Ecuaciones de Yang-Mills

Este artículo analiza las ecuaciones de Yang-Mills desde una perspectiva matemática. Para la perspectiva de la física, consulte la teoría de Yang-Mills.

En física y matemáticas , y especialmente en geometría diferencial y teoría de gauge , las ecuaciones de Yang-Mills son un sistema de ecuaciones diferenciales parciales para una conexión en un conjunto de vectores o conjunto principal . Las ecuaciones de Yang-Mills surgen en física como las ecuaciones de Euler-Lagrange de la función de acción de Yang-Mills . Sin embargo, las ecuaciones de Yang-Mills han encontrado un uso significativo de forma independiente dentro de las matemáticas.

Las soluciones de las ecuaciones de Yang-Mills se denominan conexiones o instantones de Yang-Mills . El espacio de módulos de instantones fue utilizado por Simon Donaldson para demostrar el teorema de Donaldson .

Motivación

Física

En su artículo fundacional sobre el tema de las teorías de gauge, Robert Mills y Chen Yang desarrollaron (esencialmente independiente de la literatura matemática) la teoría de los conjuntos y conexiones principales para explicar el concepto de simetría de gauge y la invariancia de gauge según se aplica a las teorías físicas. . ^[1] Las teorías de gauge que descubrieron Yang y Mills, ahora llamadas teorías de Yang-Mills , generalizaron el trabajo clásico de James Maxwell sobre las ecuaciones de Maxwell , que había sido redactado en el lenguaje de una teoría de gauge por Wolfgang Pauli y otros. ^[2]${\displaystyle \operatorname {U} (1)}$La novedad del trabajo de Yang y Mills fue definir las teorías de calibre para una elección arbitraria del grupo de Lie , llamado grupo de estructura (o en física el grupo de calibre , ver Grupo de calibre (matemáticas) para más detalles). Este grupo podría ser no abeliano a diferencia del caso correspondiente al electromagnetismo, y el marco adecuado para discutir tales objetos es la teoría de los haces principales .${\displaystyle G}$${\displaystyle G=\operatorname {U} (1)}$

Los puntos esenciales del trabajo de Yang y Mills son los siguientes. Se asume que la descripción fundamental de un modelo físico es a través del uso de campos , y se deriva que bajo una transformación de gauge local (cambio de trivialización local del paquete principal), estos campos físicos deben transformarse precisamente de la manera en que una conexión (en física , un campo de indicador ) en una transformación de paquete principal. La intensidad del campo indicador es la curvatura de la conexión, y la energía del campo indicador viene dada (hasta una constante) por la función de acción de Yang-Mills.${\displaystyle A}$${\displaystyle F_{A}}$

${\displaystyle \operatorname {YM} (A)=\int _{X}\|F_{A}\|^{2}\,d\mathrm {vol} _{g}.}$

El principio de mínima acción dicta que las ecuaciones de movimiento correctas para esta teoría física deben estar dadas por las ecuaciones de Euler-Lagrange de este funcional, que son las ecuaciones de Yang-Mills que se derivan a continuación :

${\displaystyle d_{A}\star F_{A}=0.}$

Matemáticas

Además de los orígenes físicos de la teoría, las ecuaciones de Yang-Mills son de importante interés geométrico. En general, no existe una elección natural de conexión en un paquete de vectores o un paquete principal. En el caso especial en el que este paquete es el paquete tangente a una variedad de Riemann , existe una elección tan natural, la conexión Levi-Civita , pero en general hay un espacio de dimensiones infinitas de opciones posibles. Una conexión Yang-Mills ofrece algún tipo de elección natural de conexión para un haz de fibras general, como describimos ahora.

