Invariante de Yamabe

En matemáticas , en el campo de la geometría diferencial , el invariante de Yamabe , también conocido como la constante sigma , es un invariante de número real asociado a una variedad suave que se conserva bajo difeomorfismos . Fue escrito por primera vez de forma independiente por O. Kobayashi y R. Schoen y toma su nombre de H. Yamabe .

Definición

Sea un colector liso compacto (sin límite) de dimensión . El funcional normalizado de Einstein-Hilbert asigna a cada métrica de Riemann en un número real de la siguiente manera:${\displaystyle M}$${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle g}$${\displaystyle M}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}(g)={\frac {\int _{M}R_{g}\,dV_{g}}{\left(\int _{M}\,dV_{g}\right)^{\frac {n-2}{n}}}},}$

donde es la curvatura escalar de y es la densidad de volumen asociada a la métrica . El exponente en el denominador se elige de modo que el funcional sea invariante de escala: para cada constante real positiva , satisface . Podemos pensar en medir la curvatura escalar media de más . Yamabe conjeturó que cada clase de métrica conforme contiene una métrica de curvatura escalar constante (el llamado problema de Yamabe ); Yamabe, Trudinger , Aubin y Schoen demostraron que un valor mínimo de${\displaystyle R_{g}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle dV_{g}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle c}$${\displaystyle {\mathcal {E}}(cg)={\mathcal {E}}(g)}$${\displaystyle {\mathcal {E}}(g)}$${\displaystyle g}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\mathcal {E}}(g)}$ se alcanza en cada clase conforme de métricas y, en particular, este mínimo se logra mediante una métrica de curvatura escalar constante.

Definimos

${\displaystyle Y(g)=\inf _{f}{\mathcal {E}}(e^{2f}g),}$

donde el mínimo se toma sobre las funciones suaves de valor real en . Este mínimo es finito (no ): la desigualdad de Hölder lo implica . El número a veces se denomina energía conforme de Yamabe de (y es constante en las clases conformes).${\displaystyle f}$${\displaystyle M}$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle Y(g)\geq -\left(\textstyle \int _{M}|R_{g}|^{n/2}\,dV_{g}\right)^{2/n}}$${\displaystyle Y(g)}$${\displaystyle g}$

Un argumento de comparación debido a Aubin muestra que para cualquier métrica , está delimitado por encima de , donde es la métrica estándar en la -esfera . De ello se deduce que si definimos${\displaystyle g}$${\displaystyle Y(g)}$${\displaystyle {\mathcal {E}}(g_{0})}$${\displaystyle g_{0}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle S^{n}}$

${\displaystyle \sigma (M)=\sup _{g}Y(g),}$

donde el supremo se hace cargo de todas las métricas en , entonces (y es en particular finito). El número real se llama invariante de Yamabe .${\displaystyle M}$${\displaystyle \sigma (M)\leq {\mathcal {E}}(g_{0})}$${\displaystyle \sigma (M)}$${\displaystyle M}$

El invariante de Yamabe en dos dimensiones

En el caso de que , (de modo que M sea ​​una superficie cerrada ) el funcional de Einstein-Hilbert está dado por${\displaystyle n=2}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}(g)=\int _{M}R_{g}\,dV_{g}=\int _{M}2K_{g}\,dV_{g},}$

donde es la curvatura de Gauss de g . Sin embargo, por el Gauss-Bonnet teorema , la integral de la curvatura Gauss está dada por , donde es la característica de Euler de M . En particular, este número no depende de la elección de la métrica. Por lo tanto, para superficies, concluimos que${\displaystyle K_{g}}$${\displaystyle 2\pi \chi (M)}$${\displaystyle \chi (M)}$

${\displaystyle \sigma (M)=4\pi \chi (M).}$

Por ejemplo, la 2-esfera tiene el invariante de Yamabe igual a , y el 2-toro tiene el invariante de Yamabe igual a cero.${\displaystyle 8\pi }$

Ejemplos de

A finales de la década de 1990, Claude LeBrun y sus colaboradores calcularon el invariante de Yamabe para grandes clases de 4 variedades . En particular, se demostró que la mayoría de las superficies complejas compactas tienen invariante de Yamabe negativo, exactamente computable, y que cualquier métrica de Kähler-Einstein de curvatura escalar negativa realiza el invariante de Yamabe en la dimensión 4. También se demostró que el invariante de Yamabe de se realiza mediante la métrica de Fubini-Study , por lo que es menor que la de las 4 esferas. La mayoría de estos argumentos involucran la teoría de Seiberg-Witten y, por lo tanto, son específicos de la dimensión 4.${\displaystyle CP^{2}}$

