En la teoría de grupos , una métrica de palabras en un grupo discreto es una forma de medir la distancia entre dos elementos de . Como sugiere el nombre, la palabra métrica es una métrica de, asignando a dos elementos cualesquiera , de una distancia que mide la eficiencia de su diferencia se puede expresar como una palabra cuyas letras provienen de un grupo electrógeno . La palabra métrica en G está muy estrechamente relacionado con el gráfico de Cayley de G : la palabra medidas métricas la longitud del camino más corto en el gráfico de Cayley entre dos elementos de G .
Un grupo electrógeno para primero debe elegirse antes de una métrica de palabra en está especificado. Las diferentes elecciones de un grupo electrógeno producirán típicamente diferentes métricas de palabras. Si bien esto parece al principio ser una debilidad en el concepto de la palabra métrica, se puede aprovechar para probar teoremas sobre las propiedades geométricas de los grupos, como se hace en la teoría de grupos geométricos .
Ejemplos de
El grupo de enteros Z
El grupo de enteros Z es generado por el conjunto {-1, + 1}. El número entero -3 se puede expresar como -1-1-1 + 1-1, una palabra de longitud 5 en estos generadores. Pero la palabra que expresa -3 más eficiente es -1-1-1, una palabra de longitud 3. La distancia entre 0 y -3 en la palabra métrica es por lo tanto igual a 3. Más en general, la distancia entre dos números enteros m y n en la palabra métrica es igual a | m - n |, porque la palabra más corta que representa la diferencia m - n tiene una longitud igual a | m - n |.
El grupo
Para un ejemplo más ilustrativo, los elementos del grupo se puede pensar en vectores en el plano cartesiano con coeficientes enteros. El grupo es generado por los vectores unitarios estándar , y sus inversas , . El gráfico de Cayley dees la llamada geometría del taxi . Se puede representar en el plano como una cuadrícula infinita de calles de la ciudad, donde cada línea horizontal y vertical con coordenadas enteras es una calle, y cada punto dese encuentra en la intersección de una calle horizontal y una vertical. Cada segmento horizontal entre dos vértices representa el vector generador o , dependiendo de si el segmento se recorre hacia adelante o hacia atrás, y cada segmento vertical representa o . Un coche partiendo de y viajando por las calles para Puede realizar el viaje por muchas rutas diferentes. Pero no importa qué ruta se tome, el automóvil debe viajar al menos | 1 - (-2) | = 3 bloques horizontales y al menos | 2 - 4 | = 2 bloques verticales, para una distancia total de viaje de al menos 3 + 2 = 5. Si el automóvil se sale de su camino, el viaje puede ser más largo, pero la distancia mínima recorrida por el automóvil, igual en valor a la palabra métrica entre y es por tanto igual a 5.
En general, dados dos elementos y de , la distancia entre y en la palabra métrica es igual a .
Definición
Deje que G sea un grupo, deja que S sea un grupo electrógeno para G , y supongamos que S es cerrado bajo la operación inversa en G . Una palabra sobre el conjunto S es solo una secuencia finita cuyas entradas son elementos de S . El entero L se llama la longitud de la palabra. Usando la operación de grupo en G , las entradas de una palabrase pueden multiplicar en orden, recordando que las entradas son elementos de G . El resultado de esta multiplicación es un elementoen el grupo G , que se denomina evaluación de la palabra w . Como caso especial, la palabra vacíatiene longitud cero, y su evaluación es el elemento identidad de G .
Dado un elemento g de G , su palabra norma | g | con respecto al grupo electrógeno, S se define como la longitud más corta de una palabrasobre S cuya evaluaciónes igual a g . Dados dos elementos g , h en G , la distancia d (g, h) en la palabra métrica con respecto a S se define como. De manera equivalente, d ( g , h ) es la longitud más corta de una palabra w sobre S tal que.
La palabra métrica en G satisface los axiomas de una métrica , y no es difícil demostrarlo. La prueba del axioma de simetría d ( g , h ) = d ( h , g ) para una métrica utiliza el supuesto de que el grupo electrógeno S está cerrado en inversa.
