En matemáticas , una t-norma (también T-norma o, sin abreviar, norma triangular ) es un tipo de operación binaria utilizada en el marco de espacios métricos probabilísticos y en lógica multivalor , específicamente en lógica difusa . Una t-norma generaliza la intersección en una celosía y la conjunción en la lógica . El nombre norma triangular se refiere al hecho de que en el marco de los espacios métricos probabilísticos, las normas t se utilizan para generalizar la desigualdad triangular de los espacios métricos ordinarios..
Definición
Una t-norma es una función T: [0, 1] × [0, 1] → [0, 1] que satisface las siguientes propiedades:
- Conmutatividad : T ( a , b ) = T ( b , a )
- Monotonicidad : T ( un , b ) ≤ T ( c , d ) si un ≤ c y b ≤ d
- Asociatividad : T ( a , T ( b , c )) = T (T ( a , b ), c )
- El número 1 actúa como elemento de identidad : T ( a , 1) = a
Dado que una t-norma es una operación algebraica binaria en el intervalo [0, 1], la notación algebraica infija también es común, con la t-norma usualmente denotada por .
Las condiciones que definen la t-norma son exactamente las del monoide abeliano parcialmente ordenado en el intervalo unitario real [0, 1]. (Cf. grupo ordenados .) La operación monoidal de cualquier parcialmente ordenado monoid Abeliana L es por lo tanto por algunos autores llamados una norma triangular en L .
Motivaciones y aplicaciones
Las normas T son una generalización de la conjunción lógica de dos valores habitual , estudiada por la lógica clásica, para la lógica difusa . De hecho, la conjunción booleana clásica es tanto conmutativa como asociativa. La propiedad de la monotonicidad asegura que el grado de verdad de la conjunción no disminuya si aumentan los valores de verdad de las conjunciones. El requisito de que 1 sea un elemento de identidad corresponde a la interpretación de 1 como verdadero (y, en consecuencia, 0 como falso ). La continuidad, que a menudo también se requiere de la conjunción difusa, expresa la idea de que, en términos generales, los cambios muy pequeños en los valores de verdad de los conjuntivos no deberían afectar macroscópicamente el valor de verdad de su conjunción.
Las normas T también se utilizan para construir la intersección de conjuntos difusos o como base para operadores de agregación (ver operaciones de conjuntos difusos ). En los espacios métricos probabilísticos , las normas t se utilizan para generalizar la desigualdad de triángulos de los espacios métricos ordinarios. Por supuesto, las t-normas individuales pueden ocurrir con frecuencia en otras disciplinas de las matemáticas, ya que la clase contiene muchas funciones familiares.
Clasificación de t-normas
Una t-norma se llama continua si es continua en función, en la topología de intervalo habitual en [0, 1] 2 . (De manera similar para la continuidad izquierda y derecha ).
Una norma t se llama estricta si es continua y estrictamente monótona .
Una t-norma se llama nilpotente si es continua y cada x en el intervalo abierto (0, 1) es su elemento nilpotente , es decir, hay un número natural n tal que x ... x ( n veces) es igual a 0.
Una t-norma se llama Arquímedes si tiene la propiedad de Arquímedes , es decir, si para cada x , y en el intervalo abierto (0, 1) hay un número natural n tal que x ... x ( n veces) es menor o igual que y .
La ordenación parcial habitual de las t-normas es puntual, es decir,
- T 1 ≤ T 2 si T 1 ( a , b ) ≤ T 2 ( a , b ) para todo a , b en [0, 1].
Como funciones, las t-normas puntuales más grandes a veces se denominan más fuertes que las puntuales más pequeñas. En la semántica de la lógica difusa, sin embargo, cuanto mayor es una norma t, más débil (en términos de fuerza lógica) representa la conjunción.
Ejemplos destacados
- T-norma mínima también llamada la t-norma de Gödel , ya que es la semántica estándar para la conjunción en la lógica difusa de Gödel . Además de eso, ocurre en la mayoría de las lógicas difusas basadas en la norma t como la semántica estándar para la conjunción débil. Es la norma t más grande puntualmente (consulte las propiedades de las normas t a continuación).
- Norma t de producto (el producto ordinario de los números reales). Además de otros usos, la norma t del producto es la semántica estándar para una fuerte conjunción en la lógica difusa del producto . Es una estricta norma t de Arquímedes.
- Łukasiewicz norma t El nombre proviene del hecho de que la t-norma es la semántica estándar para la conjunción fuerte en la lógica difusa de Łukasiewicz . Es una t-norma de Arquímedes nilpotente, puntualmente más pequeña que la t-norma del producto.
- T-norma drástica
- El nombre refleja el hecho de que la drástica t-norma es la t-norma puntual más pequeña (consulte las propiedades de las t-normas a continuación). Es una norma t de Arquímedes continua a la derecha.
- Mínimo nilpotente
- es un ejemplo estándar de una norma t que es continua a la izquierda, pero no continua. A pesar de su nombre, el mínimo nilpotente no es una t-norma nilpotente.
