Panal de 24 celdas | |
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![]() Una primera capa de 24 celdas de sus 4 caras adyacentes. | |
Tipo | Regular 4 panal Uniforme 4 panal |
Símbolo de Schläfli | {3,4,3,3} r {3,3,4,3} 2r {4,3,3,4} 2r {4,3,3 1,1 } {3 1,1,1,1 } |
Diagramas de Coxeter-Dynkin | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Tipo de 4 caras | {3,4,3} ![]() |
Tipo de célula | {3,4} ![]() |
Tipo de cara | {3} |
Figura de borde | {3,3} |
Figura de vértice | {4,3,3} |
Doble | {3,3,4,3} |
Grupos de Coxeter | , [3,4,3,3] , [4,3,3,4] , [4,3,3 1,1 ] , [3 1,1,1,1 ] |
Propiedades | regular |
En la geometría euclidiana de cuatro dimensiones , el panal de abejas de 24 celdas , o panal de abejas icositetrachoric, es una teselación de relleno de espacio regular (o panal ) del espacio euclidiano de 4 dimensiones por 24 celdas regulares . Puede representarse con el símbolo de Schläfli {3,4,3,3}.
La teselación dual del panal de abeja regular de 16 celdas tiene el símbolo de Schläfli {3,3,4,3}. Junto con el panal de abejas teseractic (o panal de abejas de 4 cúbicos), estos son los únicos teselados regulares de 4 espacios euclidianos.
Coordenadas
El panal de 24 celdas se puede construir como el mosaico Voronoi de la celosía de la raíz D 4 o F 4 . Cada 24 celdas se centra entonces en un punto de celosía D 4 , es decir, uno de
Estos puntos también se pueden describir como cuaterniones de Hurwitz con norma incluso cuadrada.
Los vértices del panal se encuentran en los orificios profundos de la celosía D 4 . Estos son los cuaterniones de Hurwitz con norma cuadrada impar.
Puede construirse como un panal de abejas teseractic birectificado , tomando un panal de abejas teseractic y colocando vértices en el centro de todas las caras cuadradas. Las facetas de 24 celdas existen entre estos vértices como 16 celdas rectificadas . Si las coordenadas del panal teseractic son números enteros (i, j, k, l), los vértices del panal tesseractic birectificados se pueden colocar en todas las permutaciones de cambios de media unidad en dos de las cuatro dimensiones, así: (i + ½, j + ½, k, l), (i + ½, j, k + ½, l), (i + ½, j, k, l + ½), (i, j + ½, k + ½, l), (i, j + ½, k, l + ½), (i, j, k + ½, l + ½).
Configuración
Cada 24 celdas en el panal de 24 celdas tiene 24 celdas vecinas. Con cada vecino comparte exactamente una celda octaédrica.
Tiene 24 vecinos más de modo que con cada uno de ellos comparte un solo vértice.
No tiene vecinos con los que comparta solo un borde o solo una cara.
La figura del vértice del panal de 24 celdas es un tesseract (cubo de 4 dimensiones). Así que hay 16 aristas, 32 triángulos, 24 octaedros y 8 24 celdas que se encuentran en cada vértice. La figura del borde es un tetraedro , por lo que hay 4 triángulos, 6 octaedros y 4 celdas de 24 que rodean cada borde. Finalmente, la figura de la cara es un triángulo, por lo que hay 3 octaedros y 3 de 24 celdas que se encuentran en cada cara.
Secciones cruzadas
Una forma de visualizar una figura de 4 dimensiones es considerar varias secciones transversales de 3 dimensiones . Es decir, la intersección de varios hiperplanos con la figura en cuestión. La aplicación de esta técnica al panal de 24 celdas da lugar a varios panales tridimensionales con distintos grados de regularidad.
Secciones de vértice primero | |
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![]() | ![]() |
Panal rombododecaédrico | Panal cúbico |
Secciones de celda primero | |
![]() | ![]() |
Nido de abeja cúbico rectificado | Panal cúbico bitruncado |
Una sección transversal de vértice primero utiliza algún hiperplano ortogonal a una línea que une los vértices opuestos de una de las 24 celdas. Por ejemplo, se podría tomar cualquiera de los hiperplanos de coordenadas en el sistema de coordenadas dado anteriormente (es decir, los planos determinados por x i = 0). La sección transversal de {3, 4, 3, 3} por uno de estos hiperplanos da un panal rombododecaédrico . Cada uno de los dodecaedros rómbicos corresponde a una sección transversal máxima de una de las 24 celdas que cruzan el hiperplano (el centro de cada una de estas 24 celdas (4-dimensionales) se encuentra en el hiperplano). En consecuencia, el panal rombododecaédrico es la teselación de Voronoi de la celosía de la raíz D 3 (una celosía cúbica centrada en las caras ). El desplazamiento de este hiperplano a la mitad de uno de los vértices (por ejemplo, x i = ½) da lugar a un panal cúbico regular . En este caso, el centro de cada 24 celdas se encuentra fuera del hiperplano. Cambiando de nuevo, por lo que el hiperplano se cruza con el vértice, da otro panal rombododecaédrico pero con nuevas 24 celdas (las anteriores se han reducido a puntos). En general, para cualquier número entero n , la sección transversal a través de x i = n es un panal de abejas rombododecaédrico, y la sección transversal a través de x i = n + ½ es un panal de abejas cúbico. A medida que el hiperplano se mueve a través del espacio 4, la sección transversal se transforma entre los dos periódicamente.
