En las matemáticas y la filosofía , la lógica Łukasiewicz ( / ˌ l U k ə ʃ ɛ v ɪ tʃ / LOO -kə- SEHC -itch , polaco: [wukaɕɛvitʂ] ) es un no clásica , lógica multivaluada . Fue definido originalmente a principios del siglo XX por Jan Łukasiewicz como una lógica de tres valores ; [1] más tarde se generalizó a n -valuado (para todos los n finitos ) así comoVariantes infinitamente de muchos valores ( valor ℵ 0 ), tanto proposicionales como de primer orden. [2] La versión con valor ℵ 0 fue publicada en 1930 por Łukasiewicz y Alfred Tarski ; en consecuencia, a veces se la denomina lógica Łukasiewicz-Tarski . [3] Pertenece a las clases de lógicas difusas t-norm [4] y lógicas subestructurales . [5]
Este artículo presenta la lógica Łukasiewicz [-Tarski] en toda su generalidad, es decir, como una lógica de valores infinitos. Para una introducción elemental a la instanciación de tres valores Ł 3 , consulte la lógica de tres valores .
Idioma
Los conectivos proposicionales de la lógica de Łukasiewicz son implicaciones , negación , equivalencia , conjunción débil , conjunción fuerte , disyunción débil , fuerte disyunción y constantes proposicionales y . La presencia de conjunción y disyunción es una característica común de las lógicas subestructurales sin la regla de contracción, a la que pertenece la lógica de Łukasiewicz.
Axiomas
El sistema original de axiomas para la lógica proposicional de Łukasiewicz de valor infinito usaba la implicación y la negación como las conectivas primitivas:
La lógica proposicional de Łukasiewicz de valor infinito también se puede axiomatizar agregando los siguientes axiomas al sistema axiomático de la lógica t-norma monoidal :
- Divisibilidad
- Doble negación
Es decir, la lógica de Łukasiewicz de valor infinito surge al agregar el axioma de la doble negación a la lógica de norma t básica BL , o al agregar el axioma de divisibilidad al IMTL lógico.
Las lógicas de Łukasiewicz de valor finito requieren axiomas adicionales.
Semántica de valor real
La lógica de Łukasiewicz de valor infinito es una lógica de valor real en la que a las oraciones del cálculo enunciado se les puede asignar un valor de verdad no solo de cero o uno, sino también de cualquier número real intermedio (por ejemplo, 0,25). Las valoraciones tienen una definición recursiva donde:
- para un conectivo binario
- y
y donde las definiciones de las operaciones son las siguientes:
- Implicación:
- Equivalencia:
- Negación:
- Conjunción débil:
- Disyunción débil:
- Conjunción fuerte:
- Fuerte disyunción:
La función de la verdad de conjunción fuerte es la t-norma de Łukasiewicz y la función de verdadde fuerte disyunción es su t-conorma dual . Obviamente, y , Así que si , luego mientras que las respectivas proposiciones lógicamente equivalentes han .
La función de la verdad es el residuo de la norma t de Łukasiewicz. Todas las funciones de verdad de los conectivos básicos son continuas.
Por definición, una fórmula es una tautología de la lógica Łukasiewicz de valor infinito si se evalúa a 1 bajo cualquier valoración de variables proposicionales por números reales en el intervalo [0, 1].
Semántica de valores finitos y de valores contables
Usando exactamente las mismas fórmulas de valoración que para la semántica de valores reales, Łukasiewicz (1922) también definió (hasta el isomorfismo) la semántica sobre
- cualquier conjunto finito de cardinalidad n ≥ 2 eligiendo el dominio como {0, 1 / ( n - 1), 2 / ( n - 1), ..., 1 }
- cualquier conjunto contable eligiendo el dominio como { p / q | 0 ≤ p ≤ q donde p es un entero no negativo yq es un entero positivo}.
Semántica algebraica general
La semántica estándar de valores reales determinada por la norma t de Łukasiewicz no es la única semántica posible de la lógica de Łukasiewicz. La semántica algebraica general de la lógica proposicional de valor infinito de Łukasiewicz está formada por la clase de todas las MV-álgebras . La semántica estándar de valores reales es una MV-álgebra especial, llamada MV-álgebra estándar .
Al igual que otras lógicas difusas de norma t, la lógica proposicional de Łukasiewicz de valor infinito goza de integridad con respecto a la clase de todas las álgebras para las que la lógica es sólida (es decir, MV-álgebras), así como con respecto a solo las lineales. Esto se expresa mediante los teoremas de completitud general, lineal y estándar: [4]
- Las siguientes condiciones son equivalentes:
- es demostrable en la lógica proposicional de valor infinito Łukasiewicz
- es válido en todas las MV-álgebras ( completitud general )
- es válido en todas las MV-álgebras ordenadas linealmente ( completitud lineal )
- es válido en el MV-álgebra estándar ( completitud estándar ).
