Grupo de calibre (matemáticas)

Un grupo de calibre es un grupo de simetrías de calibre de la teoría de calibre de Yang-Mills de conexiones principales en un paquete principal . Dado un paquete principal con una estructura de grupo de Lie , un grupo de calibre se define como un grupo de sus automorfismos verticales. Este grupo es isomorfo al grupo de secciones globales del haz del grupo asociado cuya fibra típica es un grupo que actúa sobre sí mismo por la representación adjunta . El elemento unitario de es una sección constante con valor unitario de . ${\ Displaystyle P \ a X}$ ${\ Displaystyle G}$ ${\ Displaystyle G (X)}$ ${\ Displaystyle {\ widetilde {P}} \ to X}$ ${\ Displaystyle G}$ ${\ Displaystyle G (X)}$ ${\ Displaystyle g (x) = 1}$ ${\ Displaystyle {\ widetilde {P}} \ to X}$

Al mismo tiempo, la teoría de la gravitación de gauge ejemplifica la teoría de campo en un conjunto de marcos principales cuyas simetrías de gauge son transformaciones covariantes generales que no son elementos de un grupo de gauge.

En la literatura física sobre la teoría del calibre , un grupo de estructura de un paquete principal a menudo se denomina grupo calibre .

En la teoría del calibre cuántico , se considera un subgrupo normal de un grupo calibre que es el estabilizador. ${\ Displaystyle G ^ {0} (X)}$ ${\ Displaystyle G (X)}$

G^{0}(X)=\{g(x)\in G(X)\quad :\quad g(x_{0})=1\in {\widetilde {P}}_{x_{0}}\}

de algún punto de un paquete grupal . Se llama grupo de calibres puntiagudos . Este grupo actúa libremente sobre un espacio de conexiones principales. Obviamente, . También se presenta el grupo de indicadores efectivo donde está el centro de un grupo de indicadores . Este grupo actúa libremente sobre un espacio de conexiones principales irreductibles. $1\in {\widetilde {P}}_{x_{0}}$ ${\widetilde {P}}\to X$ $G(X)/G^{0}(X)=G$ ${\overline {G}}(X)=G(X)/Z$ $Z$ $G(X)$ ${\overline {G}}(X)$

Si un grupo de estructura es un grupo de matriz semisimple complejo , se puede introducir la terminación de Sobolev de un grupo de calibre . Es un grupo de mentiras. Un punto clave es que la acción de una terminación Sobolev de un espacio de conexiones principales es suave, y que un espacio orbital es un espacio de Hilbert . Es un espacio de configuración de la teoría del calibre cuántico. $G$ ${\overline {G}}_{k}(X)$ $G(X)$ ${\overline {G}}_{k}(X)$ $A_{k}$ $A_{k}/{\overline {G}}_{k}(X)$

Referencias

Mitter, P., Viallet, C., Sobre el conjunto de conexiones y el colector de órbita de calibre en la teoría de Yang-Mills, Commun. Matemáticas. Phys. 79 (1981) 457.
Marathe, K., Martucci, G., Los fundamentos matemáticos de las teorías del calibre (Holanda Septentrional, 1992) ISBN 0-444-89708-9 .
Mangiarotti, L., Sardanashntly, G. , Conexiones en la teoría de campos clásica y cuántica (World Scientific, 2000) ISBN 981-02-2013-8

Ver también