Las lógicas difusas de la norma T son una familia de lógicas no clásicas , informalmente delimitadas por tener una semántica que toma el intervalo unitario real [0, 1] para el sistema de valores de verdad y funciones llamadas normas t para las interpretaciones permisibles de la conjunción . Se utilizan principalmente en lógica difusa aplicada y teoría de conjuntos difusos como base teórica para el razonamiento aproximado.
Las lógicas difusas de la norma T pertenecen a clases más amplias de lógicas difusas y lógicas de muchos valores . Para generar una implicación de buen comportamiento , generalmente se requiere que las t-normas sean continuas a la izquierda ; Las lógicas de las t-normas continuas a la izquierda pertenecen además a la clase de lógicas subestructurales , entre las que están marcadas con la validez de la ley de prelinealidad , ( A → B ) ∨ ( B → A ). Lógicas difusas de norma t tanto proposicionales como de primer orden (o de orden superior ), así como sus expansiones por modalidady otros operadores, se estudian. Las lógicas que restringen la semántica de la t-norma a un subconjunto del intervalo de la unidad real (por ejemplo, lógicas de Łukasiewicz de valor finito ) generalmente también se incluyen en la clase.
Ejemplos importantes de lógicas t-norm difusas son la lógica t-norma monoidal MTL de todas las t-normas continuas a la izquierda, la lógica básica BL de todas las t-normas continuas, la lógica difusa del producto de la t-norma del producto, o la lógica mínima nilpotente de la t-norma mínima nilpotente. Algunas lógicas motivadas independientemente pertenecen también a las lógicas difusas de la norma t, por ejemplo, la lógica Łukasiewicz (que es la lógica de la norma t norukasiewicz) o la lógica de Gödel-Dummett (que es la lógica de la norma t mínima).
Motivación
Como miembros de la familia de las lógicas difusas , las lógicas difusas de la norma t apuntan principalmente a generalizar la lógica clásica de dos valores admitiendo valores de verdad intermedios entre 1 (verdad) y 0 (falsedad) que representan grados de verdad de las proposiciones. Se supone que los grados son números reales del intervalo unitario [0, 1]. En la lógica difusa de la norma t proposicional, las conectivas proposicionales se estipulan como funcionales de verdad , es decir, el valor de verdad de una proposición compleja formada por una conectiva proposicional de algunas proposiciones constituyentes es una función (llamada función de verdad de la conectiva) de los valores de verdad de las proposiciones constituyentes. Las funciones de verdad operan en el conjunto de grados de verdad (en la semántica estándar, en el intervalo [0, 1]); por tanto, la función de verdad de una conectiva proposicional n -aria c es una función F c : [0, 1] n → [0, 1]. Las funciones de verdad generalizan tablas de verdad de conectivos proposicionales conocidos de la lógica clásica para operar en el sistema más amplio de valores de verdad.
Las lógicas difusas de la norma T imponen ciertas limitaciones naturales a la función de verdad de la conjunción . La función de la verdad de conjunción se supone que satisface las siguientes condiciones:
- Conmutatividad , es decir,para todos los x y y en [0, 1]. Esto expresa la suposición de que el orden de las proposiciones difusas es inmaterial en conjunción, incluso si se admiten grados de verdad intermedios.
- Asociatividad , es decir,para todo x , y y z en [0, 1]. Esto expresa la suposición de que el orden de realización de la conjunción es inmaterial, incluso si se admiten grados de verdad intermedios.
- Monotonía , es decir, si luego para todo x , y y z en [0, 1]. Esto expresa la suposición de que aumentar el grado de verdad de una conjunción no debería disminuir el grado de verdad de la conjunción.
- Neutralidad de 1 , es decir,para todo x en [0, 1]. Este supuesto corresponde a considerar el grado de verdad 1 como verdad plena, conjunción con la cual no disminuye el valor de verdad del otro conjunto. Junto con las condiciones anteriores, esta condición asegura que tambiénpara todo x en [0, 1], que corresponde a considerar el grado de verdad 0 como falsedad total, conjunción con la cual siempre es totalmente falso.
- Continuidad de la función(las condiciones anteriores reducen este requisito a la continuidad en cualquiera de los argumentos). De manera informal, esto expresa la suposición de que los cambios microscópicos de los grados de verdad de las conjunciones no deberían resultar en un cambio macroscópico del grado de verdad de su conjunción. Esta condición, entre otras cosas, asegura un buen comportamiento de la implicación (residual) derivada de la conjunción; para asegurar el buen comportamiento, sin embargo, izquierda -continuidad (en cualquier argumento) de la funciónes suficiente. [1] En general, las lógicas difusas de la norma t, por lo tanto, solo la continuidad a la izquierda dese requiere, que expresa la suposición de que una disminución microscópica del grado de verdad de una conjunción no debería disminuir macroscópicamente el grado de verdad de la conjunción.