Una conexión se define por sus formas locales para una cubierta abierta trivializante para el paquete . El primer intento de elegir una conexión canónica podría ser exigir que estas formas desaparezcan. Sin embargo, esto no es posible a menos que la trivialización sea plana, en el sentido de que las funciones de transición son funciones constantes. No todos los paquetes son planos, por lo que esto no es posible en general. En su lugar, uno podría preguntar que las formas de conexión local son en sí mismas constantes. En un paquete principal, la forma correcta de expresar esta condición es que la curvatura desaparece. Sin embargo, según la teoría de Chern-Weil, si la curvatura desaparece (es decir, es una conexión plana${\displaystyle A_{\alpha }\in \Omega ^{1}(U_{\alpha },\operatorname {ad} (P))}$${\displaystyle \{U_{\alpha }\}}$${\displaystyle P\to X}$${\displaystyle g_{\alpha \beta }:U_{\alpha }\cap U_{\beta }\to G}$${\displaystyle A_{\alpha }}$${\displaystyle F_{A}=dA+{\frac {1}{2}}[A,A]}$${\displaystyle F_{A}}$${\displaystyle A}$), entonces el paquete principal subyacente debe tener clases de Chern triviales , lo cual es una obstrucción topológica para la existencia de conexiones planas: no todos los paquetes principales pueden tener una conexión plana.

Lo mejor que se puede esperar es pedir que en lugar de desaparecer la curvatura, el paquete tenga una curvatura lo más pequeña posible . El funcional de acción de Yang-Mills descrito anteriormente es precisamente (el cuadrado de) la -norm de la curvatura, y sus ecuaciones de Euler-Lagrange describen los puntos críticos de este funcional, ya sea el mínimo absoluto o el mínimo local. Es decir, las conexiones Yang-Mills son precisamente las que minimizan su curvatura. En este sentido, son la elección natural de conexión en un paquete principal o vectorial sobre una variedad desde un punto de vista matemático.${\displaystyle L^{2}}$

Definición

Sea una variedad compacta , orientada y riemanniana . Las ecuaciones de Yang-Mills se puede expresar por una conexión en un paquete del vector o principal sobre -bundle , por alguna compacto grupo de Lie . Aquí se presenta la última convención. Dejar que denotan un director sobre -bundle . Entonces, una conexión en puede especificarse mediante una forma diferencial con valores de álgebra de Lie en el espacio total del paquete principal. Esta conexión tiene una forma de curvatura , que es una de dos forma en con valores en el paquete adjunto de${\displaystyle X}$${\displaystyle G}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$${\displaystyle P}$${\displaystyle G}$${\displaystyle X}$${\displaystyle P}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F_{A}}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} (P)}$${\displaystyle P}$. Asociado a la conexión hay una derivada covariante exterior , definida en el paquete adjunto. Además, dado que es compacto, su álgebra de Lie compacta asociada admite un producto interno invariante bajo la representación adjunta .${\displaystyle A}$ ${\displaystyle d_{A}}$${\displaystyle G}$

Dado que es riemanniano, hay un producto interno en el paquete cotangente , y combinado con el producto interno invariante en, hay un producto interno en el paquete de dos formas valoradas en . Dado que está orientado, hay un producto interno en las secciones de este paquete. A saber, ${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {ad} (P)}$${\displaystyle \operatorname {ad} (P)\otimes \Lambda ^{2}T^{*}X}$${\displaystyle \operatorname {ad} (P)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle L^{2}}$

${\displaystyle \langle s,t\rangle _{L^{2}}=\int _{X}\langle s,t\rangle \,dvol_{g}}$

donde dentro de la integral se usa el producto interno en forma de haz, y es la forma de volumen de Riemann . Usando este producto interno, el operador adjunto formal de se define por${\displaystyle dvol_{g}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle d_{A}}$

${\displaystyle \langle d_{A}s,t\rangle _{L^{2}}=\langle s,d_{A}^{*}t\rangle _{L^{2}}}$.

