En matemáticas , la función zeta de Riemann es una función en el análisis complejo , que también es importante en la teoría de números . A menudo se denota ζ ( s ) y lleva el nombre del matemático Bernhard Riemann . Cuando el argumento s es un número real mayor que uno, la función zeta satisface la ecuación
La misma ecuación en s anterior también se cumple cuando s es un número complejo cuya parte real es mayor que uno, lo que garantiza que la suma infinita aún converja. Entonces, la función zeta puede extenderse a la totalidad del plano complejo mediante la continuación analítica , excepto para un polo simple en s = 1 . La derivada compleja existe en esta región más general, lo que hace que la función zeta sea una función meromórfica . La ecuación anterior ya no se aplica para estos valores extendidos de s , para los cuales la suma correspondiente divergiría. Por ejemplo, la función zeta completa existe en s = −1 (y por lo tanto es finita allí), pero la serie correspondiente seríacuyas sumas parciales crecerían indefinidamente.
Los valores de la función zeta que figuran a continuación incluyen valores de la función en el negativo números pares ( s = -2 , -4 , etc. ), para lo cual zeta ( s ) = 0 y que constituyen los llamados ceros triviales . El artículo sobre la función zeta de Riemann incluye un diagrama de color que ilustra cómo varía la función en una región rectangular continua del plano complejo. La caracterización exitosa de sus ceros no triviales en el plano más amplio es importante en la teoría de números, debido a la hipótesis de Riemann .
La función zeta de Riemann en 0 y 1
En cero , uno tiene
En 1 hay un polo , entonces ζ (1) no es finito pero los límites izquierdo y derecho son:
Enteros positivos
Incluso enteros positivos
Para los enteros pares positivos, uno tiene la relación con los números de Bernoulli :
por .
El cálculo de ζ (2) se conoce como el problema de Basilea . El valor de ζ (4) está relacionado con la ley de Stefan-Boltzmann y la aproximación de Wien en física. Los primeros valores vienen dados por:
Tomando el limite , Se obtiene .
Valor | Expansión decimal | Fuente |
---|---|---|
1.644 934 066 848 226 4364 ... | OEIS : A013661 | |
1.082 323 233 711 138 1915 ... | OEIS : A013662 | |
1.017 343 061 984 449 1397 ... | OEIS : A013664 | |
1.004 077 356 197 944 3393 ... | OEIS : A013666 | |
1.000 994 575 127 818 0853 ... | OEIS : A013668 | |
1.000 246 086 553 308 0482 ... | OEIS : A013670 | |
1.000 061 248 135 058 7048 ... | OEIS : A013672 |
La relación entre zeta en los enteros pares positivos y los números de Bernoulli se puede escribir como
dónde y son enteros para todos incluso . Estos vienen dados por las secuencias enteras OEIS : A002432 y OEIS : A046988 , respectivamente, en OEIS . Algunos de estos valores se reproducen a continuación:
norte | A | B |
---|---|---|
1 | 6 | 1 |
2 | 90 | 1 |
3 | 945 | 1 |
4 | 9450 | 1 |
5 | 93555 | 1 |
6 | 638512875 | 691 |
7 | 18243225 | 2 |
8 | 325641566250 | 3617 |
9 | 38979295480125 | 43867 |
10 | 1531329465290625 | 174611 |
11 | 13447856940643125 | 155366 |
12 | 201919571963756521875 | 236364091 |
13 | 11094481976030578125 | 1315862 |
14 | 564653660170076273671875 | 6785560294 |
15 | 5660878804669082674070015625 | 6892673020804 |
dieciséis | 62490220571022341207266406250 | 7709321041217 |
17 | 12130454581433748587292890625 | 151628697551 |
Si dejamos ser el coeficiente de como anteriormente,
Esta relación de recurrencia puede derivarse de la de los números de Bernoulli .
Además, hay otra recurrencia:
Los valores de la función zeta en enteros pares no negativos tienen la función generadora :
Enteros positivos impares
La suma de la serie armónica es infinita.
