En el tema matemático de la teoría de grupos geométricos , el lema de Švarc-Milnor (a veces también llamado lema de Milnor-Švarc , con ambas variantes también a veces deletreando Švarc como Schwarz) es una declaración que dice que un grupo, equipado con una acción isométrica discreta "agradable" en un espacio métrico , es cuasi-isométrica para.
Este resultado se remonta, en forma diferente, antes de que se introdujera formalmente la noción de cuasi-isometría , al trabajo de Albert S. Schwarz (1955) [1] y John Milnor (1968). [2] Pierre de la Harpe llamó al lema de Švarc-Milnor "la observación fundamental en la teoría de grupos geométricos " [3] debido a su importancia para el sujeto. Ocasionalmente, el nombre "observación fundamental en la teoría de grupos geométricos" se usa ahora para este declaración, en lugar de llamarlo el lema de Švarc-Milnor; ver, por ejemplo, el Teorema 8.2 en el libro de Farb y Margalit. [4]
Declaración precisa
En la bibliografía existen varias variaciones menores del enunciado del lema (consulte la sección Notas a continuación). Aquí seguimos la versión dada en el libro de Bridson y Haefliger (ver la Proposición 8.19 en la p. 140 allí). [5]
Dejar Ser un grupo que actúa por isometrías en un espacio de longitud adecuado. de manera que la acción sea propiamente discontinua y cocompacta .
Entonces el grupo se genera de forma finita y para cada grupo electrógeno finito de y cada punto el mapa orbital
es una cuasi-isometría .
Aquí es la palabra métrica en correspondiente a .
Notas
En muchas fuentes, el lema de Švarc-Milnor se enuncia bajo una suposición ligeramente más restrictiva de que el espacio ser un espacio métrico geodésico (en lugar de un espacio de longitud ), y la mayoría de las aplicaciones se refieren a este contexto.
A veces, una acción isométrica cocompacta correctamente discontinua de un grupo en un espacio métrico geodésico adecuado se llama acción geométrica . [6]
Explicación de los términos
Recuerde que una métrica el espacio es apropiado si cada bola cerrada enes compacto .
Una acción de en es propiamente discontinua si para cada compacto el conjunto
es finito.
La acción de en es cocompacto si el espacio del cociente, equipado con la topología de cociente , es compacto. Bajo los otros supuestos del lema de Švarc-Milnor, la condición de cocompactancia es equivalente a la existencia de una bola cerrada en tal que
Ejemplos de aplicaciones del lema de Švarc-Milnor
Para los ejemplos 1 a 5 a continuación, véanse las págs. 89–90 en el libro de de la Harpe. [3] El ejemplo 6 es el punto de partida de la parte del artículo de Richard Schwartz . [7]
1. Por cada el grupo es cuasi-isométrica para el espacio euclidiano .
2. Si es una superficie orientada conectada cerrada de característica de Euler negativa , entonces el grupo fundamental es cuasi-isométrico al plano hiperbólico .
3. Si es un colector liso conectado cerrado con una métrica suave de Riemann luego es cuasi-isométrico para , dónde es la portada universal de, dónde es el retroceso de a , y donde es la métrica de la ruta en definido por la métrica de Riemann .
4. Si es un grupo de Lie conectado de dimensión finita equipado con una métrica Riemanniana invariante a la izquierda y la métrica de trayectoria correspondiente, y sies una celosía uniforme entonces es cuasi-isométrico para .
5. Si es un 3-múltiple hiperbólico cerrado, entonces es cuasi-isométrico para .
6. Si es un 3-múltiple hiperbólico de volumen finito completo con cúspides, entonces es cuasi-isométrico para , dónde es cierto -colección invariable de horoballs , y donde está equipado con la métrica de trayectoria inducida.
Referencias
- ^ AS Švarc, Un volumen invariante de revestimientos (en ruso) , Doklady Akademii Nauk SSSR , vol. 105, 1955, págs. 32–34.
- ^ J. Milnor, Una nota sobre curvatura y grupo fundamental , Journal of Differential Geometry , vol. 2, 1968, págs. 1-7
- ^ a b Pierre de la Harpe,Temas de teoría de grupos geométricos . Conferencias de Chicago en Matemáticas. University of Chicago Press, Chicago, IL, 2000. ISBN 0-226-31719-6 ; pag. 87
- ^ Benson Farb y Dan Margalit, Introducción a la cartografía de grupos de clases . Princeton Mathematical Series, 49. Princeton University Press, Princeton, Nueva Jersey, 2012. ISBN 978-0-691-14794-9 ; pag. 224
- ^ MR Bridson y A. Haefliger, Espacios métricos de curvatura no positiva . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Principios fundamentales de las ciencias matemáticas], vol. 319. Springer-Verlag, Berlín, 1999. ISBN 3-540-64324-9
- ^ I. Kapovich y N. Benakli, Límites de grupos hiperbólicos . Teoría de grupos combinatoria y geométrica (Nueva York, 2000 / Hoboken, Nueva Jersey, 2001), págs. 39–93, Contemp. Math., 296, American Mathematical Society, Providence, RI, 2002, ISBN 0-8218-2822-3 ; Convenio 2.22 en la p. 46
- ^ Richard Schwartz , La clasificación de cuasi-isometría de celosías de rango uno , Publicaciones Mathématiques de l'Institut des Hautes Études Scientifiques, vol. 82, 1995, págs. 133–168