En geometría algebraica, el teorema principal de Zariski , demostrado por Oscar Zariski ( 1943 ), es un enunciado sobre la estructura de los morfismos biracionales que indica, aproximadamente, que solo hay una rama en cualquier punto normal de una variedad. Es el caso especial del teorema de conexión de Zariski cuando las dos variedades son biracionales.
El teorema principal de Zariski puede enunciarse de varias formas que a primera vista parecen ser bastante diferentes, pero de hecho están profundamente relacionadas. Algunas de las variaciones que se han denominado teorema principal de Zariski son las siguientes:
- La transformación total de un punto fundamental normal de un mapa biracional tiene dimensión positiva. Ésta es esencialmente la forma original de Zariski de su teorema principal.
- Un morfismo biracional con fibras finitas a una variedad normal es un isomorfismo a un subconjunto abierto.
- La transformada total de un punto normal bajo un morfismo biracional apropiado está conectada.
- Un teorema de Grothendieck estrechamente relacionado describe la estructura de morfismos cuasi-finitos de esquemas , lo que implica el teorema principal original de Zariski.
- Varios resultados en álgebra conmutativa que implican la forma geométrica del teorema principal de Zariski.
- Un anillo local normal es unibranch , que es una variación de la afirmación de que la transformada de un punto normal está conectada.
- El anillo local de un punto normal de una variedad es analíticamente normal . Esta es una forma fuerte de la afirmación de que es unibranch.
El nombre "teorema principal de Zariski" proviene del hecho de que Zariski lo etiquetó como el "TEOREMA PRINCIPAL" en Zariski ( 1943 ).
Teorema principal de Zariski para morfismos bracionales
Deje que f sea un mapeo birracional de variedades algebraica V y W . Recuerde que f está definida por una subvariedad cerrada(una "gráfica" de f ) tal que la proyección sobre el primer factor induce un isomorfismo entre un y , y tal que es un isomorfismo en U también. El complemento de U en V se llama variedad fundamental o locus de indeterminación , y una imagen de un subconjunto de V bajose llama una transformación total de la misma.
El enunciado original del teorema en ( Zariski 1943 , p. 522) dice:
- TEOREMA PRINCIPAL: Si W es una variedad fundamental irreductible en V de una correspondencia bracional T entre V y V ′ y si T no tiene elementos fundamentales en V ′, entonces - bajo el supuesto de que V es localmente normal en W - cada componente irreducible de la transformar T [ W ] es de dimensión mayor que W .
Aquí T es esencialmente un morfismo de V ′ a V que es biracional, W es una subvariedad del conjunto donde no se define el inverso de T cuyo anillo local es normal, y la transformada T [ W ] significa la imagen inversa de W bajo el morfismo de V 'a V .
A continuación se presentan algunas variantes de este teorema enunciadas utilizando terminología más reciente. Hartshorne (1977 , Corolario III.11.4) llama al siguiente enunciado de conectividad "Teorema principal de Zariski":
- Si f : X → Y es un morfismo proyectivo biracional entre esquemas integrales noetherianos, entonces la imagen inversa de cada punto normal de Y está conectada.
La siguiente consecuencia de ello (Teorema V.5.2, loc.cit . ) También va bajo este nombre:
- Si f : X → Y es una transformación biracional de variedades proyectivas con Y normal, entonces la transformada total de un punto fundamental de f está conectada y de dimensión al menos 1.
Ejemplos de
- Supongamos que V es un suave variedad de mayor dimensión que 1 y V 'se da por la voladura de un punto W en V . Entonces V es normal en W , y el componente de la transformada de W es un espacio proyectivo, que tiene una dimensión mayor que W según lo predicho por la forma original de Zariski de su teorema principal.
- En el ejemplo anterior, la transformada de W era irreducible. Es fácil encontrar ejemplos en los que la transformación total se pueda reducir haciendo explotar otros puntos de la transformación. Por ejemplo, si V ′ se da al volar un punto W en V y luego volar otro punto en esta transformada, la transformada total de W tiene 2 componentes irreducibles que se encuentran en un punto. Como predice la forma de Hartshorne del teorema principal, la transformada total está conectada y tiene una dimensión de al menos 1.
- Para un ejemplo en el que W no es normal y la conclusión del teorema principal falla, tome V ′ como una variedad suave, y considere que V se da identificando dos puntos distintos en V ′, y tome W como la imagen de estos dos puntos. Entonces W no es normal y la transformada de W consta de dos puntos, que no están conectados y no tienen dimensión positiva.
Teorema principal de Zariski para morfismos cuasifinitos
En EGA III, Grothendieck llama al siguiente enunciado que no implica conexión un "Teorema principal" de Zariski Grothendieck (1961 , Théorème 4.4.3):
- Si f : X → Y es un morfismo cuasi-proyectivo de esquemas noetherianos entonces el conjunto de puntos que están aislados en su fibra está abierto en X . Además, el esquema de inducido de este conjunto es isomorfo a un subconjunto abierto de un esquema que es finita sobre Y .