Explícitamente esto viene dado por dónde está el operador de estrella de Hodge actuando sobre dos formas.${\displaystyle d_{A}^{*}=\pm \star d_{A}\star }$${\displaystyle \star }$

Suponiendo la configuración anterior, las ecuaciones de Yang-Mills son un sistema de ecuaciones diferenciales parciales (en general no lineales) dadas por

${\displaystyle d_{A}^{*}F_{A}=0.}$[3]

( 1 )

Dado que la estrella de Hodge es un isomorfismo, por la fórmula explícita de las ecuaciones de Yang-Mills se pueden escribir de manera equivalente${\displaystyle d_{A}^{*}}$

${\displaystyle d_{A}\star F_{A}=0.}$

( 2 )

Una conexión que satisface ( 1 ) o ( 2 ) se denomina conexión Yang-Mills .

Cada conexión satisface automáticamente la identidad de Bianchi , por lo que las conexiones de Yang-Mills pueden verse como un análogo no lineal de formas diferenciales armónicas , que satisfacen${\displaystyle d_{A}F_{A}=0}$

${\displaystyle d\omega =d^{*}\omega =0}$.

En este sentido, la búsqueda de conexiones Yang-Mills se puede comparar con la teoría de Hodge , que busca un representante armónico en la clase de cohomología de De Rham de una forma diferencial. La analogía es que una conexión Yang-Mills es como un representante armónico en el conjunto de todas las conexiones posibles en un paquete principal.

Derivación

Las ecuaciones de Yang-Mills son las ecuaciones de Euler-Lagrange del funcional Yang-Mills , definido por

${\displaystyle \operatorname {YM} (A)=\int _{X}\|F_{A}\|^{2}\,d\mathrm {vol} _{g}.}$

( 3 )

Para derivar las ecuaciones de lo funcional, recuerde que el espacio de todas las conexiones en es un espacio afín modelado en el espacio vectorial . Dada una pequeña deformación de una conexión en este espacio afín, las curvaturas están relacionadas por${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \Omega ^{1}(P;{\mathfrak {g}})}$${\displaystyle A+ta}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle F_{A+ta}=F_{A}+td_{A}a+t^{2}a\wedge a.}$

Para determinar los puntos críticos de ( 3 ), calcule

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\left(\operatorname {YM} (A+ta)\right)_{t=0}&={\frac {d}{dt}}\left(\int _{X}\langle F_{A}+t\,d_{A}a+t^{2}a\wedge a,F_{A}+t\,d_{A}a+t^{2}a\wedge a\rangle \,d\mathrm {vol} _{g}\right)_{t=0}\\&={\frac {d}{dt}}\left(\int _{X}\|F_{A}\|^{2}+2t\langle F_{A},d_{A}a\rangle +2t^{2}\langle F_{A},a\wedge a\rangle +t^{4}\|a\wedge a\|^{2}\,d\mathrm {vol} _{g}\right)_{t=0}\\&=2\int _{X}\langle d_{A}^{*}F_{A},a\rangle \,d\mathrm {vol} _{g}.\end{aligned}}}$

La conexión es un punto crítico del funcionamiento de Yang-Mills si y solo si esto desaparece para todos , y esto ocurre precisamente cuando se satisface ( 1 ).${\displaystyle A}$${\displaystyle a}$

Espacio de módulos de conexiones Yang-Mills

Las ecuaciones de Yang-Mills son invariantes de calibre . Matemáticamente, una transformación de gauge es un automorfismo del paquete principal , y dado que el producto interno de es invariante, el funcional de Yang-Mills satisface${\displaystyle g}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \operatorname {ad} (P)}$

${\displaystyle \operatorname {YM} (g\cdot A)=\int _{X}\|gF_{A}g^{-1}\|^{2}\,dvol_{g}=\int _{X}\|F_{A}\|^{2}\,d\mathrm {vol} _{g}=\operatorname {YM} (A)}$

y así, si satisface ( 1 ), también lo hace . ${\displaystyle A}$${\displaystyle g\cdot A}$

