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En la teoría cuántica de campos y la mecánica estadística , la expansión 1 / N (también conocida como la expansión " gran N " ) es un análisis perturbativo particular de las teorías cuánticas de campos con un grupo de simetría interna como SO (N) o SU (N) . Consiste en derivar una expansión de las propiedades de la teoría en potencias de , que se trata como un pequeño parámetro.
Esta técnica se utiliza en QCD (aunquehay solo 3) con el grupo de manómetros SU (3). Otra aplicación de la física de partículas es el estudio de las dualidades AdS / CFT .
También se utiliza ampliamente en la física de la materia condensada, donde se puede utilizar para proporcionar una base rigurosa para la teoría del campo medio .
Ejemplo
Comenzando con un ejemplo simple - el O (N) φ 4 - el campo escalar φ toma valores en la representación del vector real de O (N). Usando la notación de índice para los N " sabores " con la convención de suma de Einstein y debido a que O (N) es ortogonal, no se hará ninguna distinción entre índices covariantes y contravariantes. La densidad lagrangiana está dada por
dónde va de 1 a N. Tenga en cuenta que N se ha absorbido en la fuerza de acoplamiento λ. Esto es crucial aquí.
Introduciendo un campo auxiliar F;
En los diagramas de Feynman , el gráfico se divide en ciclos separados , cada uno formado por bordes del mismo tipo y los ciclos están conectados por bordes F (que no tienen una línea de propagación ya que los campos auxiliares no se propagan).
Cada vértice de 4 puntos aporta λ / N y, por tanto, 1 / N. Cada ciclo de sabor aporta N porque hay N tales sabores para sumar. Tenga en cuenta que no todos los ciclos de flujo de impulso son ciclos de sabor.
Al menos perturbativamente, la contribución dominante a la función de correlación conectada de 2k puntos es del orden (1 / N) k-1 y los otros términos son potencias superiores de 1 / N. La realización de una expansión 1 / N se vuelve cada vez más precisa en el límite de N grande. La densidad de energía del vacío es proporcional a N, pero puede ignorarse debido al incumplimiento de los supuestos de la relatividad general . [ aclaración necesaria ]
Debido a esta estructura, se puede utilizar una notación gráfica diferente para denotar los diagramas de Feynman . Cada ciclo de sabor se puede representar mediante un vértice. Las rutas de sabor que conectan dos vértices externos están representadas por un solo vértice. Los dos vértices externos a lo largo de la misma ruta de sabor están emparejados de forma natural y se pueden reemplazar por un solo vértice y un borde (no un borde F) que lo conecta a la ruta de sabor. Los bordes F son bordes que conectan dos ciclos / rutas de sabor entre sí (o un ciclo / ruta de sabor consigo mismo). Las interacciones a lo largo de un ciclo / ruta de sabor tienen un orden cíclico definido y representan un tipo especial de gráfico donde el orden de los bordes incidentes a un vértice importa, pero solo hasta una permutación cíclica, y dado que esta es una teoría de escalares reales, también una inversión de orden (pero si tenemos SU (N) en lugar de SU (2), las inversiones de orden no son válidas). A cada borde F se le asigna un impulso (la transferencia de impulso) y hay una integral de impulso interna asociada con cada ciclo de sabor.
QCD
QCD es una teoría de gauge SU (3) que involucra gluones y quarks . Los quarks zurdos pertenecen a una representación triplete , los diestros a una representación antitriplet (después de conjugarlos con carga) y los gluones a una representación adjunta real . A un borde de quark se le asigna un color y una orientación y a un borde de gluón se le asigna un par de colores.
En el límite de N grande, solo consideramos el término dominante. Consulte AdS / CFT .
Referencias
- G. 't Hooft (1974). "Una teoría de diagrama plano para interacciones fuertes" . Física B nuclear . 72 (3): 461. Código Bibliográfico : 1974NuPhB..72..461T . doi : 10.1016 / 0550-3213 (74) 90154-0 . Archivado desde el original el 11 de octubre de 2006.