En EGA IV, Grothendieck observó que el último enunciado podría deducirse de un teorema más general sobre la estructura de morfismos cuasi-finitos , y este último a menudo se conoce como el "teorema principal de Zariski en la forma de Grothendieck". Es bien sabido que las inmersiones abiertas y los morfismos finitos son cuasi-finitos. Grothendieck demostró que, bajo la hipótesis de la separación, todos los morfismos cuasi-finitos son composiciones de Grothendieck (1966 , Théorème 8.12.6):
- si Y es un esquema separado cuasi-compacto y es un morfismo separado , cuasi-finito, finitamente presentado, entonces hay una factorización en , donde el primer mapa es una inmersión abierta y el segundo es finito.
La relación entre este teorema sobre morfismos cuasi-finitos y Théorème 4.4.3 de EGA III citado anteriormente es que si f : X → Y es un morfismo proyectivo de variedades, entonces el conjunto de puntos que están aislados en su fibra es cuasifinito sobre Y . Luego se aplica el teorema de estructura para morfismos cuasi-finitos y se obtiene el resultado deseado.
Teorema principal de Zariski para anillos conmutativos
Zariski (1949) reformuló su teorema principal en términos de álgebra conmutativa como un enunciado sobre anillos locales. Grothendieck (1961 , Théorème 4.4.7) generalizó la formulación de Zariski de la siguiente manera:
- Si B es un álgebra de tipo finito sobre un anillo noetheriano local A , yn es un ideal máximo de B que es mínimo entre los ideales de B cuya imagen inversa en A es el ideal máximo m de A , entonces hay un A finito - álgebra A ′ con un ideal máximo m ′ (cuya imagen inversa en A es m ) tal que la localización B n es isomorfa a la A -álgebra A ′ m ′ .
Si además A y B son integrales y tienen el mismo campo de fracciones, y A es integralmente cerrado, entonces este teorema implica que A y B son iguales. Ésta es esencialmente la formulación de Zariski de su teorema principal en términos de anillos conmutativos.
Teorema principal de Zariski: forma topológica
Una versión topológica del teorema principal de Zariski dice que si x es un punto (cerrado) de una variedad compleja normal, es unibranquio ; en otras palabras, hay vecindarios U de x arbitrariamente pequeños, de modo que el conjunto de puntos no singulares de U está conectado ( Mumford 1999 , III.9).
La propiedad de ser normal es más fuerte que la propiedad de ser unibranch: por ejemplo, la cúspide de una curva plana es unibranch pero no normal.
Teorema principal de Zariski: forma de serie de potencias
Una versión formal en serie de potencias del teorema principal de Zariski dice que si x es un punto normal de una variedad, entonces es analíticamente normal ; en otras palabras, la finalización del anillo local en x es un dominio integral normal ( Mumford 1999 , III.9).
Ver también
- Teorema de conectividad de Deligne
- Teorema de conectividad de Fulton-Hansen
- Teorema de conectividad de Grothendieck
- Factorización Stein
- Teorema de funciones formales
Referencias
- Danilov, VI (2001) [1994], "Teorema de Zariski" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Grothendieck, Alexandre (1961), Eléments de géométrie algébrique (rédigés con la colaboración de Jean Dieudonné): III. Étude cohomologique des faisceaux cohérents, Première partie , Publications Mathématiques de l'IHÉS, 11 , págs. 5–167
- Grothendieck, Alexandre (1966), Éléments de géométrie algébrique (rédigés con la colaboración de Jean Dieudonné): IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Troisième partie , Publications Mathématiques de l'IHÉS, 28 , pp. 43–48
- Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157
- Mumford, David (1999) [1988], El libro rojo de variedades y esquemas , Lecture Notes in Mathematics, 1358 (ampliado, Incluye Michigan Lectures (1974) on Curves and their Jacobians ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / b62130 , ISBN 978-3-540-63293-1, MR 1748380
- Peskine, Christian (1966), "Une généralisation du main teorema de Zariski", Bull. Sci. Matemáticas. (2) , 90 : 119-127
- Raynaud, Michel (1970), Anneaux locaux henséliens , Lecture Notes in Mathematics, 169 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / BFb0069571 , ISBN 978-3-540-05283-8, MR 0277519
- Zariski, Oscar (1943), "Fundamentos de una teoría general de correspondencias biracionales", Trans. Amer. Matemáticas. Soc. , 53 (3): 490–542, doi : 10.2307 / 1990215 , JSTOR 1990215 , MR 0008468
- Zariski, Oscar (1949), "Una simple prueba analítica de una propiedad fundamental de las transformaciones biracionales", Proc. Natl. Acad. Sci. EE . UU. , 35 (1): 62–66, Código Bib : 1949PNAS ... 35 ... 62Z , doi : 10.1073 / pnas.35.1.62 , JSTOR 88284 , MR 0028056 , PMC 1062959 , PMID 16588856
enlaces externos
- ¿Existe una razón intuitiva para el teorema principal de Zariski?