mixto de equilibrio ρ (evoluciona hacia sí mismo), en el mismo potencial anarmónico.

Evolución del tiempo del oscilador armónico

En el caso especial del oscilador armónico cuántico , sin embargo, la evolución es simple y parece idéntica al movimiento clásico: una rotación rígida en el espacio de fase con una frecuencia dada por la frecuencia del oscilador. Esto se ilustra en la galería a continuación. Este mismo tiempo la evolución ocurre con los estados cuánticos de los modos de luz , que son osciladores armónicos.

Ejemplos de evoluciones temporales de la función Wigner en un oscilador armónico cuántico

• Un estado coherente . ^[14]

• Estado fundamental combinado y primer estado excitado. ^[14]

• Un estado felino ; los marginales se trazan a la derecha ( p ) y debajo ( x ).

Límite clásico

La función de Wigner permite estudiar el límite clásico , ofreciendo una comparación de la dinámica clásica y cuántica en el espacio de fase. ^{[15] [16]}

Se ha sugerido que el enfoque de la función de Wigner puede verse como una analogía cuántica de la formulación operativa de la mecánica clásica introducida en 1932 por Bernard Koopman y John von Neumann : la evolución en el tiempo de la función de Wigner se acerca, en el límite ħ → 0, la evolución temporal de la función de onda de Koopman-von Neumann de una partícula clásica. ^[17]

Positividad de la función Wigner

Como ya se señaló, la función de Wigner del estado cuántico generalmente toma algunos valores negativos. De hecho, para un estado puro en una variable, si para todos y , entonces la función de onda debe tener la forma${\displaystyle W(x,p)\geq 0}$${\displaystyle x}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle \psi (x)=e^{-ax^{2}+bx+c}}$

para algunos números complejos con (teorema de Hudson ^[18] ). Tenga en cuenta que se permite que sea complejo, por lo que no es necesariamente un paquete de ondas gaussianas en el sentido habitual. Por tanto, los estados puros con funciones de Wigner no negativas no son necesariamente estados de incertidumbre mínima en el sentido de la fórmula de incertidumbre de Heisenberg ; más bien, dan igualdad en la fórmula de incertidumbre de Schrödinger , que incluye un término anticonmutador además del término conmutador. (Con una definición cuidadosa de las variaciones respectivas, todas las funciones de Wigner de estado puro conducen a la desigualdad de Heisenberg de todos modos).${\displaystyle a,b,c}$${\displaystyle \mathrm {Re} (a)>0}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \psi }$

En dimensiones superiores, la caracterización de estados puros con funciones de Wigner no negativas es similar; la función de onda debe tener la forma

${\displaystyle \psi (x)=e^{-(x,Ax)+b\cdot x+c}}$

donde es una matriz compleja simétrica cuya parte real es definida positiva, es un vector complejo y c es un número complejo. ^[19] La función de Wigner de cualquier estado de este tipo es una distribución gaussiana en el espacio de fase.${\displaystyle A}$${\displaystyle b}$

El citado artículo de Soto y Claverie da una elegante prueba de esta caracterización, utilizando la transformada Segal-Bargmann . El razonamiento es como sigue. La función Q de Husimi de puede calcularse como la magnitud al cuadrado de la transformada de Segal-Bargmann de , multiplicada por un gaussiano. Mientras tanto, la función Husimi Q es la convolución de la función Wigner con un gaussiano. Si la función de Wigner de no es negativa en todas partes del espacio de fase, entonces la función Q de Husimi será estrictamente positiva en todas partes del espacio de fase. Por lo tanto, la transformada de Segal-Bargmann de no será cero en ninguna parte. Por lo tanto, por un resultado estándar de un análisis complejo, tenemos${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle F(x+ip)}$${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle F(x+ip)=e^{g(x+ip)}}$

para alguna función holomórfica . Pero para pertenecer al espacio de Segal-Bargmann —es decir, para ser cuadrado integrable con respecto a una medida gaussiana— debe tener como máximo un crecimiento cuadrático en el infinito. A partir de esto, se puede utilizar el análisis complejo elemental para mostrar que en realidad debe ser un polinomio cuadrático. Por lo tanto, obtenemos una forma explícita de la transformada de Segal-Bargmann de cualquier estado puro cuya función de Wigner no sea negativa. Luego podemos invertir la transformada de Segal-Bargmann para obtener la forma declarada de la función de onda de posición.${\displaystyle g}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle g}$${\displaystyle g}$

No parece haber una caracterización simple de estados mixtos con funciones de Wigner no negativas.

