En álgebra abstracta , un anillo de valoración es un dominio de integridad D tal que para cada elemento x de su cuerpo de fracciones F , al menos uno de x o x -1 pertenece a D .
Dado un campo F , si D es un subanillo de F de tal manera que ya sea x o x -1 pertenece a D para cada distinto de cero x en F , entonces D se dice que es un anillo de valoración para el campo F o un lugar de F . Dado que F en este caso es de hecho el campo de fracciones de D , un anillo de valoración para un campo es un anillo de valoración. Otra forma de caracterizar los anillos de valoración de un campo F es que los anillos de valoración Dde F tienen F como su campo de fracciones, y sus ideales están totalmente ordenados por inclusión; o lo que es lo mismo, sus principales ideales están totalmente ordenados por inclusión. En particular, cada anillo de valoración es un anillo local .
Los anillos de valoración de un campo son los elementos máximos del conjunto de subanillos locales en el campo parcialmente ordenados por dominancia o refinamiento , [1] donde
- domina Si y . [2]
Cada anillo local en un campo K está dominado por algunos anillo de valoración de K .
Un dominio integral cuya localización en cualquier ideal primo es un anillo de valoración se denomina dominio Prüfer .
Definiciones
Hay varias definiciones equivalentes de anillo de valoración (ver más abajo la caracterización en términos de dominancia). Para un dominio integral D y su campo de fracciones K , los siguientes son equivalentes:
- Por cada distinto de cero x en K , ya sea x en D o x -1 en D .
- Los ideales de D están totalmente ordenados por inclusión.
- Los principales ideales de D están totalmente ordenados por inclusión (es decir, los elementos de D están totalmente ordenados por divisibilidad ).
- Hay un grupo abeliano Γ totalmente ordenado (llamado grupo de valor ) y una valoración ν: K → Γ ∪ {∞} con D = { x ∈ K | ν ( x ) ≥ 0}.
La equivalencia de las tres primeras definiciones se sigue fácilmente. Un teorema de ( Krull 1939 ) establece que cualquier anillo que satisfaga las tres primeras condiciones satisface la cuarta: tome Γ como el cociente K × / D × del grupo unitario de K por el grupo unitario de D , y tome ν como el Proyección natural. Podemos convertir Γ en un grupo totalmente ordenado declarando las clases de residuos de elementos de D como "positivas". [a]
Aún más, dado cualquier grupo abeliano totalmente ordenado Γ, hay un anillo de valoración D con un grupo de valor Γ (ver serie de Hahn ).
Del hecho de que los ideales de un anillo de valoración están totalmente ordenados, se puede concluir que un anillo de valoración es un dominio local y que todo ideal de un anillo de valoración generado de forma finita es principal (es decir, un anillo de valoración es un dominio de Bézout ). De hecho, es un teorema de Krull que un dominio integral es un anillo de valoración si y solo si es un dominio local de Bézout. [3] También se deduce de esto que un anillo de valoración es noetheriano si y solo si es un dominio ideal principal . En este caso, es un campo o tiene exactamente un ideal primo distinto de cero; en el último caso, se denomina anillo de valoración discreto . (Por convención, un campo no es un anillo de valoración discreto).
Un grupo de valor se llama discreto si es isomorfo al grupo aditivo de los números enteros, y un anillo de valoración tiene un grupo de valoración discreto si y solo si es un anillo de valoración discreto. [4]
En muy raras ocasiones, el anillo de valoración puede referirse a un anillo que satisface la segunda o tercera condición, pero no es necesariamente un dominio. Un término más común para este tipo de anillo es " anillo uniserial ".
Ejemplos de
- Cualquier campo es un anillo de valoración. Por ejemplo, el anillo de funciones racionales en una variedad algebraica . [5] [6]
- Un simple no ejemplo es el dominio integral ya que el inverso de un genérico es
- El campo de la serie de potencia:
- tiene la valuación . El subring también es un anillo de valoración.
- la localización de los enterosen el ideal primo ( p ), que consta de razones donde el numerador es cualquier número entero y el denominador no es divisible por p . El campo de las fracciones es el campo de los números racionales.
