Reeve nació en Londres. Inicialmente estudió para ser papelero legal, pero abandonó sus estudios para estudiar órgano con el Sr. Richardson de St James's, Westminster . Se convirtió en organista en Totnes , Devon en 1781. En 1783 regresó a Londres para trabajar para el Anfiteatro de Astley, donde compuso burlettas totalmente cantadas . También compuso obras escénicas de varios tipos para el Royalty Theatre de corta duración de John Palmer. Todas sus obras fueron cantadas en su totalidad, ya que a ninguna de estas casas sin patentes se les permitió realizar obras con drama hablado. Algunas de las piezas de Reeve fueron revividas en los teatros de patentes después del cierre de Royalty en 1788. En particular, su ballet-pantomimaDon Juan (1787) fue increíblemente popular y tanto Drury Lane como Covent Garden la adoptaron para sus repertorios.
En 1787, Reeve fue elegido miembro de la Royal Society of Musicians y finalmente se desempeñó como gobernador de la organización tanto en 1794 como en 1804. Reeve ocasionalmente trabajó como actor en la compañía Haymarket a fines de la década de 1780 y principios de la de 1790. También apareció en producciones en Covent Garden durante dos temporadas (1789-1791), interpretando papeles menores por 2 libras esterlinas a la semana. En el otoño de 1791, el compositor de la casa de Covent Garden, William Shield , se fue abruptamente y Reeve asumió el cargo por £ 4 a la semana. Mientras estuvo allí, completó la partitura de Shield para el ballet-pantomima, Oscar y Malvina (1791), además de componer algunas de sus propias obras de teatro. Después del regreso de Shield en 1792, Reeve se convirtió en organista de St Martin Ludgate.pero continuó como compositor independiente para los teatros menores y de patentes de Londres. También proporcionó música bastante fácil para los espectáculos y pantomimas de actualidad en Sadler's Wells . Durante la Cuaresma de 1794, participó en el Lyceum Theatre durante cuatro noches a la semana, produciendo Mirth's Museum , un espectáculo de variedades. Sirvió un segundo mandato como compositor de la casa de Covent Garden durante 1797–8 y comenzó a colaborar con otros compositores. En 1802 escribió la música para la ópera cómica de Thomas John Dibdin , Family Quarrels .
Desde 1803 hasta su muerte, Reeve también se desempeñó como copropietario, director de música y accionista del Sadler's Wells Aquatic Theatre, donde creó alrededor de 80 libretos , muchos escritos por el copropietario Charles Dibdin el joven . Debido al éxito de Drury Lane de la ópera cómica de Reeve La caravana (1803), que presentaba un tanque de agua en el escenario al que saltó Carlos, el perro prodigio, para rescatar a un niño que se ahogaba, Sadler's Wells instaló un tanque de forma irregular de 8000 galones, tres metros de profundidad, debajo del escenario. Reeve escribió música para la nueva especialidad, 'aquadrama': musicales cantados con piratas , cascadas , batallas náuticas, demonios del océano y otros terrores acuáticos.
Reeve escribió en gran medida para apoyar y resaltar el talento de artistas específicos, como el payaso Joseph Grimaldi en Sadler's Wells, y para facilitar la escucha. Podía componer rápidamente canciones cómicas estróficas en el popular estilo escocés y compilar partituras basadas en baladas y canciones folklóricas genuinas . Los críticos encontraron su música entretenida. Algunas de sus otras obras populares posteriores incluyeron un melodrama , The Purse (1794), una pantomima de Robin Hood , Merry Sherwood (1795) (especialmente la canción para beber Soy un fraile de las órdenes grises ) y una ópera cómica , El Gabinete (1802). En el momento de su muerte en Londres, Reeve poseía siete de las 40 acciones de Sadler's Wells, que legó a su hija, Charlotte. Su familia también siguió carreras teatrales: su esposa, la Sra. Reeve, cantó en Astley's y en Mirth's Museum , su hija Charlotte era actriz y su hijo George componía para Sadler's Wells y tocaba la trompeta . Un retrato de Reeve grabado por J. Hopwood (después de E. Smith) aparece en el libreto de The Cabinet .