142857 , los seis dígitos repetidos de1/7(0. 142857 ), es el número cíclico más conocido en base 10. [1] [2] [3] [4] Si se multiplica por 2, 3, 4, 5 o 6, la respuesta será un permutación cíclica de sí mismo, y corresponderá a los dígitos repetidos de 2/7, 3/7, 4/7, 5/7, o 6/7 respectivamente.
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Cardenal | ciento cuarenta y dos mil ochocientos cincuenta y siete |
Ordinal | 142857th (ciento cuarenta y dos mil ochocientos cincuenta y siete) |
Factorización | 3 3 × 11 × 13 × 37 |
Divisores | 1, 3, 9, 11, 13, 27, 33, 37, 39, 99, 111, 117, 143, 297, 333, 351, 407, 429, 481, 999, 1221, 1287, 1443, 3663, 3861, 4329, 5291, 10989, 12987, 15873, 47619, 142857 |
Numeral griego | ͵βωνζ´ |
Números romanos | CXL MMDCCCLVII |
Binario | 100010111000001001 2 |
Ternario | 21020222000 3 |
Octal | 427011 8 |
Duodecimal | 6A809 12 |
Hexadecimal | 22E09 16 |
142.857 es un número Kaprekar [5] y un número Harshad (en base 10). [6]
Cálculo
- 1 × 142.857 = 142.857
- 2 × 142.857 = 285.714.
- 3 × 142.857 = 428.571.
- 4 × 142.857 = 571.428.
- 5 × 142.857 = 714.285.
- 6 × 142.857 = 857.142.
- 7 × 142.857 = 999.999.
Si se multiplica por un número entero mayor que 7, hay un proceso simple para llegar a una permutación cíclica de 142857. Al agregar los seis dígitos más a la derecha (de uno a cien mil) a los dígitos restantes y repetir este proceso hasta que solo queden seis dígitos, resultará en una permutación cíclica de 142857: [ cita requerida ]
- 142857 × 8 = 1142856
- 1 + 142856 = 142857
- 142857 × 815 = 116428455.
- 116 + 428455 = 428571
- 142857 2 = 142857 × 142857 = 20408122449
- 20408 + 122449 = 142857
Multiplicar por un múltiplo de 7 dará como resultado 999999 a través de este proceso:
- 142857 × 7 4 = 342999657.
- 342 + 999657 = 999999
Si eleva al cuadrado los últimos tres dígitos y resta el cuadrado de los primeros tres dígitos, también obtiene una permutación cíclica del número. [ cita requerida ]
- 857 2 = 734449
- 142 2 = 20164
- 734449-20164 = 714285
Es la parte repetida en la expansión decimal del número racional.1/7= 0, 142857 . Así, múltiplos de 1/7 son simplemente copias repetidas de los múltiplos correspondientes de 142857:
- 1/7= 0. 142857
- 2/7= 0. 285714
- 3/7= 0. 428571
- 4/7= 0. 571428
- 5/7= 0. 714285
- 6/7= 0. 857142
- 7/7= 0. 999999 = 1
- 8/7= 1. 142857
- 9/7= 1. 285714
- ...
1/7 como una suma infinita
Hay un patrón interesante de duplicación, cambio y adición que da 1/7.
Cada término es el doble del término anterior desplazado dos lugares a la derecha. Esto se puede demostrar aplicando la identidad para la suma de una secuencia geométrica :
Otra suma infinita es
Otras bases
En algunas otras bases, existen números de seis dígitos con propiedades similares, dadas por base 6 - 1/7. [ cita requerida ] Por ejemplo, en la base 12 es 186A35 y la base 24 3A6KDH.
Conexión con el eneagrama
La secuencia numérica 142857 se utiliza en la figura del eneagrama , un símbolo del Trabajo de Gurdjieff utilizado para explicar y visualizar la dinámica de la interacción entre las dos grandes leyes del Universo (según GI Gurdjieff ), la Ley de Tres y la Ley de Siete. El movimiento de los números 142857 dividido por 1/7, 2/7. etc., y el movimiento subsiguiente del eneagrama, se describen en las danzas sagradas de Gurdjieff conocidas como movimientos. [7]
Otras propiedades
La secuencia numérica 142857 también se encuentra en varios decimales en los que el denominador tiene un factor de 7. En los ejemplos siguientes, los numeradores son todos 1, sin embargo, hay casos en los que no es necesario, como 2/7(0, 285714 ).
Por ejemplo, considere las fracciones y los valores decimales equivalentes que se enumeran a continuación:
1/7= 0, 142857 ...
1/14= 0,0 714285 ...
1/28= 0,03 571428 ...
1/35= 0,0 285714 ...
1/56= 0,0157 857142 ...
1/70= 0,0 142857 ...
Los decimales anteriores siguen la secuencia de rotación 142857. Hay fracciones en las que el denominador tiene un factor de 7, como 1/21 y 1/42, que no siguen esta secuencia y tienen otros valores en sus dígitos decimales.
Referencias
- ^ "Número cíclico" . La Enciclopedia de Ciencias de Internet . Archivado desde el original el 29 de septiembre de 2007.
- ^ Ecker, Michael W. (marzo de 1983). "La fascinante tradición de los números cíclicos". El diario universitario de matemáticas de dos años . 14 (2): 105–109. doi : 10.2307 / 3026586 . JSTOR 3026586 .
- ^ "Número cíclico" . PlanetMath . Archivado desde el original el 14 de julio de 2007.
- ^ Hogan, Kathryn (agosto de 2005). "Vaya figura (números cíclicos)" . Médico australiano . Archivado desde el original el 24 de diciembre de 2007.
- ^ "A006886 de Sloane: números de Kaprekar" . La enciclopedia en línea de secuencias de enteros . Fundación OEIS . Consultado el 3 de junio de 2016 .
- ^ Dan Goldstein (10 de julio de 2013). "Números que vale la pena conocer: 142857" . Noticias de ciencia de decisiones . Consultado el 30 de enero de 2021 .
- ^ Ouspensky, PD (1947). "Capítulo XVIII". En busca de lo milagroso: fragmentos de una enseñanza desconocida . Londres: Routledge.
- Leslie, John (1820). La filosofía de la aritmética: exhibiendo una visión progresiva de la teoría y práctica de… . Longman, Hurst, Rees, Orme y Brown. ISBN 1-4020-1546-1.
- Wells, D. (1997). The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers (edición revisada). Londres: Penguin Group. págs. 171-175. ISBN 978-0-140-26149-3.