Las paradojas de Zenón
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Las paradojas de Zenón son un conjunto de problemas filosóficos que generalmente se cree que fueron ideados por el filósofo griego Zenón de Elea (c. 490-430 a. C.) para apoyar la doctrina de Parménides de que, contrariamente a la evidencia de los sentidos, la creencia en la pluralidad y el cambio es errónea. y, en particular, ese movimiento no es más que una ilusión . Generalmente se asume, basado en el Parménides de Platón (128a-d), que Zenón asumió el proyecto de crear estas paradojas.porque otros filósofos habían creado paradojas contra el punto de vista de Parménides. Así, Platón hace que Zenón diga que el propósito de las paradojas "es mostrar que su hipótesis de que las existencias son muchas, si se sigue adecuadamente, conduce a resultados aún más absurdos que la hipótesis de que son una sola". [1] Platón hace que Sócrates afirme que Zenón y Parménides estaban esencialmente discutiendo exactamente el mismo punto. [2] Algunas de las nueve paradojas supervivientes de Zenón (conservadas en la Física de Aristóteles [3] [4] y el comentario de Simplicius al respecto) son esencialmente equivalentes entre sí. Aristóteles ofreció una refutación de algunos de ellos. [3] Tres de los más fuertes y famosos —el de Aquiles y la tortuga, el argumento de la dicotomía y el de una flecha en vuelo— se presentan en detalle a continuación.

Los argumentos de Zenón son quizás los primeros ejemplos de un método de prueba llamado reductio ad absurdum , también conocido como prueba por contradicción . También se les atribuye como fuente del método dialéctico utilizado por Sócrates. [5] Algunos matemáticos e historiadores, como Carl Boyer , sostienen que las paradojas de Zenón son simplemente problemas matemáticos, para los cuales el cálculo moderno proporciona una solución matemática. [6] Algunos filósofos , sin embargo, dicen que las paradojas de Zenón y sus variaciones (ver la lámpara de Thomson ) siguen siendo problemas metafísicos relevantes . [7] [8] [9]Los orígenes de las paradojas son algo confusos. Diogenes Laërtius , una cuarta fuente de información sobre Zenón y sus enseñanzas, citando a Favorinus , dice que el maestro de Zenón, Parménides, fue el primero en presentar la paradoja de Aquiles y la tortuga. Pero en un pasaje posterior, Laërtius atribuye el origen de la paradoja a Zenón, explicando que Favorinus no está de acuerdo. [10]

Paradojas del movimiento

Paradoja de la dicotomía

Lo que está en locomoción debe llegar a la mitad del camino antes de llegar a la meta.

-  según lo relatado por Aristóteles , Física VI: 9, 239b10

Supongamos que Atalanta desea caminar hasta el final de un camino. Antes de que pueda llegar allí, debe llegar a la mitad del camino. Antes de que pueda llegar a la mitad del camino, debe recorrer una cuarta parte del camino. Antes de viajar un cuarto, debe viajar un octavo; antes de un octavo, un dieciseisavo; etcétera.

La dicotomía

La secuencia resultante se puede representar como:

Esta descripción requiere que uno complete un número infinito de tareas, lo que Zeno sostiene es imposible. [11]

Esta secuencia presenta también un segundo problema en que no contiene primera distancia de carrera, para cualquier posible ( finito ) primera distancia podría ser dividido por la mitad, y por lo tanto no sería primero después de todo. Por lo tanto, el viaje ni siquiera puede comenzar. La conclusión paradójica sería entonces que el viaje a una distancia finita no puede completarse ni iniciarse, por lo que todo movimiento debe ser una ilusión . [12]

Este argumento se llama " dicotomía " porque implica dividir repetidamente una distancia en dos partes. Un ejemplo con el sentido original se puede encontrar en una asíntota . También se conoce como la paradoja del hipódromo .

Aquiles y la tortuga

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Ver también: Infinity § Zeno: Aquiles y la tortuga
Aquiles y la tortuga

En una carrera, el corredor más rápido nunca puede adelantar al más lento, ya que el perseguidor debe llegar primero al punto de donde comenzó el perseguido, de modo que el más lento siempre debe llevar la delantera.