- El anillo de funciones meromórficas en todo el plano complejo que tiene una serie de Maclaurin ( expansión de la serie de Taylor en cero) es un anillo de valoración. El campo de las fracciones son las funciones meromorfas en el plano completo. Si f no tiene una serie de Maclaurin, entonces 1 / f sí.
- Cualquier anillo de enteros p-ádicos para un primo dado p es un anillo local , con el campo de fracciones los números p -ádicos. El cierre integral de los enteros p -ádicos también es un anillo local, con campo de fracciones(el cierre algebraico de p -números ádicos). Ambas cosas y son anillos de valoración.
- Sea k un campo ordenado . Un elemento de k se llama finito si se encuentra entre dos números enteros n < x < m ; de lo contrario, se llama infinito. El conjunto D de elementos finitos de k es un anillo de valoración. El conjunto de elementos x tales que x ∈ D y x −1 ∉ D es el conjunto de elementos infinitesimales ; y un elemento x tal que x ∉ D y x −1 ∈ D se llama infinito.
- El anillo F de elementos finitos de un campo hyperreal * R (un campo ordenado que contiene los números reales) es un anillo de valoración de * R . F consta de todos los números hiperrealistas que difieren de un real estándar en una cantidad infinitesimal, lo que equivale a decir un número hiperreal x tal que - n < x < n para algún número entero estándar n . El campo de residuos , números hiperreales finitos módulo el ideal de números hiperreales infinitesimales, es isomorfo a los números reales.
- Un ejemplo geométrico común proviene de las curvas planas algebraicas . Considere el anillo polinomial y un polinomio irreducible en ese ring. Entonces el anillo es el anillo de funciones polinomiales en la curva . Elige un punto tal que y es un punto regular en la curva; es decir, el anillo local R en el punto es un anillo local regular de dimensión uno de Krull o un anillo de valoración discreto .
- Por ejemplo, considere la inclusión . Todos estos son subanillos en el campo de las series de potencia delimitadas por debajo.
Dominio y cierre integral
Las unidades , o elementos invertibles, de un anillo de valoración son los elementos x tales que x −1 también es miembro de D. Los otros elementos de D , llamados no unidades, no tienen una inversa y forman un M ideal . Este ideal es máxima entre los ideales (totalmente ordenado) de D. Dado que M es un ideal maximal , el anillo cociente D / M es un campo, llamado el campo residuo de D .
En general, decimos un anillo local. domina un anillo local Si y ; en otras palabras, la inclusiónes un homomorfismo de anillo local . Cada anillo localen un campo K está dominado por algunos anillo de valoración de K . De hecho, el conjunto que consta de todos los subanillos R de K que contienen A yno está vacío y es inductivo; por lo tanto, tiene un elemento máximopor el lema de Zorn. Afirmamos que R es un anillo de valoración. R es un anillo local con un ideal máximo que contienepor maximalidad. De nuevo, por maximalidad también está integralmente cerrado. Ahora si, entonces, por maximalidad, y así podemos escribir:
- .
Desde es un elemento unitario, esto implica que es integral sobre R ; por lo tanto es en R . Esto prueba que R es un anillo de valoración. ( R domina A ya que su ideal máximo contiene por construcción.)
Un anillo local R en un campo K es un anillo de valoración si y solo si es un elemento máximo del conjunto de todos los anillos locales contenidos en K parcialmente ordenados por dominancia. Esto se sigue fácilmente de lo anterior. [B]
Sea A un subanillo de un campo K yun homomorfismo de anillo en un campo algebraicamente cerrado k . Entonces f se extiende a un homomorfismo de anillo, D algunos anillo de valoración de K que contiene A . (Prueba: Dejeser una extensión máxima, que claramente existe por el lema de Zorn. Por maximalidad, R es un anillo local con un ideal máximo que contiene el núcleo de f . Si S es un anillo local que domina a R , entonces S es algebraico sobre R ; si no, contiene un anillo polinomial a lo que se extiende g , una contradicción con la maximalidad. Sigue es una extensión de campo algebraico de . Por lo tanto,extiende g ; por tanto, S = R. )
Si un subanillo R de un campo K contiene un anillo valoración D de K , a continuación, mediante la verificación Definición 1, R es también un anillo de valoración de K . En particular, R es local y su ideal máximo se contrae con algún ideal primo de D , digamos,. Luego desde domina , que es un anillo de valoración ya que los ideales están totalmente ordenados. Esta observación se subsume a lo siguiente: [7] hay una correspondencia biyectivael conjunto de todos los subanillos de K que contiene D . En particular, D está integralmente cerrado, [8] [c] y la dimensión Krull de D es el número de subanillos adecuados de K que contiene D .