Estos supuestos hacen que la función de verdad de la conjunción sea una norma t continua a la izquierda , que explica el nombre de la familia de lógicas difusas ( basada en la norma t ). Las lógicas particulares de la familia pueden hacer suposiciones adicionales sobre el comportamiento de la conjunción (por ejemplo, la lógica de Gödel requiere su idempotencia ) u otras conectivas (por ejemplo, la lógica IMTL requiere la involutividad de la negación).
Todas las t-normas continuas a la izquierda tienen un residuo único , es decir, una función binariatal que para todo x , y y z en [0, 1],
- si y solo si
El residuo de una norma t continua a la izquierda se puede definir explícitamente como
Esto asegura que el residuo sea la función puntual más grande tal que para todo x e y ,
Este último puede interpretarse como una versión borrosa de la regla de inferencia del modus ponens . El residuo de una t-norma continua a la izquierda, por tanto, puede caracterizarse como la función más débil que hace válido el modus ponens difuso, lo que lo convierte en una función de verdad adecuada para su implicación en lógica difusa. La continuidad izquierda de la t-norma es la condición necesaria y suficiente para que se mantenga esta relación entre una conjunción de t-norma y su implicación residual.
Las funciones de verdad de otras conectivas proposicionales se pueden definir por medio de la norma t y su residuo, por ejemplo, la negación residual o equivalencia birresidual Las funciones de verdad de los conectivos proposicionales también pueden introducirse mediante definiciones adicionales: las más habituales son el mínimo (que juega un papel de otro conectivo conjuntivo), el máximo (que juega un papel de un conectivo disyuntivo), o el operador delta de Baaz, definido en [0, 1] como Si y de lo contrario. De esta manera, una t-norma continua a la izquierda, su residuo y las funciones de verdad de conectivos proposicionales adicionales determinan los valores de verdad de fórmulas proposicionales complejas en [0, 1].
Las fórmulas que siempre evalúan a 1 se denominan tautologías con respecto a la norma t continua por la izquierda dada o tautologías. El conjunto de todostautologías se llama la lógica de la t-normaya que estas fórmulas representan las leyes de la lógica difusa (determinadas por la norma t) que se mantienen (hasta el grado 1) independientemente de los grados de verdad de las fórmulas atómicas . Algunas fórmulas son tautologías con respecto a una clase más amplia de normas t continuas a la izquierda; el conjunto de tales fórmulas se llama lógica de la clase. Las lógicas t-norm importantes son las lógicas de t-normas particulares o clases de t-normas, por ejemplo:
- La lógica de Łukasiewicz es la lógica de la norma t de Łukasiewicz
- La lógica de Gödel-Dummett es la lógica de la norma t mínima
- La lógica difusa del producto es la lógica de la norma t del producto
- Lógica de norma t monoidal MTL es la lógica de (la clase de) todas las normas t continuas a la izquierda
- La lógica difusa básica BL es la lógica de (la clase de) todas las t-normas continuas
Resulta que muchas lógicas de t-normas particulares y clases de t-normas son axiomatizables. El teorema de completitud del sistema axiomático con respecto a la semántica de la norma t correspondiente en [0, 1] se denomina entonces completitud estándar de la lógica. Además de la semántica estándar de valores reales en [0, 1], las lógicas son sólidas y completas con respecto a la semántica algebraica general, formada por clases adecuadas de retículas residuales integrales acotadas conmutativas prelineales .
Historia
Algunas lógicas difusas de la norma t en particular se han introducido e investigado mucho antes de que se reconociera a la familia (incluso antes de que surgieran las nociones de lógica difusa o norma t ):
- La lógica de Łukasiewicz (la lógica de la norma t de Łukasiewicz) fue definida originalmente por Jan Łukasiewicz (1920) como una lógica de tres valores ; [2] más tarde se generalizó a n -valuado (para todos los n finitos ) así como a variantes infinitamente múltiples valoradas, tanto proposicionales como de primer orden. [3]
- La lógica de Gödel-Dummett (la lógica de la norma t mínima) estaba implícita en la prueba de Gödel de 1932 del valor infinito de la lógica intuicionista . [4] Más tarde (1959) fue estudiado explícitamente por Dummett quien demostró un teorema de completitud para la lógica. [5]
Un estudio sistemático de las lógicas difusas de la t-norma particular y sus clases comenzó con la monografía Metamathematics of Fuzzy Logic de Hájek (1998) , que presentaba la noción de la lógica de una t-norma continua, la lógica de las tres t-normas continuas básicas. normas (Łukasiewicz, Gödel y producto), y la lógica difusa "básica" BL de todas las t-normas continuas (todas ellas proposicionales y de primer orden). El libro también inició la investigación de lógicas difusas como lógicas no clásicas con cálculos de estilo Hilbert, semántica algebraica y propiedades metamatemáticas conocidas de otras lógicas (teoremas de completitud, teoremas de deducción, complejidad, etc.).
