En matemáticas , particularmente en álgebra homológica , el lema en zig-zag afirma la existencia de una secuencia exacta larga particular en los grupos de homología de ciertos complejos de cadenas . El resultado es válido en todas las categorías abelianas .
Declaración
En una categoría abeliana (como la categoría de grupos abelianos o la categoría de espacios vectoriales sobre un campo dado ), dejemos y Ser complejos de cadena que encajen en la siguiente secuencia corta y exacta :
Esta secuencia es una abreviatura del siguiente diagrama conmutativo :
donde las filas son secuencias exactas y cada columna es un complejo de cadena .
El lema en zig-zag afirma que hay una colección de mapas de límites
que hace que la siguiente secuencia sea exacta:
Los mapas y son los mapas habituales inducidos por homología. Los mapas de límitesse explican a continuación. El nombre del lema surge del comportamiento en "zig-zag" de los mapas en la secuencia. Una versión variante del lema en zig-zag se conoce comúnmente como el " lema de la serpiente " (extrae la esencia de la prueba del lema en zig-zag que se da a continuación).
Construcción de mapas de límites
Los mapas se definen utilizando un argumento de persecución de diagrama estándar. Dejar representar una clase en , entonces . La exactitud de la fila implica que es sobreyectiva, por lo que debe haber alguna con . Por conmutatividad del diagrama,
Por exactitud,
Por lo tanto, dado que es inyectivo, hay un elemento único tal que . Este es un ciclo, ya que es inyectable y
desde . Es decir,. Esto significa es un ciclo, por lo que representa una clase en . Ahora podemos definir
Con los mapas de límites definidos, se puede mostrar que ellos están bien definidos (es decir, independiente de las opciones de C y B ). La prueba usa argumentos de persecución de diagramas similares a los anteriores. Estos argumentos también se utilizan para demostrar que la secuencia en homología es exacta en cada grupo.
Ver también
Referencias
- Hatcher, Allen (2002). Topología algebraica . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-79540-0.
- Lang, Serge (2002), Álgebra , Textos de posgrado en matemáticas , 211 (Tercera edición revisada), Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, Señor 1878556
- Munkres, James R. (1993). Elementos de topología algebraica . Nueva York: Westview Press. ISBN 0-201-62728-0.