La función de Wigner en relación con otras interpretaciones de la mecánica cuántica

Se ha demostrado que la función de distribución de cuasiprobabilidad de Wigner se puede considerar como una ħ - deformación de otra función de distribución del espacio de fase que describe un conjunto de trayectorias causales de De Broglie-Bohm . ^[20] Basil Hiley ha demostrado que la distribución de cuasi-probabilidad puede entenderse como la matriz de densidad reexpresada en términos de la posición media y el momento de una "celda" en el espacio de fase, y la interpretación de De Broglie-Bohm permite describir la dinámica de los centros de tales "células". ^{[21] [22]}

Existe una estrecha conexión entre la descripción de los estados cuánticos en términos de la función de Wigner y un método de reconstrucción de estados cuánticos en términos de bases mutuamente insesgadas . ^[23]

Usos de la función de Wigner fuera de la mecánica cuántica

Un gráfico de contorno de la distribución de Wigner-Ville para un pulso de luz chirriante . La trama deja en claro que la frecuencia es una función lineal del tiempo.

• En el modelado de sistemas ópticos como telescopios o dispositivos de telecomunicaciones de fibra, la función Wigner se utiliza para cerrar la brecha entre el trazado de rayos simple y el análisis de onda completa del sistema. Aquí p / ħ se reemplaza con k = | k | sin  θ ≈ | k | θ en la aproximación de ángulo pequeño (paraxial). En este contexto, la función de Wigner es lo más cercano que se puede llegar a describir el sistema en términos de rayos en la posición xy ángulo θ sin dejar de incluir los efectos de la interferencia. ^[24] Si se vuelve negativo en cualquier punto, el simple trazado de rayos no será suficiente para modelar el sistema. Es decir, los valores negativos de esta función son un síntoma del límite de Gabor de la señal luminosa clásica y no de las características cuánticas de la luz asociadas con ħ .
• En el análisis de señales , una señal eléctrica variable en el tiempo, una vibración mecánica o una onda de sonido se representan mediante una función de Wigner . Aquí, x se reemplaza con el tiempo y p / ħ se reemplaza con la frecuencia angular ω = 2π f , donde f es la frecuencia regular.
• En la óptica ultrarrápidas, pulsos de láser cortos se caracterizan con la función de Wigner utilizando los mismos f y t sustituciones como anteriormente. Los defectos de pulso como el chirrido (el cambio de frecuencia con el tiempo) se pueden visualizar con la función Wigner. Ver figura adyacente.
• En óptica cuántica, x y p / ħ se reemplazan con las cuadraturas X y P , los componentes real e imaginario del campo eléctrico (ver estado coherente ).

Medidas de la función Wigner

• Tomografía cuántica
• Puerta óptica resuelta en frecuencia

Otras distribuciones de cuasiprobabilidad relacionadas

Artículo principal: distribución de cuasiprobabilidad

La distribución de Wigner fue la primera distribución de cuasiprobabilidad que se formuló, pero le siguieron muchas más, formalmente equivalentes y transformables desde y hacia ella (es decir, transformación entre distribuciones en el análisis de tiempo-frecuencia ). Como en el caso de los sistemas de coordenadas, debido a las diferentes propiedades, varios de ellos tienen varias ventajas para aplicaciones específicas:

• Representación de Glauber P
• Representación Husimi Q

Sin embargo, en cierto sentido, la distribución de Wigner ocupa una posición privilegiada entre todas estas distribuciones, ya que es la única cuyo producto estrella requerido cae (se integra por partes a la unidad efectiva) en la evaluación de los valores esperados, como se ilustra arriba, y así se puede visualizar como una medida de cuasiprobabilidad análoga a las clásicas.