De hecho, el cierre integral de un dominio de integridad A en el campo de las fracciones K de A es la intersección de todos los anillos de valoración de K que contienen A . [9] De hecho, el cierre integral está contenido en la intersección ya que los anillos de valoración están cerrados integralmente. Por el contrario, permiten x estar en K pero no integral sobre A . Desde el ideal no es , [d] está contenido en un ideal máximo. Luego hay un anillo de valoración R que domina la localización de a . Desde, .
La dominancia se usa en geometría algebraica. Sea X una variedad algebraica sobre un campo k . Entonces decimos un anillo de valoración R entiene "centro x en X " si domina el anillo local de la estructura gavilla en x . [10]
Ideales en anillos de valoración
Podemos describir los ideales en el anillo de valoración por medio de su grupo de valor.
Sea Γ un grupo abeliano totalmente ordenado . Un subconjunto Δ de Γ se denomina segmento si no está vacío y, para cualquier α en Δ, cualquier elemento entre -α y α también está en Δ (incluidos los puntos finales). Un subgrupo de Γ se denomina subgrupo aislado si es un segmento y es un subgrupo adecuado.
Sea D un anillo de valoración con valoración v y grupo de valor Γ. Para cualquier subconjunto A de D , dejamos ser el complemento de la unión de y en . Si soy un ideal adecuado, entonces es un segmento de . De hecho, el mapeodefine una biyección de inversión de inclusión entre el conjunto de ideales propios de D y el conjunto de segmentos de. [11] Bajo esta correspondencia, los ideales primos distintos de cero de D corresponden bijetivamente a los subgrupos aislados de Γ.
Ejemplo: el anillo de enteros p -ádicos es un anillo de valoración con grupo de valor . El subgrupo cero de corresponde al único ideal máximo y todo el grupo al ideal cero. El ideal máximo es el único subgrupo aislado de.
El conjunto de subgrupos aislados está totalmente ordenado por inclusión. La altura o rango r (Γ) de Γ se define como la cardinalidad del conjunto de subgrupos aislados de Γ. Dado que los ideales primos distintos de cero están totalmente ordenados y corresponden a subgrupos aislados de Γ, la altura de Γ es igual a la dimensión de Krull del anillo de valoración D asociado con Γ.
El caso especial más importante es la altura uno, que equivale a Γ ser un subgrupo de los números reales ℝ bajo la suma (o equivalentemente, de los números reales positivos ℝ + bajo la multiplicación). Un anillo de valoración con una valoración de la altura uno tiene una valor absoluto correspondiente que define un lugar ultramétrico . Un caso especial de esto son los anillos de valoración discretos mencionados anteriormente.
El rango racional rr (Γ) se define como el rango del grupo de valor como grupo abeliano,
Lugares
Definición general
Un lugar de un campo K es un homomorfismo de anillo p de un anillo de valoración D de K a algún campo tal que, para cualquier, . La imagen de un lugar es un campo llamado campo de residuos de p . Por ejemplo, el mapa canónico es un lugar.
Ejemplo
Sea A un dominio de Dedekind yun ideal primordial. Entonces el mapa canónico es un lugar.
Especialización de lugares
Decimos que un lugar p se especializa en un lugar p ' , denotado por, si el anillo de valoración de p contiene el anillo de valoración de p ' . En geometría algebraica, decimos un ideal primo se especializa en Si . Las dos nociones coinciden:si y solo si un ideal primo correspondiente ap se especializa en un ideal primo correspondiente ap ' en algún anillo de valoración (recuerde que sison anillos de valoración del mismo campo, entonces D corresponde a un ideal primo de.)
Ejemplo
Por ejemplo, en el campo de función de alguna variedad algebraica cada ideal principal contenido en un ideal máximo da una especialización .
Observaciones
Se puede mostrar: si , luego para algún lugar q del campo de residuosde p . (Observar es un anillo de valoración de y sea q el lugar correspondiente; el resto es mecánico.) Si D es un anillo de valoración de p , entonces su dimensión de Krull es la cardinaridad de las especializaciones distintas de p a p . Así, para cualquier lugar p con anillo de valoración D de un campo K sobre un campo k , tenemos:
- .