-  según lo relatado por Aristóteles , Física VI: 9, 239b15

En la paradoja de Aquiles y la tortuga, Aquiles está en una carrera a pie con la tortuga. Aquiles permite a la tortuga una ventaja inicial de 100 metros, por ejemplo. Suponga que cada corredor comienza a correr a una velocidad constante, uno más rápido que el otro. Después de un tiempo limitado, Aquiles habrá corrido 100 metros, llevándolo al punto de partida de la tortuga. Durante este tiempo, la tortuga ha recorrido una distancia mucho más corta, digamos 2 metros. A continuación, Aquiles tardará un poco más en recorrer esa distancia, momento en el que la tortuga habrá avanzado más; y luego más tiempo todavía para llegar a este tercer punto, mientras la tortuga avanza. Por lo tanto, siempre que Aquiles llega a algún lugar donde ha estado la tortuga, todavía le queda un poco de distancia antes de que pueda alcanzarla. Como señaló Aristóteles, este argumento es similar a la dicotomía. [13] Sin embargo, carece de la aparente conclusión de la inmovilidad.

Paradoja de la flecha

La flecha
No confundir con otras paradojas del mismo nombre .

Si todo, cuando ocupa un espacio igual, está en reposo en ese instante de tiempo, y si lo que está en locomoción ocupa siempre ese espacio en cualquier momento, la flecha voladora está, por lo tanto, inmóvil en ese instante de tiempo y en el instante siguiente. de tiempo, pero si ambos instantes de tiempo se toman como el mismo instante o instante continuo de tiempo, entonces está en movimiento. [14]

-  según lo relatado por Aristóteles , Física VI: 9, 239b5

En la paradoja de la flecha, Zenón afirma que para que ocurra el movimiento, un objeto debe cambiar la posición que ocupa. Da un ejemplo de una flecha en vuelo. Afirma que en cualquier instante de tiempo (sin duración), la flecha no se mueve ni hacia donde está ni hacia donde no está. [15] No puede moverse a donde no está, porque no pasa tiempo para que se mueva allí; no puede moverse a donde está, porque ya está allí. En otras palabras, en cada instante de tiempo no ocurre ningún movimiento. Si todo está inmóvil en cada instante y el tiempo está compuesto enteramente por instantes, entonces el movimiento es imposible.

Mientras que las dos primeras paradojas dividen el espacio, esta paradoja comienza dividiendo el tiempo, y no en segmentos, sino en puntos. [dieciséis]

Otras tres paradojas dadas por Aristóteles

Paradoja del lugar

De Aristóteles:

Si todo lo que existe tiene un lugar, el lugar también tendrá un lugar, y así hasta el infinito . [17]

Paradoja del grano de mijo

Descripción de la paradoja del Routledge Dictionary of Philosophy :

El argumento es que un solo grano de mijo no emite ningún sonido al caer, pero mil granos emiten un sonido. De ahí que mil nada se conviertan en algo, una conclusión absurda. [18]

Refutación de Aristóteles:

Zenón se equivoca al decir que no hay parte del mijo que no emita un sonido: porque no hay ninguna razón por la que tal parte no deje de mover el aire en ningún período de tiempo que toda la fanega se mueve al caer. De hecho, no mueve por sí mismo ni siquiera una cantidad de aire tal como lo haría si esta parte fuera por sí misma: porque ninguna parte existe de otra manera que potencialmente. [19]

Descripción de Nick Huggett:

Este es un argumento parmenideano de que no se puede confiar en el sentido del oído. La respuesta de Aristóteles parece ser que incluso los sonidos inaudibles pueden agregarse a un sonido audible. [20]

Las filas móviles (o estadio)

Las filas en movimiento

De Aristóteles:

... con respecto a las dos filas de cuerpos, cada fila está compuesta por un número igual de cuerpos de igual tamaño, que se cruzan en un campo de carreras a medida que avanzan con la misma velocidad en direcciones opuestas, la única fila ocupando originalmente el espacio entre la meta y el punto medio del campo y el otro entre el punto medio y el poste de salida. Esto ... implica la conclusión de que la mitad de un tiempo dado es igual al doble de ese tiempo. [21]

Para una descripción ampliada de los argumentos de Zenón presentados por Aristóteles, véase el comentario de Simplicius Sobre la física de Aristóteles . [ se necesita cita completa ]

Soluciones propuestas

Diógenes el Cínico

Según Simplicio , Diógenes el Cínico no dijo nada al escuchar los argumentos de Zenón, pero se puso de pie y caminó para demostrar la falsedad de las conclusiones de Zenón (ver solvitur ambulando ). Sin embargo, para resolver por completo cualquiera de las paradojas, es necesario mostrar qué es lo que está mal en el argumento, no solo las conclusiones. A lo largo de la historia se han propuesto varias soluciones, entre las que se encuentran las más antiguas de Aristóteles y Arquímedes.

