En matemáticas , un número de Cullen es un miembro de la secuencia entera (dónde es un número natural ). Los números de Cullen fueron estudiados por primera vez por James Cullen en 1905. Los números son casos especiales de números de Proth .
Propiedades
En 1976, Christopher Hooley demostró que la densidad natural de los números enteros positivos para el cual C n es primo es del orden o ( x ) para. En ese sentido, casi todos los números de Cullen son compuestos . [1] prueba de Hooley fue vuelto a trabajar por Hiromi Suyama para mostrar que funciona para cualquier secuencia de números n · 2 n + a + b , donde un y b son números enteros, y en particular también para números de Woodall . Los únicos números primos de Cullen conocidos son aquellos para n iguales a:
- 141, 4713, 5795, 6611, 18496, 32292, 32469, 59656, 90825, 262419, 361275, 481899, 1354828, 6328548, 6679881 (secuencia A005849 en la OEIS ).
Aún así, se conjetura que hay infinitos números primos Cullen.
Un número de Cullen C n es divisible por p = 2 n - 1 si p es un número primo de la forma 8 k - 3; Además, del pequeño teorema de Fermat se deduce que si p es un primo impar , entonces p divide C m ( k ) para cada m ( k ) = (2 k - k ) ( p - 1) - k (para k > 0) . También se ha demostrado que el número primo p divide C ( p + 1) / 2 cuando el símbolo de Jacobi (2 | p ) es −1, y que p divide C (3 p - 1) / 2 cuando el símbolo de Jacobi ( 2 | p ) es +1.
Se desconoce si existe un número primo p tal que C p también sea primo.
Generalizaciones
A veces, una base numérica de Cullen generalizada b se define como un número de la forma n · b n + 1, donde n + 2> b ; si un número primo se puede escribir de esta forma, entonces se llama un número primo de Cullen generalizado . Los números de Woodall a veces se denominan números de Cullen del segundo tipo . [2]
En marzo de 2020, el principal principal generalizado de Cullen conocido es 2805222 · 25 2805222 + 1. Tiene 3.921.539 dígitos y fue descubierto por Tom Greer, un participante de PrimeGrid . [3] [4]
Según el pequeño teorema de Fermat , si hay un primo p tal que n es divisible por p - 1 y n + 1 es divisible por p (especialmente, cuando n = p - 1) y p no divide b , entonces b n debe ser congruente con 1 mod p (ya que b n es una potencia de b p - 1 y b p - 1 es congruente con 1 mod p ). Por tanto, n · b n + 1 es divisible por p , por lo que no es primo. Por ejemplo, si algún n es congruente con 2 mod 6 (es decir, 2, 8, 14, 20, 26, 32, ...), n · b n + 1 es primo, entonces b debe ser divisible por 3 (excepto b = 1).
El mínimo n tal que n · b n + 1 es primo (con signos de interrogación si este término se desconoce actualmente) son [5] [6]
- 1, 1, 2, 1, 1242, 1, 34, 5, 2, 1, 10, 1,?, 3, 8, 1, 19650, 1, 6460, 3, 2, 1, 4330, 2, 2805222, 117, 2, 1,?, 1, 82960, 5, 2, 25, 304, 1, 36, 3, 368, 1, 1806676, 1, 390, 53, 2, 1,?, 3,?, 9665, 62, 1, 1341174, 3,?, 1072, 234, 1, 220, 1, 142, 1295, 8, 3, 16990, 1, 474, 129897,?, 1, 13948, 1,?, 3, 2, 1161, 12198, 1, 682156, 5, 350, 1, 1242, 26, 186, 3, 2, 1, 298, 14, 101670, 9, 2, 775, 202, 1, 1374, 63, 2, 1, ... (secuencia A240234 en la OEIS )
B | números n tales que n × b n + 1 es primo (estos n se comprueban hasta 101757) | Secuencia OEIS |
1 | 1, 2, 4, 6, 10, 12, 16, 18, 22, 28, 30, 36, 40, 42, 46, 52, 58, 60, 66, 70, 72, 78, 82, 88, 96, 100, 102, 106, 108, 112, 126, 130, 136, 138, 148, 150, 156, 162, 166, 172, 178, 180, 190, 192, 196, 198, 210, 222, 226, 228, 232, 238, 240, 250, 256, 262, 268, 270, 276, 280, 282, 292, ... (todos los números primos menos 1) | A006093 |