Hay un espacio de módulos de transformaciones de calibre módulo de conexiones Yang-Mills. Denotar por el grupo de calibre de automorfismos de . El conjunto clasifica todas las transformaciones de calibre de módulo de conexiones, y el espacio de módulos de conexiones de Yang-Mills es un subconjunto. En general, ni o es Hausdorff ni una variedad suave. Sin embargo, al restringir a conexiones irreducibles, es decir, conexiones cuyo grupo de holonomía está dado por todos , se obtienen espacios de Hausdorff. El espacio de conexiones irreducibles se denota , por lo que los espacios de módulos se denotan y .${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle {\mathcal {B}}={\mathcal {A}}/{\mathcal {G}}}$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\mathcal {A}}^{*}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}^{*}}$${\displaystyle {\mathcal {M}}^{*}}$

Los espacios de módulos de las conexiones de Yang-Mills se han estudiado intensamente en circunstancias específicas. Michael Atiyah y Raoul Bott estudiaron las ecuaciones de Yang-Mills para haces sobre superficies compactas de Riemann . ^[4] Allí, el espacio de módulos obtiene una descripción alternativa como un espacio de módulos de haces de vectores holomórficos . Este es el teorema de Narasimhan-Seshadri , que fue probado de esta forma relacionando las conexiones de Yang-Mills con los paquetes de vectores holomórficos por Donaldson. ^[5] En este entorno, el espacio de módulos tiene la estructura de un colector compacto de Kähler.. Las conexiones de módulos de Yang-Mills se han estudiado más cuando la dimensión de la variedad base es cuatro. ^{[3] [6]} Aquí las ecuaciones de Yang-Mills admiten una simplificación de una PDE de segundo orden a una PDE de primer orden, las ecuaciones de anti-auto-dualidad .${\displaystyle X}$

Ecuaciones anti-auto-dualidad

Cuando la dimensión de la variedad base es cuatro, ocurre una coincidencia. El operador de la estrella de Hodge lleva diferencial -formas a diferencia de -formas, donde . Así, en la dimensión cuatro, el operador estelar de Hodge mapea dos formas a dos formas,${\displaystyle X}$ p {\displaystyle p} ${\displaystyle (n-p)}$${\displaystyle \dim X=n}$

${\displaystyle \star :\Omega ^{2}(X)\to \Omega ^{2}(X)}$.

El operador de estrella de Hodge cuadra con la identidad en este caso, y también tiene valores propios y . En particular hay una descomposición${\displaystyle 1}$${\displaystyle -1}$

${\displaystyle \Omega ^{2}(X)=\Omega _{+}(X)\oplus \Omega _{-}(X)}$

en los espacios propios positivos y negativos de las dos formas auto-dual y anti-auto-dual . Si una conexión en un paquete principal sobre un múltiple de cuatro satisface o , entonces por ( 2 ), la conexión es una conexión Yang-Mills. Estas conexiones se denominan conexiones auto-duales o conexiones anti-auto-dual , y las ecuaciones son ecuaciones de auto-dualidad (SD) y ecuaciones de anti-auto-dualidad (ASD) . ^[3] Los espacios de conexiones auto-dual y anti-auto-dual se denotan por y , y de manera similar para y${\displaystyle \star }$${\displaystyle A}$${\displaystyle G}$${\displaystyle X}$${\displaystyle F_{A}={\star F_{A}}}$${\displaystyle F_{A}=-{\star F_{A}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}^{+}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}^{-}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\pm }}$${\displaystyle {\mathcal {M}}^{\pm }}$.

El espacio de módulos de las conexiones ASD, o instantons, fue estudiado más intensamente por Donaldson en el caso donde y está simplemente conectado . ^{[7] [8] [9]} En esta configuración, el director -bundle se clasifica por su segunda clase de Chern , . ^{[Nota 1]} Para varias elecciones de paquete principal, se obtienen espacios de módulos con propiedades interesantes. Estos espacios son de Hausdorff, incluso cuando permiten conexiones reducibles, y son genéricamente lisos. Donaldson demostró que la parte lisa es orientable. Según el teorema del índice de Atiyah-Singer , se puede calcular que la dimensión del espacio de módulos de las conexiones ASD cuando${\displaystyle G=\operatorname {SU} (2)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$${\displaystyle c_{2}(P)\in H^{4}(X,\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} }$${\displaystyle {\mathcal {M}}_{k}^{-}}$${\displaystyle c_{2}(P)=k}$, ser - estar