Si p es un lugar y A es un subanillo del anillo de valoración de p , entoncesse llama el centro de P en A .
Lugares en el infinito
Para el campo de función en una variedad afín existen valoraciones que no están asociadas a ninguno de los primos de . Estas valoraciones se denominan lugares en el infinito . [1] Por ejemplo, la línea afín tiene campo de función . El lugar asociado a la localización de
en el ideal máximo
es un lugar en el infinito.
Notas
- ^ Más precisamente, Γ está totalmente ordenado definiendo si y solo si donde [x] e [y] son clases de equivalencia en Γ. cf. Efrat (2006) , pág. 39
- ^ Prueba: si R es un elemento máximo, entonces está dominado por un anillo de valoración; por lo tanto, debe ser en sí mismo un anillo de valoración. Por el contrario, dejar que R sea un anillo de valoración y S un anillo local que domina R pero no R . Hay x que se encuentra en S pero no en R . Luegoestá en R y de hecho en el ideal maximal de R . Pero entonces, lo cual es absurdo. Por lo tanto, no puede ser tal S .
- ^ Para ver más directamente que los anillos de valoración están integralmente cerrados, suponga que x n + a 1 x n - 1 + ... + a 0 = 0. Luego, dividir por x n −1 nos da x = - a 1 - .. . - a 0 x - n + 1 . Si x no estuviera en D , entonces x -1 estaría en D y esto expresaría x como una suma finita de elementos en D , por lo que x estaría en D , una contradicción.
- ^ En general,es integral sobre A si y solo si
Citas
- ^ Hartshorne 1977 , Teorema I.6.1A.
- ^ Efrat , 2006 , p. 55.
- ^ Cohn 1968 , Proposición 1.5.
- ^ Efrat , 2006 , p. 43.
- ^ El papel de los anillos de valoración en la geometría algebraica
- ^ ¿Existe una superficie de Riemann correspondiente a cada extensión de campo? ¿Alguna otra hipótesis necesaria?
- ^ Zariski y Samuel 1975 , cap. VI, Teorema 3.
- ^ Efrat , 2006 , p. 38.
- ^ Matsumura 1989 , Teorema 10.4.
- ^ Hartshorne 1977 , Capítulo II. Ejercicio 4.5.
- ^ Zariski y Samuel 1975 , cap. VI, Teorema 15.
Fuentes
- Bourbaki, Nicolas (1972). Álgebra conmutativa . Elements of Mathematics (Primera ed.). Addison-Wesley. ISBN 978-020100644-5.
- Cohn, PM (1968), "Anillos de Bezout y sus subanillos" (PDF) , Proc. Cambridge Philos. Soc. , 64 : 251–264, doi : 10.1017 / s0305004100042791 , ISSN 0008-1981 , MR 0222065 , Zbl 0157.08401
- Efrat, Ido (2006), Valuations, orderings, and Milnor K -theory , Mathematical Surveys and Monographs, 124 , Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 0-8218-4041-X, Zbl 1103.12002
- Fuchs, László; Salce, Luigi (2001), Módulos sobre dominios no noetherianos , Encuestas y monografías matemáticas, 84 , Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-1963-0, MR 1794715 , Zbl 0.973,13001
- Hartshorne, Robin (1977), Geometría Algebraica , Textos de Posgrado en Matemáticas , 52 , Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157
- Krull, Wolfgang (1939), "Beiträge zur Arithmetik kommutativer Integritätsbereiche VI Der Allgemeine Diskriminantensatz Unverzweigte Ringerweiterungen...", Mathematische Zeitschrift , 45 (1): 1-19, doi : 10.1007 / BF01580269 , ISSN 0025 a 5874 , MR 1.545.800 , Zbl 0020.34003
- Matsumura, Hideyuki (1989), Teoría del anillo conmutativo , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 8 , Traducido del japonés por Miles Reid (segunda ed.), ISBN 0-521-36764-6, Zbl 0666.13002
- Zariski, Oscar ; Samuel, Pierre (1975), Álgebra conmutativa. Vol. II , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90171-8, MR 0389876