En teoría de números , un número de Woodall (W n ) es cualquier número natural de la forma
para algún número natural n . Los primeros números de Woodall son:
Historia
Los números de Woodall fueron estudiados por primera vez por Allan JC Cunningham y HJ Woodall en 1917, [1] inspirados en el estudio anterior de James Cullen sobre los números de Cullen definidos de manera similar .
Primos Woodall
¿Hay infinitos números primos de Woodall?
Los números de Woodall que también son números primos se denominan números primos de Woodall ; los primeros exponentes n para los que los números de Woodall correspondientes W n son primos son 2, 3, 6, 30, 75, 81, 115, 123, 249, 362, 384,… (secuencia A002234 en la OEIS ); los primos de Woodall comienzan con 7, 23, 383, 32212254719,… (secuencia A050918 en la OEIS ).
En 1976, Christopher Hooley demostró que casi todos los números de Cullen son compuestos . [2] En octubre de 1995, Wilfred Keller publicó un artículo discutiendo varios números primos de Cullen nuevos y los esfuerzos realizados para factorizar otros números de Cullen y Woodall. Incluido en que el papel es una comunicación personal a Keller de Hiromi Suyama , afirmando que el método de Hooley puede reformularse para mostrar que funciona para cualquier secuencia de números n · 2 n + a + b , donde un y b son números enteros, y, en particular , que los números de Woodall son casi todos compuestos. [3] Es un problema abierto sobre si hay infinitos números primos de Woodall. A octubre de 2018[actualizar], el primo Woodall más grande conocido es 17016602 × 2 17016602 - 1. [4] Tiene 5,122,515 dígitos y fue encontrado por Diego Bertolotti en marzo de 2018 en el proyecto de computación distribuida PrimeGrid . [5]
Restricciones
Comenzando con W 4 = 63 y W 5 = 159, cada sexto número de Woodall es divisible por 3; por tanto, para que W n sea primo, el índice n no puede ser congruente con 4 o 5 (módulo 6). Además, para un entero positivo m, el número de Woodall W 2 m puede ser primo solo si 2 m + m es primo. A partir de enero de 2019, los únicos números primos conocidos que son primos de Woodall y primos de Mersenne son W 2 = M 3 = 7 y W 512 = M 521 .
Propiedades de divisibilidad
Al igual que los números de Cullen, los números de Woodall tienen muchas propiedades de divisibilidad. Por ejemplo, si p es un número primo, entonces p divide
- W ( p + 1) / 2 si el símbolo de Jacobi es +1 y
- W (3 p - 1) / 2 si el símbolo de Jacobi es −1. [ cita requerida ]
Generalización
Una base numérica de Woodall generalizada b se define como un número de la forma n × b n - 1, donde n + 2> b ; si un número primo se puede escribir de esta forma, entonces se llama un número primo generalizado de Woodall .
Al menos n tales que n × b n - 1 es primo son [6]
- 3, 2, 1, 1, 8, 1, 2, 1, 10, 2, 2, 1, 2, 1, 2, 167, 2, 1, 12, 1, 2, 2, 29028, 1, 2, 3, 10, 2, 26850, 1, 8, 1, 42, 2, 6, 2, 24, 1, 2, 3, 2, 1, 2, 1, 2, 2, 140, 1, 2, 2, 22, 2, 8, 1, 2064, 2, 468, 6, 2, 1, 362, 1, 2, 2, 6, 3, 26, 1, 2, 3, 20, 1, 2, 1, 28, 2, 38, 5, 3024, 1, 2, 81, 858, 1, 2, 3, 2, 8, 60, 1, 2, 2, 10, 5, 2, 7, 182, 1, 17782, 3, ... (secuencia A240235 en la OEIS )
B | números n tales que n × b n - 1 es primo (estos n se verifican hasta 350000) | Secuencia OEIS |
1 | 3, 4, 6, 8, 12, 14, 18, 20, 24, 30, 32, 38, 42, 44, 48, 54, 60, 62, 68, 72, 74, 80, 84, 90, 98, 102, 104, 108, 110, 114, 128, 132, 138, 140, 150, 152, 158, 164, 168, 174, 180, 182, 192, 194, 198, 200, 212, 224, 228, 230, 234, 240, 242, 252, 258, 264, 270, 272, 278, 282, 284, 294, ... (todos los números primos más 1) | A008864 |
2 | 2, 3, 6, 30, 75, 81, 115, 123, 249, 362, 384, 462, 512, 751, 822, 5312, 7755, 9531, 12379, 15822, 18885, 22971, 23005, 98726, 143018, 151023, 667071, 1195203, 1268979, 1467763, 2013992, 2367906, 3752948, ... | A002234 |
3 | 1, 2, 6, 10, 18, 40, 46, 86, 118, 170, 1172, 1698, 1810, 2268, 4338, 18362, 72662, 88392, 94110, 161538, 168660, 292340, 401208, 560750, 1035092, ... | A006553 |
