En matemáticas , un número natural en una base numérica dada es un
- Número de Kaprekar si la representación de su cuadrado en esa base se puede dividir en dos partes, donde la segunda parte tiene
dígitos, que se suman al número original. Los números llevan el nombre de DR Kaprekar .
Dejar
ser un número natural. Definimos la función Kaprekar para base
y poder
ser el siguiente:
,
dónde
y
![{\displaystyle \alpha ={\frac {n^{2}-\beta }{b^{p}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Un numero natural
es un
- Número de Kaprekar si es un punto fijo para
, que ocurre si
.
y
son números de Kaprekar triviales para todos
y
, todos los demás números de Kaprekar son números de Kaprekar no triviales .
Por ejemplo, en base 10 , 45 es un número 2-Kaprekar, porque
![{\displaystyle \beta =n^{2}{\bmod {b}}^{p}=45^{2}{\bmod {1}}0^{2}=25}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \alpha ={\frac {n^{2}-\beta }{b^{p}}}={\frac {45^{2}-25}{10^{2}}}=20}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle F_{2,10}(45)=\alpha +\beta =20+25=45}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Un numero natural
es un número de Kaprekar sociable si es un punto periódico para
, dónde
para un entero positivo
(dónde
es el
la iteración de
), y forma un ciclo de período
. Un número Kaprekar es un número Kaprekar sociable con
, y un número Kaprekar amistoso es un número Kaprekar sociable con
.
El número de iteraciones
necesitado para
alcanzar un punto fijo es la persistencia de la función Kaprekar de
e indefinido si nunca llega a un punto fijo.
Sólo hay un número finito de
-Números y ciclos de Kaprekar para una base determinada
, porque si
, dónde
luego
y
,
, y
. Sólo cuando
¿Existen los números y ciclos de Kaprekar?
Si
es cualquier divisor de
, luego
también es un
-Número de Kaprekar para la base
.
En base
, todos los números incluso perfectos son números de Kaprekar. De manera más general, cualquier número de la forma
o
para número natural
son los números de Kaprekar en base 2 .
Definición teórica de conjuntos y divisores unitarios
Podemos definir el conjunto
para un entero dado
como el conjunto de enteros
para los cuales existen números naturales
y
satisfaciendo la ecuación diofántica [1]
, dónde ![{\displaystyle 0\leq B<N}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle X=A+B}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Un
-Número de Kaprekar para la base
es entonces uno que se encuentra en el conjunto
.
Se demostró en 2000 [1] que existe una biyección entre los divisores unitarios de
y el set
definido anteriormente. Dejar
denotar el inverso multiplicativo de
modulo
, es decir, el entero menos positivo
tal que
, y para cada divisor unitario
de
dejar
y
. Entonces la función
es una biyección del conjunto de divisores unitarios de
en el set
. En particular, un número
está en el set
si y solo si
por algun divisor unitario
de
.
Los números en
ocurren en pares complementarios,
y
. Si
es un divisor unitario de
entonces asi es
, y si
luego
.
b = 4 k + 3 y p = 2 n + 1
Dejar
y
ser números naturales, la base numérica
, y
. Luego:
es un número Kaprekar.
Prueba -
Dejar
Luego,
Los dos numeros
y
están
![{\displaystyle \beta =X_{1}^{2}{\bmod {b}}^{p}=k+1+\sum _{i=1}^{n}(kb+(3k+2))b^{2i-1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \alpha ={\frac {X_{1}^{2}-\beta }{b^{p}}}=k+\sum _{i=1}^{n}(kb+(3k+2))b^{2i-1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
y su suma es
Por lo tanto,
es un número Kaprekar.
es un número Kaprekar para todos los números naturales
.
Prueba -
Dejar
Luego,
Los dos numeros
y
están
![{\displaystyle \beta =X_{2}^{2}{\bmod {b}}^{p}=k+1+\sum _{i=1}^{n}(kb+(3k+2))b^{2i-1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \alpha ={\frac {X_{2}^{2}-\beta }{b^{p}}}=k+1+\sum _{i=1}^{n}(kb+(3k+2))b^{2i-1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
y su suma es
Por lo tanto,
es un número Kaprekar.
b = m 2 k + m + 1 y p = mn + 1
Dejar
,
, y
ser números naturales, la base numérica
y el poder
. Luego:
es un número Kaprekar.
es un número Kaprekar.
b = m 2 k + m + 1 y p = mn + m - 1
Dejar
,
, y
ser números naturales, la base numérica
y el poder
. Luego:
es un número Kaprekar.
es un número Kaprekar.
b = m 2 k + m 2 - m + 1 y p = mn + 1
Dejar
,
, y
ser números naturales, la base numérica
y el poder
. Luego:
es un número Kaprekar.
es un número Kaprekar.
b = m 2 k + m 2 - m + 1 y p = mn + m - 1
Dejar
,
, y
ser números naturales, la base numérica
y el poder
. Luego:
es un número Kaprekar.
es un número Kaprekar.
El siguiente ejemplo implementa la función Kaprekar descrita en la definición anterior para buscar números y ciclos de Kaprekar en Python .
def kaprekarf ( x : int , p : int , b : int ) -> int : beta = pow ( x , 2 ) % pow ( b , p ) alpha = ( pow ( x , 2 ) - beta ) // pow ( b , p ) y = alpha + beta return ydef kaprekarf_cycle ( x : int , p : int , b : int ) -> Lista [ int ]: visto = [] mientras que x < pow ( b , p ) y x no en visto : visto . añadir ( x ) x = kaprekarf ( x , p , b ) si x > pow ( b , p ): return [] ciclo = [] mientras que x no está en ciclo : ciclo . append ( x ) x = kaprekarf ( x , p , b ) ciclo de retorno