Aristóteles

Aristóteles (384 a. C. − 322 a. C.) señaló que a medida que la distancia disminuye, el tiempo necesario para cubrir esas distancias también disminuye, de modo que el tiempo necesario también se vuelve cada vez más pequeño. [22] [ verificación fallida ] [23] Aristóteles también distinguió "cosas infinitas con respecto a la divisibilidad" (como una unidad de espacio que puede dividirse mentalmente en unidades cada vez más pequeñas sin dejar de ser espacialmente iguales) de las cosas (o distancias) que son infinitos en extensión ("con respecto a sus extremidades"). [24] La objeción de Aristóteles a la paradoja de la flecha fue que "El tiempo no se compone de ahoras indivisibles, como tampoco cualquier otra magnitud se compone de indivisibles". [25]

Arquímedes

Antes del 212 a. C., Arquímedes había desarrollado un método para derivar una respuesta finita para la suma de un número infinito de términos que se hacen progresivamente más pequeños. (Ver: Serie geométrica , 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + · · · , La cuadratura de la parábola .) Su argumento, aplicando el método de agotamiento para demostrar que la suma infinita en cuestión es igual al área de un cuadrado en particular, es en gran parte geométrica pero bastante rigurosa. El análisis de hoy logra el mismo resultado, usando límites (ver series convergentes). Estos métodos permiten la construcción de soluciones basadas en las condiciones estipuladas por Zeno, es decir, la cantidad de tiempo que se tarda en cada paso es geométricamente decreciente. [6] [26]

Tomás de Aquino

Tomás de Aquino , comentando la objeción de Aristóteles, escribió: "Los instantes no son partes del tiempo, porque el tiempo no está compuesto de instantes como tampoco una magnitud está hecha de puntos, como ya hemos demostrado. De ahí que no se siga que una cosa sea no en movimiento en un tiempo dado, simplemente porque no está en movimiento en ningún instante de ese tiempo ". [27]

Bertrand Russell

Bertrand Russell ofreció lo que se conoce como la "teoría del movimiento at-at". Está de acuerdo en que no puede haber movimiento "durante" un instante sin duración, y sostiene que todo lo que se requiere para el movimiento es que la flecha esté en un punto en un momento, en otro punto en otro momento y en los puntos apropiados entre esos dos puntos. para tiempos intermedios. En esta vista, el movimiento es simplemente un cambio de posición con el tiempo. [28] [29]

Hermann Weyl

Otra solución propuesta es cuestionar una de las suposiciones que Zenón usó en sus paradojas (particularmente la dicotomía), que es que entre dos puntos diferentes en el espacio (o tiempo), siempre hay otro punto. Sin esta suposición, solo hay un número finito de distancias entre dos puntos, por lo tanto, no hay una secuencia infinita de movimientos y la paradoja se resuelve. Según Hermann Weyl , la suposición de que el espacio está formado por unidades finitas y discretas está sujeta a un problema adicional, dado por el " argumento del mosaico " o el "problema de la función de distancia". [30] [31]Según esto, la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo en el espacio discretizado es siempre igual a la longitud de uno de los dos lados, en contradicción con la geometría. Jean Paul Van Bendegem ha argumentado que el argumento del mosaico puede resolverse y que, por lo tanto, la discretización puede eliminar la paradoja. [6] [32]

Henri Bergson

Una conclusión alternativa, propuesta por Henri Bergson en su libro Matter and Memory de 1896 , es que, si bien el camino es divisible, el movimiento no lo es. [33] En este argumento, los instantes en el tiempo y las magnitudes instantáneas no existen físicamente. Un objeto en movimiento relativo no puede tener una posición relativa instantánea o determinada y, por lo tanto, su movimiento no puede ser diseccionado fraccionalmente.