Desde entonces, se ha introducido una plétora de lógicas difusas de la norma t y se han investigado sus propiedades metamatemáticas. Algunas de las lógicas difusas de la norma t más importantes fueron introducidas en 2001 por Esteva y Godo ( MTL , IMTL, SMTL, NM, WNM), [1] Esteva, Godo y Montagna (proposicional ŁΠ), [6] y Cintula (primer orden ŁΠ). [7]
Lenguaje lógico
El vocabulario lógico de la lógica difusa de la norma t proposicional comprende de manera estándar los siguientes conectivos:
- Implicación ( binario ). En el contexto de otras lógicas difusas que no se basan en la norma t, la implicación basada en la norma t a veces se denomina implicación residual o implicación R , ya que su semántica estándar es el residuo de la norma t que realiza una conjunción fuerte.
- Fuerte conjunción (binario). En el contexto de las lógicas subestructurales, el signoy los nombres de grupo , conjunción intensional , multiplicativa o paralela se utilizan a menudo para una conjunción fuerte.
- Conjunción débil (binario), también llamada conjunción reticular (como siempre se realiza mediante la operación reticular de meet en semántica algebraica). En el contexto de las lógicas subestructurales, los nombres de conjunción aditiva , extensional o comparativa se utilizan a veces para la conjunción reticular. En la lógica BL y sus extensiones (aunque no en las lógicas t-norma en general), la conjunción débil es definible en términos de implicación y conjunción fuerte, por
- La presencia de dos conjunciones conectivas es una característica común de las lógicas subestructurales libres de contracciones .
- Fondo ( nulary ); o son signos alternativos comunes y cero un nombre alternativo común para la constante proposicional (ya que las constantes inferior y cero de las lógicas subestructurales coinciden en las lógicas difusas de la norma t). La proposicionrepresenta la falsedad o el absurdo y corresponde al clásico valor de verdad falso .
- Negación ( unario ), a veces llamado negación residual si se consideran otros conectivos de negación, como se define a partir de la implicación residual por la reductio ad absurdum:
- Equivalencia (binario), definido como
- En lógicas t-norm, la definición es equivalente a
- (Débil) disyunción (binario), también llamada disyunción reticular (como siempre se realiza mediante la operación reticular de unión en semántica algebraica). En las lógicas t-norm se puede definir en términos de otras conectivas como
- Cima (nulary), también llamado uno y denotado por o (ya que las constantes top y cero de las lógicas subestructurales coinciden en las lógicas difusas de la norma t). La proposicioncorresponde al valor de verdad clásico verdadero y puede definirse en la lógica t-norma como
Algunas lógicas proposicionales de la t-norma agregan más conectivos proposicionales al lenguaje anterior, más a menudo los siguientes:
- El conectivo delta es un conectivo unario que afirma la verdad clásica de una proposición, ya que las fórmulas de la forma comportarse como en la lógica clásica. También llamado Delta de Baaz , ya que fue utilizado por primera vez por Matthias Baaz para la lógica de Gödel-Dummett . [8] La expansión de una lógica t-norma por el conectivo Delta generalmente se denota por
- Las constantes de verdad son conectivos nulares que representan valores de verdad particulares entre 0 y 1 en la semántica estándar de valores reales. Por el número real, la constante de verdad correspondiente generalmente se denota por Muy a menudo, se suman las constantes de verdad para todos los números racionales. Se supone que el sistema de todas las constantes de verdad en el lenguaje satisface los axiomas contables : [9]
- etc. para todos los conectivos proposicionales y todas las constantes de verdad definibles en el lenguaje.
- Negación involutiva (unario) se puede agregar como una negación adicional a las lógicas t-norma cuya negación residual no es en sí misma involutiva , es decir, si no obedece a la ley de la doble negación. Una lógica de norma t expandido con la negación involutiva generalmente se denota por y llamó con involución .
- Fuerte disyunción (binario). En el contexto de las lógicas subestructurales también se le llama disyunción grupal , intensional , multiplicativa o paralela . Aunque es estándar en las lógicas subestructurales libres de contracciones, en las lógicas difusas de la norma t generalmente se usa solo en presencia de negación involutiva, lo que lo hace definible (y por lo tanto axiomatizable) por la ley de Morgan de la conjunción fuerte:
- Conjunciones de norma t adicionales e implicaciones residuales . Algunas lógicas t-norm expresivamente fuertes, por ejemplo la lógica ŁΠ , tienen más de una conjunción fuerte o implicación residual en su lenguaje. En la semántica estándar de valores reales, todas estas conjunciones fuertes se realizan mediante diferentes t-normas y las implicaciones residuales por sus residuos.