${\displaystyle \dim {\mathcal {M}}_{k}^{-}=8k-3(1-b_{1}(X)+b_{+}(X))}$

donde es el primer número Betti de , y es la dimensión del subespacio definido positivo de con respecto a la forma de intersección en . ^[3] Por ejemplo, cuando y , la forma de intersección es trivial y el espacio de módulos tiene dimensión . Esto concuerda con la existencia del instante BPST , que es el instante ASD único en hasta una familia de 5 parámetros que define su centro y su escala. Tales instancias pueden extenderse a través del punto en el infinito usando el teorema de la singularidad removible de Uhlenbeck.${\displaystyle b_{1}(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle b_{+}(X)}$${\displaystyle H_{2}(X,\mathbb {R} )}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X=S^{4}}$${\displaystyle k=1}$${\displaystyle \dim {\mathcal {M}}_{1}^{-}(S^{4})=8-3=5}$${\displaystyle S^{4}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

Aplicaciones

Teorema de Donaldson

Artículo principal: teorema de Donaldson

Donaldson utilizó el espacio de módulos de las ecuaciones de Yang-Mills para demostrar el teorema de Donaldson sobre la forma de intersección de cuatro variedades simplemente conectadas. Utilizando los resultados analíticos de Clifford Taubes y Karen Uhlenbeck , Donaldson pudo demostrar que en circunstancias específicas (cuando la forma de la intersección es definida ) el espacio de módulos de los instantes de ASD en un cuatro-múltiple liso, compacto, orientado y simplemente conectado da un cobordismo entre una copia de la multiplicidad misma y una unión inconexa de copias del plano proyectivo complejo . ^{[7] [10] [11] [12]}${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{2}}$ La forma de intersección es un cobordismo invariante hasta el isomorfismo, lo que muestra que cualquier variedad suave de este tipo tiene una forma de intersección diagonalizable.

El espacio de módulos de los instantones de ASD se puede utilizar para definir más invariantes de cuatro variedades. Donaldson definió números racionales asociados a una variedad de cuatro que surgen de emparejamientos de clases de cohomología en el espacio de módulos. ^[9] Este trabajo ha sido posteriormente superado por invariantes de Seiberg-Witten .

Reducción dimensional y otros espacios de módulos

Mediante el proceso de reducción dimensional, las ecuaciones de Yang-Mills pueden usarse para derivar otras ecuaciones importantes en geometría diferencial y teoría de gauge. La reducción dimensional es el proceso de tomar las ecuaciones de Yang-Mills sobre una variedad de cuatro, típicamente , e imponer que las soluciones sean invariantes bajo un grupo de simetría. Por ejemplo:${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

• Al requerir que las ecuaciones de anti-auto-dualidad sean invariantes bajo traslaciones en una sola dirección de , se obtienen las ecuaciones de Bogomolny que describen los monopolos magnéticos en .${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$
• Al requerir que las ecuaciones de auto-dualidad sean invariantes tras la traducción en dos direcciones, se obtienen las ecuaciones de Hitchin que primero investigó Hitchin . Estas ecuaciones conducen naturalmente al estudio de los haces de Higgs y el sistema de Hitchin .
• Al requerir que las ecuaciones de anti-auto-dualidad sean invariantes en tres direcciones, se obtienen las ecuaciones de Nahm en un intervalo.

Existe una dualidad entre las soluciones de las ecuaciones ASD dimensionalmente reducidas en y llamada transformada de Nahm, en honor a Werner Nahm , quien describió por primera vez cómo construir monopolos a partir de los datos de la ecuación de Nahm. ^[13] Hitchin mostró lo contrario, y Donaldson demostró que las soluciones a las ecuaciones de Nahm podrían vincularse aún más a los espacios de módulos de mapas racionales desde la línea proyectiva compleja hasta sí misma. ^{[14] [15]}${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

