Convex Polyhedra es un libro sobre las matemáticas de los poliedros convexos , escrito por el matemático soviético Aleksandr Danilovich Aleksandrov , y publicado originalmente en ruso en 1950, bajo el título Выпуклые многогранники . [1] [2] Fue traducido al alemán por Wilhelm Süss como Konvexe Polyeder en 1958. [3] Una edición actualizada, traducida al inglés por Nurlan S. Dairbekov, Semën Samsonovich Kutateladze y Alexei B. Sossinsky, con material adicional de Victor Zalgaller , LA Shor y Yu. A. Volkov, fue publicado como Convex Polyhedra por Springer-Verlag en 2005.[4] [5] [6]
Temas
El enfoque principal del libro es la especificación de datos geométricos que determinarán de manera única la forma de un poliedro convexo tridimensional, hasta alguna clase de transformaciones geométricas como la congruencia o la similitud. [1] [4] [6] Considera poliedros acotados ( cascos convexos de conjuntos finitos de puntos) y poliedros no acotados (intersecciones de un número finito de medios espacios ). [1]
La edición rusa de 1950 del libro incluyó 11 capítulos. El primer capítulo cubre las propiedades topológicas básicas de los poliedros, incluida su equivalencia topológica con las esferas (en el caso acotado) y la fórmula poliédrica de Euler . Después de un lema de Augustin Cauchy sobre la imposibilidad de etiquetar los bordes de un poliedro con signos positivos y negativos de modo que cada vértice tenga al menos cuatro cambios de signo, [1] el resto del capítulo 2 describe el contenido del libro restante. [4] Los capítulos 3 y 4 prueban el teorema de la unicidad de Alexandrov , caracterizando la geometría de la superficie de los poliedros como exactamente los espacios métricos que son topológicamente esféricos localmente como el plano euclidiano, excepto en un conjunto finito de puntos de defecto angular positivo , obedeciendo el teorema de Descartes sobre defecto angular total que el defecto angular total debe ser. El Capítulo 5 considera los espacios métricos definidos de la misma manera que topológicamente son un disco en lugar de una esfera, y estudia las superficies poliédricas flexibles que resultan. [1]
Los capítulos 6 al 8 del libro están relacionados con un teorema de Hermann Minkowski de que un poliedro convexo está determinado únicamente por las áreas y direcciones de sus caras , con una nueva demostración basada en la invariancia de dominio . [1] Una generalización de este teorema implica que lo mismo es cierto para los perímetros y direcciones de las caras. [5] El capítulo 9 se refiere a la reconstrucción de poliedros tridimensionales desde una vista en perspectiva bidimensional, al restringir los vértices del poliedro para que se encuentren sobre rayos a través del punto de vista. La edición rusa original del libro concluye con dos capítulos, 10 y 11, relacionados con el teorema de Cauchy de que los poliedros con caras planas forman estructuras rígidas , y describen las diferencias entre la rigidez y la rigidez infinitesimal de los poliedros, como se desarrolló de manera análoga al teorema de rigidez de Cauchy por Max Dehn . [1] [4]
La edición en inglés de 2005 agrega comentarios e información bibliográfica sobre muchos problemas que se plantearon como abiertos en la edición de 1950 pero que posteriormente se resolvieron. También incluye en un capítulo de material complementario las traducciones de tres artículos relacionados de Volkov y Shor, [4] incluyendo una demostración simplificada de los teoremas de Pogorelov generalizando el teorema de unicidad de Alexandrov a superficies convexas no poliédricas. [5]
Audiencia y recepción
Robert Connelly escribe que, para un trabajo que describe desarrollos significativos en la teoría de los poliedros convexos que, sin embargo, era difícil de acceder en el oeste, la traducción al inglés de Convex Polyhedra estaba muy atrasada. Él llama al material sobre el teorema de la unicidad de Alexandrov "el resultado estrella en el libro", y escribe que el libro "tuvo una gran influencia en innumerables matemáticos rusos". Sin embargo, se queja de la pequeña cantidad de ejercicios del libro y de una presentación de nivel inconsistente que no logra distinguir los resultados importantes y básicos de los tecnicismos especializados. [5]
Aunque está destinado a una amplia audiencia matemática, Convex Polyhedra asume un nivel significativo de conocimiento previo en materiales que incluyen topología , geometría diferencial y álgebra lineal . [6] El revisor Vasyl Gorkaviy recomienda Convex Polyhedra a estudiantes y matemáticos profesionales como una introducción a las matemáticas de los poliedros convexos. También escribe que, más de 50 años después de su publicación original, "sigue siendo de gran interés para los especialistas", después de haber sido actualizado para incluir muchos nuevos desarrollos y enumerar nuevos problemas abiertos en el área. [4]
Ver también
Referencias
- ^ a b c d e f g Busemann, H. , "Revisión de Выпуклые многогранники ", Revisiones matemáticas , MR 0040677
- ^ Kaloujnine, L. , "Review of Выпуклые многогранники ", zbMATH (en alemán), Zbl 0041.50901
- ^ Zbl 0079.16303
- ^ a b c d e f Gorkaviy, Vasyl, "Revisión de poliedros convexos ", zbMATH , Zbl 1067.52011
- ^ a b c d Connelly, Robert (marzo de 2006), "Review of Convex Polyhedra " (PDF) , SIAM Review , 48 (1): 157–160, doi : 10.1137 / SIREAD000048000001000149000001 , JSTOR 20453762
- ^ a b c Ruane, PN (noviembre de 2006), "Review of Convex Polyhedra ", The Mathematical Gazette , 90 (519): 557–558, doi : 10.1017 / S002555720018074X , JSTOR 40378241