Nota histórica

Como se indicó, la fórmula para la función de Wigner se derivó de forma independiente varias veces en diferentes contextos. De hecho, aparentemente, Wigner no sabía que incluso dentro del contexto de la teoría cuántica, había sido introducida previamente por Heisenberg y Dirac , ^[25] aunque de manera puramente formal: estos dos perdieron su significado, y el de sus valores negativos, ya que simplemente lo consideró como una aproximación a la descripción cuántica completa de un sistema como el átomo. (Por cierto, Dirac se convertiría más tarde en el cuñado de Wigner y se casaría con su hermana Manci ). Simétricamente, en la mayor parte de su legendaria correspondencia de 18 meses con Moyala mediados de la década de 1940, Dirac no sabía que la función generadora de momentos cuánticos de Moyal era efectivamente la función de Wigner, y fue Moyal quien finalmente le llamó la atención. ^[26]

Ver también

Grupo Heisenberg Transformada de Wigner-Weyl Formulación de espacio de fase Soporte Moyal Probabilidad negativa Teorema de equivalencia óptica Función de distribución de Wigner modificada

Función de distribución de clases de Cohen Función de distribución de Wigner Transformación entre distribuciones en el análisis de tiempo-frecuencia Estado coherente exprimido Distribución bilineal de tiempo-frecuencia Información cuántica de variable continua

Notas al pie

1. Específicamente, dado que esta convolución es invertible, de hecho, no se ha sacrificado ninguna información y la entropía cuántica completa aún no ha aumentado. Sin embargo, si esta distribución de Husimi resultante se usa luego como una medida simple en una evaluación integral de espacio de fases de valores esperados sin el producto estrella requerido de la representación de Husimi , entonces, en esa etapa, la información cuántica se ha perdido y la distribución es una uno semiclásico , efectivamente. Es decir, dependiendo de su uso para evaluar los valores esperados, la misma distribución puede servir como función de distribución cuántica o clásica .
2. Las características cuánticas no deben confundirse con las trayectorias de la integral de trayectoria de Feynman o las trayectorias de la teoría de De Broglie-Bohm . Esta triple ambigüedad permite comprender mejor la posición de Niels Bohr , quien, de manera vigorosa pero contraproducente, se opuso a la noción de trayectoria en la física atómica. En la Conferencia de Pocono de 1948, por ejemplo, le dijo a Richard Feynman : "... no se podía hablar de la trayectoria de un electrón en el átomo, porque era algo no observable". ("El ritmo de un tambor diferente: la vida y la ciencia de Richard Feynman", por Jagdish Mehra (Oxford, 1994, págs. 245-248)). Argumentos de este tipo fueron ampliamente utilizados en el pasado por Ernst Machen su crítica de una teoría atómica de la física y más tarde, en la década de 1960, por Geoffrey Chew , Tullio Regge y otros para motivar el reemplazo de la teoría cuántica local de campos por la teoría de la matriz-S . Hoy en día, la física estadística basada completamente en conceptos atomísticos se incluye en los cursos estándar, la teoría de la matriz S pasó de moda, mientras que el método integral de trayectoria de Feynman ha sido reconocido como el método más eficiente en las teorías de calibre .