Las fórmulas bien formadas de lógicas proposicionales t-norm se definen a partir de variables proposicionales (generalmente contables muchas) por las conectivas lógicas anteriores, como es habitual en las lógicas proposicionales . Para guardar paréntesis, es común usar el siguiente orden de precedencia:
- Conectivos unarios (se unen más estrechamente)
- Conectivos binarios distintos de la implicación y la equivalencia
- Implicación y equivalencia (se unen más libremente)
Las variantes de primer orden de la lógica de la t-norma emplean el lenguaje lógico habitual de la lógica de primer orden con las conectivas proposicionales anteriores y los siguientes cuantificadores :
- Cuantificador general
- Cuantificador existencial
La variante de primer orden de una lógica de norma t proposicional generalmente se denota por
Semántica
La semántica algebraica se usa predominantemente para lógicas difusas de norma t proposicionales, con tres clases principales de álgebras con respecto a las cuales una lógica difusa de norma testá completo :
- Semántica general , formada por todos-álgebras - es decir, todas las álgebras para las que la lógica es sólida .
- Semántica lineal , formada por todos los lineales -álgebras - es decir, todas -álgebras cuyo orden de celosía es lineal .
- Semántica estándar , formada por todos los estándares -álgebras - es decir, todas -álgebras cuyo reticulado reducto es el intervalo unitario real [0, 1] con el orden habitual. En estándar-álgebras, la interpretación de la conjunción fuerte es una t-norma continua a la izquierda y la interpretación de la mayoría de las conectivas proposicionales está determinada por la t-norma (de ahí los nombres de lógica t basada en la norma y t-norma-álgebras , que también se utiliza para-álgebras en la celosía [0, 1]). Sin embargo, en lógicas de t-norma con conectivos adicionales, la interpretación de valores reales de los conectivos adicionales puede estar restringida por condiciones adicionales para que el álgebra de t-norma se llame estándar: por ejemplo, en estándar-álgebras de la lógica con involución, la interpretación de la negación involutiva adicional se requiere que sea la involución estándar en lugar de otras involuciones que también pueden interpretar sobre la norma t -álgebras. [10] En general, por lo tanto, la definición de álgebras de t-norma estándar tiene que darse explícitamente para lógicas de t-norma con conectivas adicionales.
Bibliografía
- Esteva F. & Godo L., 2001, "Lógica basada en t-norma monoidal: Hacia una lógica de t-normas continuas de izquierda". Conjuntos y sistemas difusos 124 : 271–288.
- Flaminio T. & Marchioni E., 2006, Lógicas basadas en T-norm con una negación involutiva independiente. Conjuntos y sistemas difusos 157 : 3125–3144.
- Gottwald S. & Hájek P., 2005, Lógica difusa matemática basada en normas triangulares. En EP Klement & R. Mesiar (eds.), Aspectos lógicos, algebraicos, analíticos y probabilísticos de las normas triangulares , págs. 275–300. Elsevier, Amsterdam 2005.
- Hájek P., 1998, Metamatemáticas de la lógica difusa . Dordrecht: Kluwer. ISBN 0-7923-5238-6 .
Referencias
- ↑ a b Esteva y Godo (2001)
- ^ Łukasiewicz J., 1920, O logice trojwartosciowej (polaco, En lógica trivalente). Ruch filozoficzny 5 : 170-171.
- ^ Hay, LS, 1963, Axiomatización del cálculo de predicados con valores infinitos. Journal of Symbolic Logic 28 : 77–86.
- ^ Gödel K., 1932, Zum intuitionistischen Aussagenkalkül, Anzeiger Akademie der Wissenschaften Wien 69 : 65–66.
- ^ Dummett M., 1959, Cálculo proposicional con matriz numerable, Journal of Symbolic Logic 27 : 97-106
- ^ Esteva F., Godo L. y Montagna F., 2001, Las lógicas ŁΠ y ŁΠ½: dos sistemas difusos completos que unen Łukasiewicz y la lógica del producto, Archivo de lógica matemática 40 : 39–67.
- ^ Cintula P., 2001, Las lógicas proposicionales y de predicados ŁΠ y ŁΠ½, Conjuntos y sistemas difusos 124 : 289-302.
- ^ Baaz M., 1996, lógica de Gödel con valores infinitos con proyecciones 0-1 y relativizaciones. En P. Hájek (ed.), Gödel'96: Fundamentos lógicos de las matemáticas, la informática y la física , Springer, Lecture Notes in Logic 6 : 23–33
- ^ Hájek (1998)
- ^ Flaminio y Marchioni (2006)