En la teoría de conjuntos , la lógica Ω es una lógica infinita y un sistema deductivo propuesto por W. Hugh Woodin ( 1999 ) como parte de un intento de generalizar la teoría de la determinación de las clases puntuales para cubrir la estructura. . Así como el axioma de la determinación proyectiva produce una teoría canónica de, buscó encontrar axiomas que dieran una teoría canónica para la estructura más amplia. La teoría que desarrolló implica un controvertido argumento de que la hipótesis del continuo es falsa.
Análisis
La conjetura Ω de Woodin afirma que si hay una clase adecuada de cardenales de Woodin (por razones técnicas, la mayoría de los resultados en la teoría se enuncian más fácilmente bajo esta suposición), entonces la lógica Ω satisface un análogo del teorema de completitud . A partir de esta conjetura, se puede demostrar que, si hay un solo axioma que sea comprensivo sobre (en Ω-lógica), debe implicar que el continuo no es . Woodin también aisló un axioma específico, una variación del máximo de Martin , que establece que cualquier Ω consistente (encima ) la oración es verdadera; este axioma implica que el continuo es.
Woodin también relacionó su conjetura Ω con una definición abstracta propuesta de grandes cardenales: tomó una "propiedad cardinal grande" como una propiedad de ordinales, lo que implica que α es un fuerte inaccesible , y que es invariante bajo el forzamiento por conjuntos de cardinales menores que α. Entonces, la conjetura Ω implica que si hay modelos arbitrariamente grandes que contienen un cardinal grande, este hecho será demostrable en lógica Ω.
La teoría implica una definición de validez Ω : un enunciado es una consecuencia válida de Ω de una teoría de conjuntos T si se cumple en todos los modelos de T que tienen la forma para algunos ordinales y alguna noción forzada . Esta noción se conserva claramente bajo forzamiento, y en presencia de una clase adecuada de cardenales de Woodin también será invariante bajo forzamiento (en otras palabras, la satisfacibilidad Ω también se conserva bajo forzamiento). También existe una noción de probabilidad Ω ; [1] aquí las "pruebas" consisten en conjuntos de Baire universalmente y se verifican verificando que para cada modelo transitivo contable de la teoría, y cada noción forzada en el modelo, la extensión genérica del modelo (calculada en V ) contiene la "prueba", restringido a sus propios reales. Para un conjunto de pruebas A, la condición que se debe verificar aquí se llama " A -cerrado". Se puede dar una medida de complejidad en las pruebas por sus rangos en la jerarquía de Wadge . Woodin demostró que esta noción de "demostrabilidad" implica validez Ω para oraciones que sonsobre V . La conjetura Ω establece que el inverso de este resultado también es válido. En todos los modelos centrales actualmente conocidos , se sabe que es cierto; además, la fuerza de consistencia de los grandes cardenales corresponde al menor rango de prueba requerido para "probar" la existencia de los cardenales.
Notas
- ^ Bhatia, Rajendra, ed. (2010), Actas del Congreso Internacional de Matemáticos: Hyderabad, 2010 , 1 , World Scientific, p. 519
Referencias
- Bagaria, Joan; Castells, Neus; Larson, Paul (2006), "An Ω-logic primer", Teoría de conjuntos (PDF) , Trends Math., Basel, Boston, Berlín: Birkhäuser, págs. 1–28, doi : 10.1007 / 3-7643-7692-9_1 , ISBN 978-3-7643-7691-8, MR 2267144
- Koellner, Peter (2013), "The Continuum Hypothesis" , La Enciclopedia de Filosofía de Stanford, Edward N. Zalta (ed.)
- Woodin, W. Hugh (1999), El axioma de la determinación, forzar axiomas y el ideal no estacionario , Walter de Gruyter, doi : 10.1515 / 9783110804737 , ISBN 3-11-015708-X, Señor 1713438
- Woodin, W. Hugh (2001), "La hipótesis del continuo. I" (PDF) , Notices of the American Mathematical Society , 48 (6): 567–576, ISSN 0002-9920 , MR 1834351
- Woodin, W. Hugh (2001b), "The Continuum Hypothesis, Part II" (PDF) , Avisos de la AMS , 48 (7): 681–690
- Woodin, W. Hugh (2005), "La hipótesis del continuo", en Cori, Rene; Razborov, Alexander ; Todorčević, Stevo ; et al. (eds.), Coloquio de lógica 2000 , Lect. Notes Log., 19 , Urbana, IL: Assoc. Símbolo. Lógica, págs. 143-197, MR 2143878
enlaces externos
- WH Woodin, Diapositivas para 3 charlas