Variaciones
La palabra métrica tiene una definición equivalente formulado en términos más geométricas utilizando el gráfico de Cayley de G con respecto al conjunto de generación de S . Cuando a cada borde del gráfico de Cayley se le asigna una métrica de longitud 1, la distancia entre dos elementos del grupo g , h en G es igual a la longitud más corta de un camino en el gráfico de Cayley desde el vértice g al vértice h .
La palabra métrica en G también se puede definir sin asumir que el grupo electrógeno S está cerrado en inversa. Para hacer esto, primero simetrice S , reemplazándolo por un grupo electrógeno más grande que consta de cadaen S así como su inverso. A continuación, defina la palabra métrica con respecto a S ser la palabra métrica con respecto a la simetrización de S .
Ejemplo en un grupo libre
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/d/d2/Cayley_graph_of_F2.svg/220px-Cayley_graph_of_F2.svg.png)
Suponga que F es el grupo libre en el conjunto de dos elementos. Una palabra w en el grupo electrógeno simétrico se dice que se reduce si las letras no aparecen una al lado de la otra en w , ni las letras. Cada elementoestá representado por una palabra reducida única, y esta palabra reducida es la palabra más corta que representa g . Por ejemplo, dado que la palabra se reduce y tiene longitud 2, la palabra norma de es igual a 2, por lo que la distancia en la palabra norma entre y es igual a 2. Esto puede ser visualizado en términos de la gráfica Cayley, en el que el camino más corto entre b y una tiene longitud 2.
Teoremas
Isometría de la acción izquierda
El grupo G actúa sobre sí mismo por multiplicación por la izquierda: la acción de cada toma cada uno a . Esta acción es una isometría de la palabra métrica. La prueba es simple: la distancia entre y es igual a , que es igual a la distancia entre y .
Invariantes de Bilipschitz de un grupo
La palabra métrica en un grupo G no es única, porque diferentes conjuntos generadores simétricos dan diferentes métricas de palabras. Sin embargo, las métricas de palabras generadas finitamente son únicas hasta la equivalencia bilipschitz : si, son dos conjuntos generadores simétricos y finitos para G con métricas de palabras correspondientes, , entonces hay una constante tal que para cualquier ,
- .
Esta constante K es solo el máximo de la normas de palabras de elementos de y el normas de palabras de elementos de . Esta prueba también es fácil: cualquier palabra sobre S se puede convertir por sustitución en una palabra de más de T , la expansión de la longitud de la palabra por un factor de a lo sumo K , y de manera similar para la conversión de palabras una T en palabras más de S .
La equivalencia bilipschitz de métricas de palabras implica a su vez que la tasa de crecimiento de un grupo generado finitamente es un invariante de isomorfismo bien definido del grupo, independiente de la elección de un conjunto generador finito. Esto implica a su vez que varias propiedades del crecimiento, como el crecimiento polinomial, el grado de crecimiento polinomial y el crecimiento exponencial, son invariantes de isomorfismo de grupos. Este tema se analiza con más detalle en el artículo sobre la tasa de crecimiento de un grupo.
Invariantes de cuasi-isometría de un grupo
En la teoría de grupos geométricos , los grupos se estudian por sus acciones en espacios métricos. Un principio que generaliza la invariancia de la métrica bilipschitz palabra dice que cualquier palabra finito generado métrica en G es cuasi-isométrica a cualquier adecuada , espacio métrico geodésica en la que G actúa , debidamente discontinua y cocompactly . Espacios métricas en la que G actúa de esta manera se denominan espacios modelo para G .
De ello se desprende, a su vez que cualquier propiedad cuasi-isométrica invariante satisfecho por la palabra métrica de G o por cualquier espacio modelo de G es un invariante isomorfismo de G . La teoría moderna de grupos geométricos es en gran parte el estudio de invariantes de cuasi-isometría.
Ver también
Referencias
- JW Cannon, Teoría de grupos geométricos , en Handbook of geometric topology pages 261-305, North-Holland, Amsterdam, 2002, ISBN 0-444-82432-4