- Producto de Hamacher
- es una estricta t-norma de Arquímedes, y un importante representante de las clases paramétricas de Hamacher t-normas y Schweizer-Sklar t-normas .
Propiedades de las t-normas
La norma t drástica es la norma t más pequeña puntual y la mínima es la norma t más grande puntual:
- para cualquier norma t y todo a , b en [0, 1].
Para cada t-norma T, el número 0 actúa como elemento nulo: T ( a , 0) = 0 para todo a en [0, 1].
Una t-norma T tiene cero divisores si y solo si tiene elementos nilpotentes ; cada elemento nilpotente de T es también un divisor cero de T. El conjunto de todos los elementos nilpotentes es un intervalo [0, a ] o [0, a ), para algunos a en [0, 1].
Propiedades de las t-normas continuas
Aunque las funciones reales de dos variables pueden ser continuas en cada variable sin ser continuas en [0, 1] 2 , este no es el caso de las t-normas: una t-norma T es continua si y solo si es continua en una variable , es decir, si y solo si las funciones f y ( x ) = T ( x , y ) son continuas para cada y en [0, 1]. Los teoremas análogos son válidos para la continuidad izquierda y derecha de una norma t.
Una t-norma continua es Arquímedes si y solo si 0 y 1 son sus únicos idempotentes .
Una t-norma de Arquímedes continua es estricta si 0 es su único elemento nilpotente ; de lo contrario, es nilpotente. Por definición, además, una t-norma de Arquímedes continua T es nilpotente si y sólo si cada x <1 es un elemento nilpotente de T. Por lo tanto, con una t-norma de Arquímedes continua T, todos o ninguno de los elementos de 1) son nilpotentes. Si es el caso que todos los elementos en (0, 1) son nilpotentes, entonces la t-norma es isomorfa a la Łukasiewicz t-norma; es decir, hay una función estrictamente creciente f tal que
Si, por el contrario, no hay elementos nilpotentes de T, la t-norma es isomorfa a la t-norma del producto. En otras palabras, todas las t-normas nilpotentes son isomórficas, siendo la t-norma Łukasiewicz su representante prototípico; y todas las t-normas estrictas son isomórficas, con la t-norma del producto como su ejemplo prototípico. La norma t de Łukasiewicz es en sí misma isomórfica al producto t-norma socavado en 0.25, es decir, a la función p ( x , y ) = max (0.25, x · y ) en [0.25, 1] 2 .
Para cada t-norma continua, el conjunto de sus idempotentes es un subconjunto cerrado de [0, 1]. Su complemento, el conjunto de todos los elementos que no son idempotentes, es, por tanto, una unión de innumerables intervalos abiertos que no se superponen. La restricción de la t-norma a cualquiera de estos intervalos (incluidos sus puntos finales) es de Arquímedes y, por lo tanto, isomórfica a la Łukasiewicz t-norma o a la t-norma del producto. Para tales x , y que no caen en el mismo intervalo abierto de no idempotentes, la t-norma se evalúa al mínimo de x e y . En realidad, estas condiciones dan una caracterización de las t-normas continuas, llamada teorema de Mostert-Shields , ya que toda t-norma continua puede descomponerse de esta manera, y la construcción descrita siempre produce una t-norma continua. El teorema también se puede formular de la siguiente manera:
- Una t-norma es continua si y solo si es isomorfa a una suma ordinal del mínimo, Łukasiewicz y la t-norma del producto.
No se conoce un teorema de caracterización similar para las t-normas no continuas (ni siquiera para las continuas a la izquierda), solo se han encontrado algunos métodos no exhaustivos para la construcción de t-normas .
Residuo
Para cualquier norma t continua a la izquierda , hay una operación binaria única en [0, 1] tal que
- si y solo si
para todo x , y , z en [0, 1]. Esta operación se llama residuo de la t-norma. En notación de prefijo, el residuo de una norma t a menudo se denota por o por la letra R.
El intervalo [0, 1] equipado con una t-norma y su residuo forma una red residuada . La relación entre una t-norma T y su residuo R es una instancia de adjunción (específicamente, una conexión de Galois ): el residuo forma un adjunto derecho R ( x , -) al funtor T (-, x ) para cada x en el enrejado [0, 1] tomado como categoría poset .
En la semántica estándar de las lógicas difusas basadas en la norma t, donde la conjunción es interpretada por una norma t, el residuo juega el papel de implicación (a menudo llamada implicación R ).
Propiedades básicas de residua
Si es el residuo de una t-norma continua a la izquierda , luego
En consecuencia, para todo x , y en el intervalo unitario,
- si y solo si
y
Si es una t-norma continua a la izquierda y su residuo, entonces
Si es continuo, entonces la igualdad se mantiene en el primero.
Residuo de t-normas prominentes continuas a la izquierda
Si x ≤ y , entonces R ( x , y ) = 1 para cualquier residuo R. Por lo tanto, la siguiente tabla da los valores de los residuos prominentes solo para x > y .