El valor ζ (3) también se conoce como constante de Apéry y tiene un papel en la relación giromagnética del electrón. El valor ζ (5) aparece en la ley de Planck . Estos y valores adicionales son:
Valor | Expansión decimal | Fuente |
---|---|---|
1.202 056 903 159 594 2853 ... | OEIS : A02117 | |
1.036 927 755 143 369 9263 ... | OEIS : A013663 | |
1.008 349 277 381 922 8268 ... | OEIS : A013665 | |
1.002 008 392 826 082 2144 ... | OEIS : A013667 | |
1.000 494 188 604 119 4645 ... | OEIS : A013669 | |
1.000 122 713 347 578 4891 ... | OEIS : A013671 | |
1.000 030 588 236 307 0204 ... | OEIS : A013673 |
Se sabe que ζ (3) es irracional ( teorema de Apéry ) y que infinitamente muchos de los números ζ (2 n + 1): n ∈ ℕ , son irracionales. [1] También hay resultados sobre la irracionalidad de los valores de la función zeta de Riemann en los elementos de ciertos subconjuntos de los enteros impares positivos; por ejemplo, al menos uno de ζ (5), ζ (7), ζ (9) o ζ (11) es irracional. [2]
Los números enteros impares positivos de la función zeta aparecen en física, específicamente las funciones de correlación de la cadena de espín XXX antiferromagnético . [3]
La mayoría de las identidades siguientes son proporcionadas por Simon Plouffe . Son notables porque convergen con bastante rapidez, dando casi tres dígitos de precisión por iteración y, por lo tanto, son útiles para cálculos de alta precisión.
ζ (5)
Plouffe da las siguientes identidades
ζ (7)
Tenga en cuenta que la suma tiene la forma de una serie de Lambert .
ζ (2 n + 1)
Definiendo las cantidades
se puede dar una serie de relaciones en la forma
donde A n , B n , C n y D n son números enteros positivos. Plouffe da una tabla de valores:
norte | A | B | C | D |
---|---|---|---|---|
3 | 180 | 7 | 360 | 0 |
5 | 1470 | 5 | 3024 | 84 |
7 | 56700 | 19 | 113400 | 0 |
9 | 18523890 | 625 | 37122624 | 74844 |
11 | 425675250 | 1453 | 851350500 | 0 |
13 | 257432175 | 89 | 514926720 | 62370 |
15 | 390769879500 | 13687 | 781539759000 | 0 |
17 | 1904417007743250 | 6758333 | 3808863131673600 | 29116187100 |
19 | 21438612514068750 | 7708537 | 42877225028137500 | 0 |
21 | 1881063815762259253125 | 68529640373 | 3762129424572110592000 | 1793047592085750 |
Estas constantes enteras pueden expresarse como sumas sobre números de Bernoulli, como se indica en (Vepstas, 2006) a continuación.
EA Karatsuba proporciona un algoritmo rápido para el cálculo de la función zeta de Riemann para cualquier argumento entero. [4] [5] [6]
Enteros negativos
En general, para enteros negativos (y también cero), uno tiene
Los llamados "ceros triviales" ocurren en los enteros pares negativos:
Los primeros valores para enteros impares negativos son
Sin embargo, al igual que los números de Bernoulli , estos no permanecen pequeños para valores impares cada vez más negativos. Para obtener detalles sobre el primer valor, consulte 1 + 2 + 3 + 4 + · · · .
Por tanto, ζ ( m ) se puede utilizar como la definición de todos (incluidos los del índice 0 y 1) los números de Bernoulli.
Derivados
La derivada de la función zeta en los enteros pares negativos está dada por
Los primeros valores de los cuales son
Uno tambien tiene
donde A es la constante Glaisher-Kinkelin .
De la derivada logarítmica de la ecuación funcional,
Valor | Expansión decimal | Fuente |
---|---|---|
-0.198 126 242 885 636 853 33 ... | OEIS : A244115 | |
−0,937 548 254 315 843 753 70 ... | OEIS : A073002 | |
-0.918 938 533 204 672 741 78 ... | OEIS : A075700 | |
−0,360 854 339 599 947 607 34 ... | OEIS : A271854 | |
−0,165 421 143 700 450 929 21 ... | OEIS : A084448 | |
-0.030 448 457 058 393 270 780 ... | OEIS : A240966 | |
+0,005 378 576 357 774 301 1444 ... | OEIS : A259068 | |
0.007 983 811 450 268 624 2806 ... | OEIS : A259069 | |
-0.000 572 985 980 198 635 204 99 ... | OEIS : A259070 | |
-0.005 899 759 143 515 937 4506 ... | OEIS : A259071 | |
-0.000 728 642 680 159 240 652 46 ... | OEIS : A259072 | |
0.008 316 161 985 602 247 3595 ... | OEIS : A259073 |
Serie que involucra ζ ( n )
Las siguientes sumas se pueden derivar de la función generadora:
Las series relacionadas con la constante de Euler-Mascheroni (denotada por γ ) son
y usando el valor principal
y muestran que dependen del valor principal de ζ (1) = γ .