Peter Lynds

En 2003, Peter Lynds presentó un argumento muy similar: todas las paradojas del movimiento de Zenón se resuelven con la conclusión de que los instantes en el tiempo y las magnitudes instantáneas no existen físicamente. [34] [35] [36] [37] Lynds argumenta que un objeto en movimiento relativo no puede tener una posición relativa instantánea o determinada (porque si la tuviera, no podría estar en movimiento), por lo que su movimiento no puede ser dividido fraccionalmente como si lo hiciera, como suponen las paradojas. Para obtener más información sobre la incapacidad de conocer tanto la velocidad como la ubicación, consulte el principio de incertidumbre de Heisenberg .

Nick Huggett

Nick Huggett sostiene que Zeno está asumiendo la conclusión cuando dice que los objetos que ocupan el mismo espacio que en reposo deben estar en reposo. [dieciséis]

Paradojas en los tiempos modernos

Los procesos infinitos siguieron siendo teóricamente problemáticos en matemáticas hasta finales del siglo XIX. Con la definición de límite épsilon-delta , Weierstrass y Cauchy desarrollaron una formulación rigurosa de la lógica y el cálculo involucrados. Estos trabajos resolvieron las matemáticas involucrando infinitos procesos. [38] [39]

Si bien las matemáticas pueden calcular dónde y cuándo el Aquiles en movimiento superará la paradoja de la tortuga de Zenón, filósofos como Kevin Brown [7] y Moorcroft [8] afirman que las matemáticas no abordan el punto central del argumento de Zenón, y que resolver los problemas matemáticos no resuelve todos los problemas que plantean las paradojas.

La literatura popular a menudo tergiversa los argumentos de Zenón. Por ejemplo, a menudo se dice que Zenón argumentó que la suma de un número infinito de términos debe ser infinita en sí misma, con el resultado de que no solo el tiempo, sino también la distancia a recorrer, se vuelven infinitos. [40] Tom Stoppard ofrece una toma humorística en su obra Jumpers (1972), en la que el protagonista principal, el profesor de filosofía George Moore, sugiere que según la paradoja de Zenón, San Sebastián , un santo cristiano del siglo III martirizado por un disparo. con flechas, murió de susto. Sin embargo, ninguna de las fuentes antiguas originales tiene a Zenón discutiendo la suma de cualquier serie infinita. SimpliciusZenón dice que "es imposible atravesar un número infinito de cosas en un tiempo finito". Esto presenta el problema de Zenón no con encontrar la suma , sino más bien con terminar una tarea con un número infinito de pasos: ¿cómo se puede llegar de A a B, si se puede identificar un número infinito de eventos (no instantáneos) que necesitan preceder a la llegada a B, y uno no puede llegar ni siquiera al comienzo de un "último evento"? [7] [8] [9] [41]

El debate continúa sobre la cuestión de si se han resuelto o no las paradojas de Zenón. En la historia de las matemáticas: An Introduction (2010) Burton escribe: "A pesar de que el argumento de Zenón confundió sus contemporáneos, una explicación satisfactoria incorpora una idea ya familiar, la noción de una 'serie infinita convergente.'". [42]

Bertrand Russell ofreció una "solución" a las paradojas basada en el trabajo de Georg Cantor , [43] pero Brown concluye: "Dada la historia de las" resoluciones finales ", desde Aristóteles en adelante, probablemente sea una temeridad pensar que hemos llegado al final. Puede ser que los argumentos de Zenón sobre el movimiento, debido a su simplicidad y universalidad, siempre sirvan como una especie de 'imagen de Rorschach' sobre la cual la gente pueda proyectar sus preocupaciones fenomenológicas más fundamentales (si es que tienen alguna) ". [7]

Una consideración filosófica china antigua similar

Los antiguos filósofos chinos de la Escuela Mohista de Nombres durante el período de los Reinos Combatientes de China (479-221 a. C.) desarrollaron equivalentes a algunas de las paradojas de Zenón. [44] El científico e historiador Sir Joseph Needham , en su Ciencia y civilización en China , describe una antigua paradoja china del libro de lógica de la Escuela de Nombres Mohist sobreviviente que dice, en la antigua escritura china arcaica , "un palo de un pie, todos los días quita la mitad, en una miríada de edades no se agotará". Se conocen varias otras paradojas de esta escuela filosófica (más precisamente, el movimiento), pero su interpretación moderna es más especulativa.

