En la geometría algebraica , un espacio Zariski-Riemann o espacio Zariski de un subanillo k de un campo K es un espacio anillado localmente cuyos puntos son anillos de valoración contienen k y contenida en K . Generalizan la superficie de Riemann de una curva compleja.
Los espacios de Zariski-Riemann fueron introducidos por Zariski ( 1940 , 1944 ) quien (de manera bastante confusa) los llamó variedades de Riemann o superficies de Riemann . Fueron nombrados espacios de Zariski-Riemann en honor a Oscar Zariski y Bernhard Riemann por Nagata (1962), quien los utilizó para mostrar que las variedades algebraicas pueden insertarse en los completos .
La uniformización local (probada en la característica 0 por Zariski) se puede interpretar en el sentido de que el espacio de Zariski-Riemann de una variedad no es singular en cierto sentido, por lo que es una especie de resolución de singularidades bastante débil . Esto no resuelve el problema de resolución de singularidades porque en dimensiones mayores a 1 el espacio de Zariski-Riemann no es localmente afín y en particular no es un esquema.
Definición
El espacio Zariski-Riemann de un campo K en un campo de base k es un espacio anillado localmente cuyos puntos son los anillos de valoración contienen k y contenida en K . A veces , se excluye el propio anillo de valoración K y, a veces, los puntos se restringen a los anillos de valoración de dimensión cero (aquellos cuyo campo de residuo tiene un grado de trascendencia cero sobre k ).
Si S es el espacio Zariski-Riemann de un subanillo k de un campo K , tiene una topología definida mediante la adopción de una base de conjuntos abiertos a ser los anillos de valoración que contienen un subconjunto finito dado de K . El espacio S es casi compacto. Se convierte en un espacio anillado localmente asignando a cualquier subconjunto abierto la intersección de los anillos de valoración de los puntos del subconjunto. El anillo local en cualquier punto es el anillo de valoración correspondiente.
El espacio de Zariski-Riemann de un campo de función también se puede construir como el límite inverso de todos los modelos completos (o proyectivos) del campo de función.
Ejemplos de
El espacio de Riemann-Zariski de una curva
El espacio de Riemann-Zariski de una curva sobre un campo k algebraicamente cerrado con campo de función K es el mismo que el modelo proyectivo no singular del mismo. Tiene un punto genérico no cerrado correspondiente a la valoración trivial con anillo de valoración K , y sus otros puntos son los anillos de valoración de rango 1 en K que contienen k . A diferencia de los casos de dimensiones superiores, el espacio de Zariski-Riemann de una curva es un esquema.
El espacio de Riemann-Zariski de una superficie
Los anillos de valoración de una superficie S sobre k con campo de función K se pueden clasificar por la dimensión (el grado de trascendencia del campo de residuos) y el rango (el número de subgrupos convexos distintos de cero del grupo de valoración). Zariski (1939) dio la siguiente clasificación:
- Dimensión 2. La única posibilidad es la valoración trivial con rango 0, el grupo de valoración 0 y anillo de valoración K .
- Dimensión 1, fila 1. Estos corresponden a los divisores en algunos blowup de S , o en otras palabras a divisores y infinitamente cerca de los puntos de S . Todos son discretos. El centro en S puede ser un punto o una curva. El grupo de valoración es Z .
- Dimensión 0, fila 2. Estos corresponden a los gérmenes de curvas algebraicas a través de un punto de un modelo normal de S . El grupo de valoración es isomorfo a Z + Z con el orden lexicográfico.
- Dimensión 0, rango 1, discreta. Estos corresponden a gérmenes de curvas no algebraicas (dadas por ejemplo por y = una serie de potencias formales no algebraicas en x ) a través de un punto de un modelo normal. El grupo de valoración es Z .
- Dimensión 0, rango 1, grupo de valor no discreto tiene elementos inconmensurables. Estos corresponden a gérmenes de curvas trascendentales como y = x π a través de un punto de un modelo normal. El grupo de valores es isomorfo a un grupo ordenado generado por 2 números reales inconmensurables.
- Dimensión 0, rango 1, no discretos, los elementos del grupo de valor son conmensurables. El grupo de valores puede ser isomorfo a cualquier subgrupo denso de los números racionales. Estos corresponden a gérmenes de curvas de la forma y = Σ a n x b n donde los números b n son racionales con denominadores ilimitados.
Referencias
- Nagata, Masayoshi (1962), "Incrustación de una variedad abstracta en una variedad completa" , Journal of Mathematics of Kyoto University , 2 : 1–10, doi : 10.1215 / kjm / 1250524969 , ISSN 0023-608X , MR 0142549
- Zariski, Oscar (1939), "La reducción de las singularidades de una superficie algebraica", Ann. de Matemáticas. , 2, 40 (3): 639–689, Bibcode : 1939AnMat..40..639Z , doi : 10.2307 / 1968949 , JSTOR 1968949
- Zariski, Oscar (1940), "Uniformización local en variedades algebraicas", Ann. de Matemáticas. , 2, 41 (4): 852–896, doi : 10.2307 / 1968864 , JSTOR 1968864 , MR 0002864
- Zariski, Oscar (1944), "La compacidad de la variedad de Riemann de un campo abstracto de funciones algebraicas", Boletín de la American Mathematical Society , 50 (10): 683–691, doi : 10.1090 / S0002-9904-1944-08206 -2 , ISSN 0002-9904 , Sr. 0011573
- Zariski, Oscar ; Samuel, Pierre (1975), Álgebra conmutativa. Vol. II , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90171-8, MR 0389876