Referencias

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2. HJ Groenewold (1946). "Sobre los principios de la mecánica cuántica elemental". Physica . 12 (7): 405–460. Código Bibliográfico : 1946Phy .... 12..405G . doi : 10.1016 / S0031-8914 (46) 80059-4 .
3. H. Weyl (1927). "Quantenmechanik und gruppentheorie". Z. Phys . 46 (1–2): 1. Bibcode : 1927ZPhy ... 46 .... 1W . doi : 10.1007 / BF02055756 . S2CID 121036548 . ; H. Weyl, Gruppentheorie und Quantenmechanik (Leipzig: Hirzel) (1928); H. Weyl, The Theory of Groups and Quantum Mechanics (Dover, Nueva York, 1931).
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7. Hawkes, Peter W. (2018). Avances en imágenes y física electrónica . Prensa académica. pag. 47. ISBN 9780128155424.
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13. M. Oliva, D. Kakofengitis y O. Steuernagel (2018). "Los sistemas mecánicos cuánticos anarmónicos no cuentan con trayectorias de espacio de fase". Un Physica . 502 : 201–210. arXiv : 1611.03303 . Código bibliográfico : 2018PhyA..502..201O . doi : 10.1016 / j.physa.2017.10.047 . S2CID 53691877 . 
14. Curtright, TL, Funciones de Wigner dependientes del tiempo
15. Véase, por ejemplo: Wojciech H. Zurek : Decoherence and the transit from quantum to classic - revisited, Los Alamos Science, 27, 2002, arXiv: quant-ph / 0306072 , págs. 15 y siguientes.
16. Ver, por ejemplo: C. Zachos, D. Fairlie, T. Curtright: Mecánica cuántica en el espacio de fase: una descripción general con artículos seleccionados, World Scientific, 2005 ISBN 978-981-4520-43-0 
17. Bondar, Denys I .; Cabrera, Renan; Zhdanov, Dmitry V .; Rabitz, Herschel A. (2013). "Distribución del espacio de fase de Wigner como función de onda". Physical Review A . 88 (5): 052108. arXiv : 1202.3628 . doi : 10.1103 / PhysRevA.88.052108 . ISSN 1050-2947 . S2CID 119155284 .  
18. Hudson, Robin L. (1974). "¿Cuándo es la densidad de cuasi-probabilidad de Wigner no negativa?". Informes de Física Matemática . 6 (2): 249–252. Código Bibliográfico : 1974RpMP .... 6..249H . doi : 10.1016 / 0034-4877 (74) 90007-X .
19. F. Soto y P. Claverie, "¿Cuándo es no negativa la función de Wigner de los sistemas multidimensionales?", Journal of Mathematical Physics 24 (1983) 97-100
20. Nuno Costa Dias, Joao Nuno Prata, Trayectorias bohmianas y distribuciones de espacio de fase cuántica, Physics Letters A vol. 302 (2002) págs. 261-272, doi : 10.1016 / S0375-9601 (02) 01175-1 arXiv: quant-ph / 0208156v1 (enviado el 26 de agosto de 2002)
21. BJ Hiley: Descripciones del espacio de fase de los fenómenos cuánticos , en: A. Khrennikov (ed.): Teoría cuántica: reconsideración de los fundamentos – 2 , págs. 267-286, Växjö University Press, Suecia, 2003 ( PDF )
22. B. Hiley: función característica de Moyal, la matriz de densidad e idempotente de von Neumann ( preimpresión )
23. FC Khanna, PA Mello, M. Revzen, Reconstrucción del estado de mecánica cuántica y clásica, arXiv: 1112.3164v1 [quant-ph] (enviado el 14 de diciembre de 2011)
24. I Bazarov, Phys Rev ST Accel Beams 15 (2012) 050703, doi : 10.1103 / PhysRevSTAB.15.050703 .
25. W. Heisenberg , "Über die inkohärente Streuung von Röntgenstrahlen", Physik. Zeitschr. 32 , 737–740 (1931); PAM Dirac , "Nota sobre los fenómenos de intercambio en el átomo de Thomas", Proc. Camb. Phil. Soc. 26 , 376–395 (1930). doi : 10.1017 / S0305004100016108
26. Ann Moyal, (2006), "Maverick Mathematician: The Life and Science of JE Moyal", ANU E-press, 2006, ISBN 1-920942-59-9 , accedido por http://epress.anu.edu.au /maverick_citation.html 

Otras lecturas

• M. Levanda y V Fleurov, "Función de cuasi-distribución de Wigner para partículas cargadas en campos electromagnéticos clásicos", Annals of Physics , 292 , 199-231 (2001). arXiv : cond-mat / 0105137

enlaces externos

• wigner Implementación de la función Wigner en QuTiP.
• Galería de Óptica Cuántica
• Sonogram Visible Speech GPL Software gratuito con licencia para la distribución de cuasiprobabilidad de Wigner de Signal Files.