Residuo del | Nombre | Valor para x > y | Grafico |
---|---|---|---|
T-norma mínima | Implicación estándar de Godel | y | |
Norma t de producto | Implicación de Goguen | y / x | |
Łukasiewicz norma t | Implicación estándar de Łukasiewicz | 1 - x + y | |
Mínimo nilpotente | max (1 - x , y ) |
T-conorms
T-conormas (también llamados S-normas ) son dual a t-normas bajo la operación orden de marcha atrás que asigna 1 - x a x en [0, 1]. Dada una t-norma, la conorma complementaria se define por
Esto generaliza las leyes de De Morgan .
De ello se deduce que una t-conorm satisface las siguientes condiciones, que se pueden utilizar para una definición axiomática equivalente de t-conormas independientemente de las t-normas:
- Conmutatividad: ⊥ ( a , b ) = ⊥ ( b , a )
- Monotonicidad: ⊥ ( un , b ) ≤ ⊥ ( c , d ) si un ≤ c y b ≤ d
- Asociatividad: ⊥ ( a , ⊥ ( b , c )) = ⊥ (⊥ ( a , b ), c )
- Elemento de identidad: ⊥ ( a , 0) = a
Los T-conormas se utilizan para representar la disyunción lógica en la lógica difusa y la unión en la teoría de conjuntos difusos .
Ejemplos de t-conorms
Las t-conormas importantes son las t-normas duales a prominentes:
- T-conorm máximo , dual a la t-norma mínima, es la t-conorm más pequeña (consulte las propiedades de las t-conormas a continuación). Es la semántica estándar para la disyunción en la lógica difusa de Gödel y para la disyunción débil en todas las lógicas difusas basadas en la norma t.
- Suma probabilística es dual con la norma t del producto. En la teoría de la probabilidad expresa la probabilidad de la unión de eventos independientes . También es la semántica estándar para la disyunción fuerte en tales extensiones de la lógica difusa del producto en la que es definible (por ejemplo, las que contienen negación involutiva).
- Suma acotada es dual con la norma t de Łukasiewicz. Es la semántica estándar para una fuerte disyunción en la lógica difusa de Łukasiewicz .
- T-conorm drástico
- dual a la drástica t-norma, es la t-conorm más grande (vea las propiedades de las t-conorm a continuación).
- Máximo nilpotente , dual al mínimo nilpotente:
- Suma de Einstein (compare la fórmula de velocidad-adición bajo relatividad especial)
- es un dual de una de las t-normas de Hamacher .
Propiedades de t-conorms
Se pueden obtener muchas propiedades de las t-conormas dualizando las propiedades de las t-normas, por ejemplo:
- Para cualquier t-conorm ⊥, el número 1 es un elemento aniquilador: ⊥ ( a , 1) = 1, para cualquier a en [0, 1].
- Dualmente a las t-normas, todas las t-conormas están limitadas por la t-conorma máxima y drástica:
- , para cualquier t-conorm y todo a , b en [0, 1].
Otras propiedades resultan de las relaciones entre t-normas y t-conorms o su interacción con otros operadores, por ejemplo:
- Una t-norma T se distribuye sobre una t-conorm ⊥, es decir,
- T ( x , ⊥ ( y , z )) = ⊥ (T ( x , y ), T ( x , z )) para todo x , y , z en [0, 1],
- si y solo si ⊥ es la t-conorm máxima. Dualmente, cualquier t-conorm se distribuye por encima del mínimo, pero no por encima de cualquier otra t-norma.
Negadores no estándar
Un negador es una caída monótona , es decir, mapeo de reversión de orden con y (en otra notación: y ). Un negador n se llama
- estricto en caso de estricta monotonocidad
- fuerte si es estricto e involutivo , es decir, ∀ {\ Displaystyle \ forall}
El negador estándar (canónico) es , que es a la vez estricto y fuerte. Como el negador estándar se usa en la definición anterior de un par t-norma / t-conorm, esto se puede generalizar de la siguiente manera:
Un triplete de De Morgan es un triple (T, ⊥, n ) tal que [1]
- T es una norma t
- ⊥ es una t-conorm de acuerdo con la definición axiomática de t-conorm como se mencionó anteriormente
- n es un negador fuerte
- .
Ver también
- Construcción de t-normas
- Lógicas difusas de la norma T
Referencias
- ^ Ismat Beg, Samina Ashraf: Medidas de similitud para conjuntos difusos , en: Matemáticas aplicadas y computacionales, marzo de 2009, disponible en Research Gate desde el 23 de noviembre de 2016
- Klement, Erich Peter; Mesiar, Radko; y Pap, Endre (2000), Normas triangulares . Dordrecht: Kluwer. ISBN 0-7923-6416-3 .
- Hájek, Petr (1998), Metamatemáticas de la lógica difusa . Dordrecht: Kluwer. ISBN 0-7923-5238-6
- Cignoli, Roberto LO; D'Ottaviano, Itala ML ; y Mundici, Daniele (2000), Fundamentos algebraicos del razonamiento multivaluado . Dordrecht: Kluwer. ISBN 0-7923-6009-5
- Fodor, János (2004), "T-normas continuas a la izquierda en lógica difusa: una visión general". Acta Polytechnica Hungarica 1 (2), ISSN 1785-8860 [1]