4 | 1, 2, 3, 5, 8, 14, 23, 63, 107, 132, 428, 530, 1137, 1973, 2000, 7064, 20747, 79574, 113570, 293912, ..., 1993191, ... | A086661 |
5 | 8, 14, 42, 384, 564, 4256, 6368, 21132, 27180, 96584, 349656, 545082, ... | A059676 |
6 | 1, 2, 3, 19, 20, 24, 34, 77, 107, 114, 122, 165, 530, 1999, 4359, 11842, 12059, 13802, 22855, 41679, 58185, 145359, 249987, ... | A059675 |
7 | 2, 18, 68, 84, 3812, 14838, 51582, ... | A242200 |
8 | 1, 2, 7, 12, 25, 44, 219, 252, 507, 1155, 2259, 2972, 4584, 12422, 13905, 75606, ... | A242201 |
9 | 10, 58, 264, 1568, 4198, 24500, ... | A242202 |
10 | 2, 3, 8, 11, 15, 39, 60, 72, 77, 117, 183, 252, 396, 1745, 2843, 4665, 5364, ... | A059671 |
11 | 2, 8, 252, 1184, 1308, ... | A299374 |
12 | 1, 6, 43, 175, 821, 910, 1157, 13748, 27032, 71761, 229918, ... | A299375 |
13 | 2, 6, 563528, ... | A299376 |
14 | 1, 3, 7, 98, 104, 128, 180, 834, 1633, 8000, 28538, 46605, 131941, 147684, 433734, ... | A299377 |
15 | 2, 10, 14, 2312, 16718, 26906, 27512, 41260, 45432, 162454, 217606, ... | A299378 |
dieciséis | 167, 189, 639, ... | A299379 |
17 | 2, 18, 20, 38, 68, 3122, 3488, 39500, ... | A299380 |
18 | 1, 2, 6, 8, 10, 28, 30, 39, 45, 112, 348, 380, 458, 585, 17559, 38751, 43346, 46984, 92711, ... | A299381 |
19 | 12, 410, 33890, 91850, 146478, 189620, 280524, ... | A299382 |
20 | 1, 18, 44, 60, 80, 123, 429, 1166, 2065, 8774, 35340, 42968, 50312, 210129, ... | A299383 |
21 | 2, 18, 200, 282, 294, 1174, 2492, 4348, ... | |
22 | 2, 5, 140, 158, 263, 795, 992, 341351, ... | |
23 | 29028, ... | |
24 | 1, 2, 5, 12, 124, 1483, 22075, 29673, 64593, ... | |
25 | 2, 68, 104, 450, ... | |
26 | 3, 8, 79, 132, 243, 373, 720, 1818, 11904, 134778, ... | |
27 | 10, 18, 20, 2420, 6638, 11368, 14040, 103444, ... | |
28 | 2, 5, 6, 12, 20, 47, 71, 624, 1149, 2399, 8048, 30650, 39161, ... | |
29 | 26850, 237438, 272970, ... | |
30 | 1, 63, 331, 366, 1461, 3493, 4002, 5940, 13572, 34992, 182461, 201038, ... |
A octubre de 2018[actualizar], el primo Woodall generalizado más grande conocido con base b mayor que 1 es 17016602 × 2 17016602 - 1.
Ver también
- Mersenne prime - Números primos de la forma 2 n - 1.
Referencias
- ^ Cunningham, AJ C ; Woodall, HJ (1917), "Factorización de y ", Messenger of Mathematics , 47 : 1–38.
- ^ Everest, Graham; van der Poorten, Alf ; Shparlinski, Igor; Ward, Thomas (2003). Secuencias de recurrencia . Encuestas y Monografías Matemáticas. 104 . Providence, RI : Sociedad Matemática Estadounidense . pag. 94. ISBN 0-8218-3387-1. Zbl 1033.11006 .
- ^ Keller, Wilfrid (enero de 1995). "Nuevos primos Cullen" . Matemáticas de la Computación . 64 (212): 1739. doi : 10.1090 / S0025-5718-1995-1308456-3 . ISSN 0025-5718 .Keller, Wilfrid (diciembre de 2013). "Wilfrid Keller" . www.fermatsearch.org . Hamburgo. Archivado desde el original el 28 de febrero de 2020 . Consultado el 1 de octubre de 2020 .
- ^ "The Prime Database: 8508301 * 2 ^ 17016603-1" , The Largest Known Primes Database de Chris Caldwell , consultado el 24 de marzo de 2018
- ^ PrimeGrid , Anuncio de 17016602 * 2 ^ 17016602 - 1 (PDF) , consultado el 1 de abril de 2018
- ^ Lista de primos Woodall generalizados base 3 a 10000
Otras lecturas
- Guy, Richard K. (2004), Problemas no resueltos en teoría de números (3.a ed.), Nueva York: Springer Verlag , págs. Sección B20, ISBN 0-387-20860-7.
- Keller, Wilfrid (1995), "New Cullen Primes" (PDF) , Matemáticas de la computación , 64 (212): 1733-1741, doi : 10.2307 / 2153382.
- Caldwell, Chris, "The Top Twenty: Woodall Primes" , The Prime Pages , consultado el 29 de diciembre de 2007.
enlaces externos
- Chris Caldwell, The Prime Glossary: Woodall number , and The Top Twenty: Woodall , and The Top Twenty: Generalized Woodall , en The Prime Pages .
- Weisstein, Eric W. "Número Woodall" . MathWorld .
- Steven Harvey, Lista de primos generalizados de Woodall .
- Paul Leyland, números generalizados de Cullen y Woodall