Font, Rodríguez y Torrens introdujeron en 1984 el álgebra de Wajsberg como un modelo alternativo para la lógica Łukasiewicz de valores infinitos. [6]
Un intento de la década de 1940 de Grigore Moisil de proporcionar semántica algebraica para la lógica de Łukasiewicz valorada en n por medio de su álgebra de Łukasiewicz-Moisil (LM) (que Moisil llamó álgebras de Łukasiewicz ) resultó ser un modelo incorrecto para n ≥ 5. Este problema fue hecho público por Alan Rose en 1956. El MV-álgebra de CC Chang , que es un modelo para la lógica de Łukasiewicz-Tarski con valor ℵ 0 (infinitamente muchos valores), se publicó en 1958. Para el axiomáticamente más complicado (finito ) Las lógicas de Łukasiewicz valoradas en n , las álgebras adecuadas fueron publicadas en 1977 por Revaz Grigolia y las denominó MV n -algebras. [7] MV n -álgebras son una subclase de LM n -algebras, y la inclusión es estricta para n ≥ 5. [8] En 1982, Roberto Cignoli publicó algunas restricciones adicionales que añadidas a LM n- álgebras producen modelos adecuados para n - valiosa lógica Łukasiewicz; Cignoli llamó a su descubrimiento las álgebras de Łukasiewicz adecuadas . [9]
Referencias
- ^ Łukasiewicz J., 1920, O logice trójwartościowej (en polaco). Ruch filozoficzny 5 : 170-171. Traducción al inglés: Sobre la lógica de tres valores, en L. Borkowski (ed.), Obras seleccionadas de Jan Łukasiewicz , Holanda Septentrional, Amsterdam, 1970, págs. 87–88. ISBN 0-7204-2252-3
- ^ Hay, LS, 1963, Axiomatización del cálculo de predicados con valores infinitos . Journal of Symbolic Logic 28 : 77–86.
- ^ Lavinia Corina Ciungu (2013). Álgebras lógicas de valores múltiples no conmutativas . Saltador. pag. vii. ISBN 978-3-319-01589-7.citando a Łukasiewicz, J., Tarski, A .: Untersuchungen über den Aussagenkalkül . Comp. Desgarrar. Soc. Sci. et Lettres Varsovie Cl. III 23, 30–50 (1930).
- ^ a b Hájek P., 1998, Metamatemáticas de la lógica difusa . Dordrecht: Kluwer.
- ^ Ono, H., 2003, "Lógicas subestructurales y celosías residuales - una introducción". En FV Hendricks, J. Malinowski (eds.): Trends in Logic: 50 Years of Studia Logica, Trends in Logic 20 : 177–212.
- ^ http://journal.univagora.ro/download/pdf/28.pdf citando a JM Font, AJ Rodríguez, A. Torrens, Wajsberg Algebras, Stochastica, VIII, 1, 5-31, 1984
- ^ Lavinia Corina Ciungu (2013). Álgebras lógicas de valores múltiples no conmutativas . Saltador. págs. vii-viii. ISBN 978-3-319-01589-7.citando Grigolia, RS: "Análisis algebraico de los sistemas lógicos con valores n de Lukasiewicz-Tarski". En: Wójcicki, R., Malinkowski, G. (eds.) Artículos seleccionados sobre cálculo de sentencias de Lukasiewicz, págs. 81–92. Academia de Ciencias de Polonia, Wroclav (1977)
- ↑ Iorgulescu, A .: Conexiones entre MV n- álgebras y n -álgebras de Łukasiewicz-Moisil valoradas en n -I. Matemáticas discretas. 181, 155-177 (1998) doi : 10.1016 / S0012-365X (97) 00052-6
- ^ R. Cignoli, Álgebras de Łukasiewicz con valor n adecuado como S-Álgebras de cálculos proposicionales con valor n de Łukasiewicz, Studia Logica, 41, 1982, 3-16, doi : 10.1007 / BF00373490
Otras lecturas
- Rose, A .: 1956, Formalization du Calcul Propositionnel Implicatif ℵ 0 Valeurs de Łukasiewicz, CR Acad. Sci. París 243, 1183-1185.
- Rose, A .: 1978, Formalisations of More ℵ 0 -Valued Łukasiewicz Propositional Calculi, Journal of Symbolic Logic 43 (2), 207-210. doi : 10.2307 / 2272818
- Cignoli, R., “Las álgebras de la lógica multivaluada de Lukasiewicz - Una descripción histórica”, en S. Aguzzoli et al. (Eds.), Aspectos algebraicos y teóricos de la prueba de la lógica no clásica, LNAI 4460, Springer, 2007 , 69-83. doi : 10.1007 / 978-3-540-75939-3_5