Se teoriza que la dualidad observada para estas soluciones es válida para grupos duales arbitrarios de simetrías de una multiplicidad de cuatro. De hecho, existe una dualidad similar entre los instantones invariantes bajo redes duales en el interior , instantones en toros duales de cuatro dimensiones, y la construcción ADHM puede considerarse como una dualidad entre instantones en y datos algebraicos duales sobre un solo punto. ^[3]${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

Teoría de Chern-Simons

Artículo principal: teoría de Chern-Simons

El espacio de módulos de las ecuaciones de Yang-Mills sobre una superficie de Riemann compacta puede verse como el espacio de configuración de la teoría de Chern-Simons en un cilindro . En este caso, el espacio de módulos admite una cuantificación geométrica , descubierta independientemente por Nigel Hitchin y Axelrod – Della Pietra– Witten . ^{[16] [17]}${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \Sigma \times [0,1]}$

Ver también

• Conexión (paquete de vectores)
• Conexión (paquete principal)
• Teoría de Donaldson
• Ecuaciones de Hermitian Yang-Mills
• Ecuaciones de Yang-Mills de Hermitian deformadas
• Ecuaciones de Yang-Mills-Higgs

Notas

1. Para una prueba de este hecho, consulte la publicación https://mathoverflow.net/a/265399 .

Referencias

1. Yang, CN y Mills, RL, 1954. Conservación del giro isotópico y la invariancia de calibre isotópico. Revisión física, 96 (1), p.191.
2. Pauli, W., 1941. Teorías de campo relativista de partículas elementales. Reviews of Modern Physics, 13 (3), p.203.
3. Donaldson, SK y Kronheimer, PB (1990). La geometría de cuatro variedades. Prensa de la Universidad de Oxford.
4. Atiyah, MF y Bott, R. (1983). Las ecuaciones de Yang-Mills sobre superficies de Riemann. Transacciones filosóficas de la Royal Society de Londres. Serie A, Ciencias Físicas y Matemáticas, 308 (1505), 523–615.
5. Donaldson, SK (1983). Una nueva prueba de un teorema de Narasimhan y Seshadri. Journal of Differential Geometry, 18 (2), 269-277.
6. Friedman, R. y Morgan, JW (1998). Teoría del calibre y topología de cuatro variedades (Vol. 4). American Mathematical Soc ..
7. Donaldson, SK (1983). Una aplicación de la teoría de gauge a la topología de cuatro dimensiones. Journal of Differential Geometry, 18 (2), 279–315.
8. Donaldson, SK (1986). Conexiones, cohomología y formas de intersección de 4 variedades. Journal of Differential Geometry, 24 (3), 275–341.
9. Donaldson, SK (1990). Invariantes polinomiales para cuatro variedades suaves. Topología, 29 (3), 257–315.
10. Taubes, CH (1982). Conexiones Yang-Mills auto-duales en 4 colectores no-auto-duales. Revista de geometría diferencial, 17 (1), 139-170.
11. Uhlenbeck, KK (1982). Conexiones conlímites deL ^p en curvatura. Comunicaciones en física matemática, 83 (1), 31-42.
12. Uhlenbeck, KK (1982). Singularidades removibles en campos de Yang-Mills. Comunicaciones en física matemática, 83 (1), 11-29.
13. Nahm, W. (1983). Todos los multimonopolos auto-duales para grupos de calibres arbitrarios. En Elementos estructurales en física de partículas y mecánica estadística (págs. 301–310). Springer, Boston, MA.
14. Hitchin, Nueva Jersey (1983). Sobre la construcción de monopolos. Comunicaciones en física matemática, 89 (2), 145-190.
15. Donaldson, SK (1984). Ecuaciones de Nahm y clasificación de monopolos. Comunicaciones en física matemática, 96 (3), 387–408.
16. Hitchin, Nueva Jersey (1990). Conexiones planas y cuantificación geométrica. Comunicaciones en física matemática, 131 (2), 347–380.
17. Axelrod, S., Della Pietra, S. y Witten, E. (1991). Cuantización geométrica de la teoría del gauge de Chern Simons. representaciones, 34, 39.