Efecto Quantum Zeno

Artículo principal: efecto Quantum Zeno

En 1977, [45] los físicos EC George Sudarshan y B. Misra descubrieron que la evolución dinámica (movimiento) de un sistema cuántico puede verse obstaculizada (o incluso inhibida) mediante la observación del sistema. [46] Este efecto se suele llamar "efecto cuántico de Zenón", ya que recuerda fuertemente a la paradoja de la flecha de Zenón. Este efecto se teorizó por primera vez en 1958. [47]

Comportamiento de Zenón

En el campo de la verificación y el diseño de sistemas temporizados e híbridos , el comportamiento del sistema se denomina Zeno si incluye un número infinito de pasos discretos en una cantidad de tiempo finita. [48] Algunas técnicas de verificación formales excluyen estos comportamientos del análisis, si no son equivalentes a comportamientos ajenos a Zenón. [49] [50] En el diseño de sistemas, estos comportamientos a menudo también se excluirán de los modelos del sistema, ya que no se pueden implementar con un controlador digital. [51]

Lewis Carroll y Douglas Hofstadter

Lo que la tortuga le dijo a Aquiles , [52] escrito en 1895 por Lewis Carroll , fue un intento de revelar una paradoja análoga en el ámbito de la lógica pura. Si el argumento de Carroll es válido, la implicación es que las paradojas del movimiento de Zenón no son esencialmente problemas de espacio y tiempo, sino que van directamente al corazón del razonamiento mismo. Douglas Hofstadter hizo del artículo de Carroll una pieza central de su libro Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid , escribiendo muchos más diálogos entre Aquiles y la tortuga para dilucidar sus argumentos. Hofstadter conecta las paradojas de Zenón con el teorema de incompletitud de Gödel en un intento por demostrar que los problemas planteados por Zenón son omnipresentes y se manifiestan en la teoría de sistemas formales, la computación y la filosofía de la mente.

Ver también

  • Magnitudes inconmensurables
  • Regresión infinita
  • Filosofía del espacio y el tiempo
  • Renormalización
  • Paradoja de Ross-Littlewood
  • Escuela de Nombres
  • Supertarea
  • " Lo que la tortuga le dijo a Aquiles ", un diálogo alegórico sobre los fundamentos de la lógica de Lewis Carroll (1895).
  • Máquina zeno
  • Lista de paradojas

Notas

  1. ↑ Parménides 128d
  2. ↑ Parménides 128a – b
  3. ^ a b Física de Aristóteles "Física" de Aristóteles traducida por RP Hardie y RK Gaye
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  5. ↑ ([fragment 65], Diogenes Laërtius. IX Archivado el12 de diciembre de 2010en Wayback Machine 25ff y VIII 57).
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  15. ↑ Laërtius, Diogenes (c. 230). "Pirrón" . Vidas y opiniones de eminentes filósofos . IX . pasaje 72. ISBN 1-116-71900-2.
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  22. ^ Aristóteles. Física 6,9
  23. ↑ La observación de Aristóteles de que los tiempos fraccionarios también se acortan no garantiza, en todos los casos, que la tarea pueda completarse. Un caso en el que no se sostiene es aquel en el que los tiempos fraccionarios disminuyen en una serie armónica , mientras que las distancias disminuyen geométricamente, como por ejemplo: 1/2 s para 1/2 m de ganancia, 1/3 s para el siguiente 1/4 m de ganancia, 1/4 s para la siguiente ganancia de 1/8 m, 1/5 s para la siguiente ganancia de 1/16 m, 1/6 s para la siguiente ganancia de 1/32 m, etc. serie, pero los tiempos forman una serie divergente , cuya suma no tiene límite. [ investigación original? ] Arquímedes desarrolló un enfoque matemático más explícito que Aristóteles.
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enlaces externos

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  • Este artículo incorpora material de la paradoja de Zeno en PlanetMath , que está bajo la licencia Creative Commons Attribution / Share-Alike License .
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