Ceros no triviales
Los ceros del zeta de Riemann, excepto los enteros pares negativos, se denominan "ceros no triviales". Consulte el sitio web de Andrew Odlyzko para ver sus tablas y bibliografías.
Ratios
Aunque es difícil evaluar valores particulares de la función zeta, a menudo se pueden encontrar ciertas relaciones insertando valores particulares de la función gamma en la ecuación funcional
Tenemos relaciones simples para argumentos de medio entero
A continuación se muestran otros ejemplos para evaluaciones y relaciones más complicadas de la función gamma. Por ejemplo, una consecuencia de la relación
es la relación de razón zeta
donde AGM es la media aritmética-geométrica . En una línea similar, es posible formar relaciones radicales, como de
la relación zeta análoga es
Referencias
- ^ Rivoal, T. (2000). "La fonction zeta de Riemann prend une infinité de valeurs irrationnelles aux entiers impairs". Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Serie I . 331 : 267–270. arXiv : matemáticas / 0008051 . Código Bibliográfico : 2000CRASM.331..267R . doi : 10.1016 / S0764-4442 (00) 01624-4 .
- ^ W. Zudilin (2001). "Uno de los números ζ (5), ζ (7), ζ (9), ζ (11) es irracional". Russ. Matemáticas. Surv . 56 (4): 774–776. Código Bibliográfico : 2001RuMaS..56..774Z . doi : 10.1070 / rm2001v056n04abeh000427 .
- ^ Abucheos, ÉL; Korepin, VE; Nishiyama, Y .; Shiroishi, M. (2002). "Correlaciones cuánticas y teoría de números". J. Phys. Una . 35 : 4443–4452. arXiv : cond-mat / 0202346 . Código Bibliográfico : 2002JPhA ... 35.4443B . doi : 10.1088 / 0305-4470 / 35/20/305 ..
- ^ Karatsuba, EA (1995). "Cálculo rápido de la función zeta de Riemann ζ ( s ) para valores enteros del argumento s " . Probl. Perdachi Inf . 31 (4): 69–80. Señor 1367927 .
- ^ EA Karatsuba: cálculo rápido de la función zeta de Riemann para el argumento de número entero. Dokl. Matemáticas. Vol.54, No.1, pág. 626 (1996).
- ^ EA Karatsuba: Evaluación rápida de ζ (3). Probl. Inf. Transm. Vol.29, No.1, págs. 58-62 (1993).
Otras lecturas
- Ciaurri, Óscar; Navas, Luis M .; Ruiz, Francisco J .; Varona, Juan L. (mayo de 2015). "Un cálculo simple de ζ (2 k )". The American Mathematical Monthly . 122 (5): 444–451. doi : 10.4169 / amer.math.monthly.122.5.444 . JSTOR 10.4169 / amer.math.monthly.122.5.444 .
- Simon Plouffe , " Identidades inspiradas en los cuadernos de Ramanujan ", (1998).
- Simon Plouffe , " Identidades inspiradas en Ramanujan Notebooks part 2 PDF " (2006).
- Vepstas, Linas (2006). "Sobre las identidades Ramanujan de Plouffe" (PDF) . arXiv : matemáticas.NT / 0609775 .
- Zudilin, Wadim (2001). "Uno de los números ζ (5), ζ (7), ζ (9), ζ (11) es irracional". Encuestas matemáticas rusas . 56 : 774–776. Código Bibliográfico : 2001RuMaS..56..774Z . doi : 10.1070 / RM2001v056n04ABEH000427 . Señor 1861452 . PDF PDF Ruso PS Ruso
- Referencia de ceros no trivales por Andrew Odlyzko :
- Bibliografía
- Mesas