En matemáticas , la derivada formal es una operación sobre elementos de un anillo polinomial o un anillo de series formales de potencia que imita la forma de la derivada del cálculo . Aunque parecen similares, la ventaja algebraica de un derivado formal es que no se basa en la noción de límite , que en general es imposible de definir para un anillo . Muchas de las propiedades de la derivada son verdaderas de la derivada formal, pero algunas, especialmente aquellas que hacen declaraciones numéricas, no lo son.
La diferenciación formal se usa en álgebra para probar múltiples raíces de un polinomio .
Definición
La definición de derivado formal es como sigue: fijar un anillo R (no necesariamente conmutativa) y dejar que A = R [ x ] ser el anillo de los polinomios más de R . Entonces la derivada formal es una operación sobre elementos de A , donde si
entonces su derivado formal es
al igual que para los polinomios sobre los números reales o complejos . Aquí no significa multiplicación en el anillo, sino más bien dónde nunca se usa dentro de la suma.
Existe un problema con esta definición de anillos no conmutativos. La fórmula en sí es correcta, pero no existe una forma estándar de polinomio. Por lo tanto, utilizando esta definición es difícil probar que
Definición axiomática muy adecuada para anillos no conmutativos
A diferencia de la fórmula anterior, uno puede definir la derivada formal axiomáticamente como el mapa satisfaciendo las siguientes propiedades.
1) para todos
2) El axioma de normalización,
3) El mapa conmuta con la operación de suma en el anillo polinomial,
4) El mapa satisface la ley de Leibniz con respecto a la operación de multiplicación del anillo polinomial,
Se puede probar que esta definición axiomática produce un mapa bien definido que respeta todos los axiomas habituales del anillo.
La fórmula anterior (es decir, la definición de la derivada formal cuando el anillo de coeficientes es conmutativo) es una consecuencia directa de los axiomas antes mencionados:
Propiedades
Se puede verificar que:
- La diferenciación formal es lineal: para dos polinomios cualesquiera f ( x ), g ( x ) en R [ x ] y elementos r , s de R tenemos
- Cuando R no es conmutativa hay otra, diferente, propiedad de linealidad en la que r y s aparece a la derecha en lugar de a la izquierda. Cuando R no contiene un elemento identidad, ninguno de estos se reduce al caso de simplemente una suma de polinomios o la suma de un polinomio con un múltiplo de otro polinomio, que también debe incluirse como una propiedad de "linealidad".
- La derivada formal satisface la regla de Leibniz :
- Tenga en cuenta el orden de los factores; cuando R no es conmutativo, esto es importante.
Estas dos propiedades hacen que D sea una derivación de A (ver el módulo de formas diferenciales relativas para una discusión de una generalización).
Aplicación para encontrar factores repetidos
Como en el cálculo, la derivada detecta múltiples raíces. Si R es un campo, entonces R [ x ] es un dominio euclidiano , y en esta situación podemos definir multiplicidad de raíces; para cada polinomio f ( x ) en R [ x ] y cada elemento r de R , existe un entero no negativo m r y un polinomio g ( x ) tal que
donde g ( r ) ≠ 0 . m r es la multiplicidad de r como raíz de f . De la regla de Leibniz se deduce que, en esta situación, m r es también el número de diferenciaciones que deben realizarse en f ( x ) antes de que r deje de ser una raíz del polinomio resultante. La utilidad de esta observación es que aunque en general no todos los polinomios de grado n en R [ x ] tienen n raíces contando multiplicidad (este es el máximo, según el teorema anterior), podemos pasar a extensiones de campo en las que esto es cierto ( es decir, cierres algebraicos ). Una vez que hagamos, podemos descubrir una raíz múltiple, que no era una raíz en absoluto simplemente sobre R . Por ejemplo, si R es el campo con tres elementos, el polinomio
no tiene raíces en R ; sin embargo, su derivada formal es cero ya que 3 = 0 en R y en cualquier extensión de R , por lo que cuando pasamos al cierre algebraico tiene una raíz múltiple que no podría haber sido detectada por factorización en R en sí. Por tanto, la diferenciación formal permite una noción eficaz de multiplicidad. Esto es importante en la teoría de Galois , donde la distinción se hace entre extensiones de campo separables (definidas por polinomios sin raíces múltiples) y las inseparables.
Correspondencia a la derivada analítica
Cuando el anillo R de los escalares es conmutativo, existe una definición alternativa y equivalente de la derivada formal, que se asemeja a la que se ve en el cálculo diferencial. El elemento Y – X del anillo R [X, Y] divide Y n - X n para cualquier número entero no negativo n , y por lo tanto divide f (Y) - f (X) para cualquier polinomio f en uno indeterminado. Si el cociente en R [X, Y] se denota por g , entonces
Entonces no es difícil verificar que g (X, X) (en R [X]) coincide con la derivada formal de f como se definió anteriormente.
Esta formulación de la derivada funciona igualmente bien para una serie de potencias formales, siempre que el anillo de coeficientes sea conmutativo.
En realidad, si la división en esta definición se lleva a cabo en la clase de funciones de continuo en , recuperará la definición clásica de la derivada. Si se lleva a cabo en la clase de funciones continuas en ambos y , obtenemos una diferenciación uniforme y nuestra función será continuamente diferenciable. Del mismo modo, al elegir diferentes clases de funciones (digamos, la clase Lipschitz), obtenemos diferentes tipos de diferenciación. De esta forma, la diferenciación se convierte en parte del álgebra de funciones.
Ver también
Referencias
- Lang, Serge (2002), Álgebra , Textos de posgrado en matemáticas , 211 (Tercera edición revisada), Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556 , Zbl 0.984,00001
- Michael Livshits, podrías simplificar el cálculo, arXiv: 0905.3611v1