2 | 1, 141, 4713, 5795, 6611, 18496, 32292, 32469, 59656, 90825, 262419, 361275, 481899, 1354828, 6328548, 6679881, ... | A005849 |
3 | 2, 8, 32, 54, 114, 414, 1400, 1850, 2848, 4874, 7268, 19290, 337590, 1183414, ... | A006552 |
4 | 1, 3, 7, 33, 67, 223, 663, 912, 1383, 3777, 3972, 10669, 48375, ... | A007646 |
5 | 1242, 18390, ... | |
6 | 1, 2, 91, 185, 387, 488, 747, 800, 9901, 10115, 12043, 13118, 30981, 51496, ... | A242176 |
7 | 34, 1980, 9898, ... | A242177 |
8 | 5, 17, 23, 1911, 20855, 35945, 42816, ..., 749130, ... | A242178 |
9 | 2, 12382, 27608, 31330, 117852, ... | A265013 |
10 | 1, 3, 9, 21, 363, 2161, 4839, 49521, 105994, 207777, ... | A007647 |
11 | 10, ... | |
12 | 1, 8, 247, 3610, 4775, 19789, 187895, ... | A242196 |
13 | ... | |
14 | 3, 5, 6, 9, 33, 45, 243, 252, 1798, 2429, 5686, 12509, 42545, ... | A242197 |
15 | 8, 14, 44, 154, 274, 694, 17426, 59430, ... | A242198 |
dieciséis | 1, 3, 55, 81, 223, 1227, 3012, 3301, ... | A242199 |
17 | 19650, 236418, ... | |
18 | 1, 3, 21, 23, 842, 1683, 3401, 16839, 49963, 60239, 150940, 155928, ... | A007648 |
19 | 6460, ... | |
20 | 3, 6207, 8076, 22356, 151456, ... | |
21 | 2, 8, 26, 67100, ... | |
22 | 1, 15, 189, 814, 19909, 72207, ... | |
23 | 4330, 89350, ... | |
24 | 2, 8, 368, ... | |
25 | 2805222, ... | |
26 | 117, 3143, 3886, 7763, 64020, 88900, ... | |
27 | 2, 56, 23454, ..., 259738, ... | |
28 | 1, 48, 468, 2655, 3741, 49930, ... | |
29 | ... | |
30 | 1, 2, 3, 7, 14, 17, 39, 79, 87, 99, 128, 169, 221, 252, 307, 3646, 6115, 19617, 49718, ... |
Referencias
- ^ Everest, Graham; van der Poorten, Alf ; Shparlinski, Igor; Ward, Thomas (2003). Secuencias de recurrencia . Encuestas y Monografías Matemáticas. 104 . Providence, RI : Sociedad Matemática Estadounidense . pag. 94. ISBN 0-8218-3387-1. Zbl 1033.11006 .
- ^ Marques, Diego (2014). "Sobre números de Cullen y Woodall generalizados que también son números de Fibonacci" (PDF) . Diario de secuencias de enteros . 17 .
- ^ "Anuncio oficial de PrimeGrid" (PDF) . Primegrid . El 2 de septiembre de 2019 . Consultado el 13 de marzo de 2020 .
- ^ "La base de datos principal: 2805222 * 5 ^ 5610444 + 1" . La base de datos de primas más grande conocida de Chris Caldwell . Consultado el 13 de marzo de 2020 .
- ^ Löh, Günter (6 de mayo de 2017). "Primos Cullen generalizados" .
- ^ Harvey, Steven (6 de mayo de 2017). "Lista de primos de Cullen generalizados base 101 a 10000" .
Otras lecturas
- Cullen, James (diciembre de 1905), "Pregunta 15897", Educ. Veces : 534.
- Guy, Richard K. (2004), Problemas no resueltos en teoría de números (3.a ed.), Nueva York: Springer Verlag , Sección B20, ISBN 0-387-20860-7, Zbl 1058.11001.
- Hooley, Christopher (1976), Aplicaciones de los métodos de tamizado , Cambridge Tracts in Mathematics, 70 , Cambridge University Press , págs. 115-119, ISBN 0-521-20915-3, Zbl 0327.10044.
- Keller, Wilfrid (1995), "New Cullen Primes" (PDF) , Mathematics of Computation , 64 (212): 1733-1741, S39-S46, doi : 10.2307 / 2153382 , ISSN 0025-5718 , Zbl 0851.11003.
enlaces externos
- Chris Caldwell, The Top Twenty: Cullen primos en The Prime Pages .
- The Prime Glosario: número de Cullen en The Prime Pages.
- Weisstein, Eric W. "Número Cullen" . MathWorld .
- Cullen Prime: definición y estado [ enlace muerto permanente ] (desactualizado), Cullen Prime Search ahora está alojado en PrimeGrid
- Paul Leyland, (generalizados) Cullen y Woodall Números