Un resultado importante debido a que Petean afirma que si simplemente está conectado y tiene dimensión , entonces . A la luz de la solución de Perelman a la conjetura de Poincaré , se deduce que una variedad simplemente conectada puede tener invariante de Yamabe negativo solo si . Por otro lado, como ya se ha indicado, las variedades simplemente conectadas tienen, de hecho, a menudo invariantes de Yamabe negativas.${\displaystyle M}$${\displaystyle n\geq 5}$${\displaystyle \sigma (M)\geq 0}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n=4}$${\displaystyle 4}$

A continuación se muestra una tabla de algunas variedades suaves de dimensión tres con invariante de Yamabe conocido. En la dimensión 3, el número es igual ay a menudo se denota .${\displaystyle {\mathcal {E}}(g_{0})}$${\displaystyle 6(2\pi ^{2})^{2/3}}$${\displaystyle \sigma _{1}}$

${\displaystyle M}$	${\displaystyle \sigma (M)}$	notas
S 3 {\displaystyle S^{3}}	${\displaystyle \sigma _{1}}$	la 3-esfera
${\displaystyle S^{2}\times S^{1}}$	${\displaystyle \sigma _{1}}$	el trivial paquete de 2 esferas sobre [1]${\displaystyle S^{1}}$
${\displaystyle S^{2}{\stackrel {\sim }{\times }}S^{1}}$	${\displaystyle \sigma _{1}}$	el exclusivo paquete de 2 esferas no orientables sobre ${\displaystyle S^{1}}$
R P 3 {\displaystyle \mathbb {R} \mathbb {P} ^{3}}	${\displaystyle \sigma _{1}/2^{2/3}}$	calculado por Bray y Neves
${\displaystyle \mathbb {R} \mathbb {P} ^{2}\times S^{1}}$	${\displaystyle \sigma _{1}/2^{2/3}}$	calculado por Bray y Neves
T 3 {\displaystyle T^{3}}	${\displaystyle 0}$	el 3-toro

Según un argumento de Anderson, los resultados de Perelman sobre el flujo de Ricci implican que la métrica de curvatura constante en cualquier triple hiperbólico realiza el invariante de Yamabe. Esto nos proporciona un número infinito de ejemplos de 3 variedades para las que la invariante es negativa y exactamente computable.

Importancia topológica

El signo del invariante de Yamabe contiene información topológica importante. Por ejemplo, es positivo si y solo si admite una métrica de curvatura escalar positiva. ^[2] La importancia de este hecho es que se sabe mucho sobre la topología de variedades con métricas de curvatura escalar positiva.${\displaystyle M}$${\displaystyle \sigma (M)}$${\displaystyle M}$

Ver también

• Flujo de Yamabe
• Problema de Yamabe
• Teorema de Obata

Notas

1. Ver Schoen, pág. 135
2. Akutagawa, et al., Pág. 73

Referencias

• MT Anderson , "Métricas canónicas en 3 y 4 variedades", Asian J. Math. 10 127–163 (2006).
• K. Akutagawa, M. Ishida y C. LeBrun, "El invariante de Perelman, el flujo de Ricci y los invariantes de Yamabe de las variedades suaves", Arch. Matemáticas. 88 , 71–76 (2007).
• H. Bray y A. Neves, "Clasificación de 3 variedades primos con invariante de Yamabe mayor que ", Ann. de Matemáticas. 159 , 407–424 (2004).${\displaystyle \mathbb {RP} ^{3}}$
• MJ Gursky y C. LeBrun, "Invariantes y estructuras de Yamabe ", Geom. Funct. Anal. 8 965–977 (1998).${\displaystyle Spin^{c}}$
• O. Kobayashi, "Curvatura escalar de una métrica con unidad de volumen", Matemáticas. Ana. 279 , 253-265, 1987.
• C. LeBrun, "Cuatro variedades sin métricas de Einstein", Matemáticas. Res. Letón. 3 133-147 (1996).
• C. LeBrun, "La dimensión de Kodaira y el problema de Yamabe", Comm. Anal. Geom. 7 133-156 (1999).
• J. Petean, "El invariante de Yamabe de variedades simplemente conectadas", J. Reine Angew. Matemáticas. 523 225-231 (2000).
• R. Schoen, "Teoría variacional para la curvatura escalar total funcional para métricas riemannianas y temas relacionados", Temas en cálculo de variaciones , Lect. Notas de matemáticas. 1365 , Springer, Berlín, 120-154, 1989.