Una sección transversal de celda primero usa un hiperplano paralelo a una de las celdas octaédricas de una celda de 24 celdas. Considere, por ejemplo, algún hiperplano ortogonal al vector (1,1,0,0). La sección transversal de {3,4,3,3} por este hiperplano es un panal cúbico rectificado . Cada cuboctaedro en este panal es una sección transversal máxima de una celda de 24 cuyo centro se encuentra en el plano. Mientras tanto, cada octaedro es una celda límite de una celda (de 4 dimensiones) de 24 celdas cuyo centro se encuentra fuera del plano. Cambiando este hiperplano hasta que se encuentra a medio camino entre el centro de una celda de 24 y el límite, se obtiene un panal cúbico bitruncado . Los cuboctaedros se han encogido y los octaedros han crecido hasta que ambos son octaedros truncados . Cambiando de nuevo, por lo que el hiperplano se cruza con el límite de las 24 celdas centrales da un panal de abejas cúbico rectificado nuevamente, el cuboctaedro y el octaedro han intercambiado posiciones. A medida que el hiperplano recorre 4 espacios, la sección transversal se transforma periódicamente entre estos dos panales.
Número de besos
Si se inscribe una 3-esfera en cada hipercélula de esta teselación, la disposición resultante es la empaquetadura de esfera regular más densa conocida [nota 1] en cuatro dimensiones, con el número de besos 24. La densidad de empaquetadura de esta disposición es
Cada 3 esferas inscritas besa a otras 24 en los centros de las facetas octaédricas de sus 24 celdas, ya que cada celda octaédrica se comparte con una celda adyacente de 24 celdas. En una teselación de longitud de borde de unidad, el diámetro de las esferas (la distancia entre los centros de las esferas que se besan) es √ 2 .
Justo fuera de este caparazón circundante de 24 3 esferas que se besan, hay otro caparazón menos denso de 24 3 esferas que no se besan entre sí o la 3-esfera central; están inscritos en 24 celdas con las que las 24 celdas centrales comparten solo un vértice (en lugar de una celda octaédrica). La distancia de centro a centro entre una de estas esferas y cualquiera de sus vecinas de caparazón o la esfera central es 2.
Alternativamente, la misma disposición de empaquetamiento de esferas con número de besos 24 se puede realizar con 3 esferas más pequeñas de borde-longitud-diámetro, ubicándolas en los centros y los vértices de las 24 celdas. (Esto equivale a ubicarlos en los vértices de un panal de 16 celdas de longitud de borde unitario). En este caso, las 3 esferas centrales besan a otras 24 en los centros de las facetas cúbicas de los tres teseractos inscritos en el 24 -célula . (Este es el empaque cúbico único centrado en el cuerpo de las esferas de longitud de borde del panal teseractico).
Justo fuera de este caparazón de 3 esferas besantes de diámetro 1 hay otro caparazón menos denso de 24 3 esferas no besantes de diámetro 1; están centrados en las 24 celdas adyacentes con las que las 24 celdas centrales comparten una faceta octaédrica. La distancia de centro a centro entre una de estas esferas y cualquiera de sus vecinas de caparazón o la esfera central es √ 2 .
Construcciones de simetría
Hay cinco construcciones Wythoff diferentes de esta teselación como un politopo uniforme . Son geométricamente idénticos a la forma regular, pero las diferencias de simetría se pueden representar mediante facetas de 24 celdas coloreadas. En todos los casos, ocho 24 celdas se encuentran en cada vértice, pero las figuras de los vértices tienen diferentes generadores de simetría.
Grupo Coxeter | Símbolos de Schläfli | Diagrama de Coxeter | Facetas ( 24 celdas ) | Figura de vértice ( 8 celdas ) | Orden de simetría de la figura del vértice | |
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= [3,4,3,3] | {3,4,3,3} | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | 8: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | 384 | |
r {3,3,4,3} | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | 6: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 2: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | 96 | ||
= [4,3,3,4] | 2r {4,3,3,4} | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | 4,4: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | 64 | |
= [4,3,3 1,1 ] | 2r {4,3,3 1,1 } | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | 2,2: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 4: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | 32 | |
= [3 1,1,1,1 ] | {3 1,1,1,1 } | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | 2,2,2,2:![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | dieciséis |
Ver también
Otros panales uniformes en 4 espacios:
- Nido de abeja truncado de 5 celdas
- Nido de abeja omnitruncado de 5 celdas
- Nido de abeja truncado de 24 celdas
- Nido de abeja rectificado de 24 celdas
- Nido de abeja de 24 celdas Snub
Notas
- ^ El problema del empaquetamiento de esferas y el problema del número de besos son notablemente difíciles y las soluciones óptimas solo se conocen en las dimensiones 1, 2, 3, 8 y 24 (más la dimensión 4 para el problema del número de besos).
Referencias
- Coxeter, HSM Regular Polytopes , (3a edición, 1973), edición Dover, ISBN 0-486-61480-8 p. 296, Tabla II: Panales regulares
- Kaleidoscopes: Selected Writings of HSM Coxeter , editado por F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
- (Documento 24) HSM Coxeter, Politopos regulares y semi-regulares III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3 a 45]
- George Olshevsky, Uniform Panoploid Tetracombs , Manuscript (2006) (Lista completa de 11 mosaicos uniformes convexos, 28 panales uniformes convexos y 143 tetracumbas uniformes convexos) - Modelo 88
- Klitzing, Richard. "Teselaciones euclidianas 4D" . o4o3x3o4o, o3x3o * b3o4o, o3x3o * b3o4o, o3x3o4o3o, o3o3o4o3x - icot - O88
Espacio | Familia | / / | ||||
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E 2 | Azulejos uniformes | {3 [3] } | δ 3 | hδ 3 | qδ 3 | Hexagonal |
E 3 | Nido de abeja convexo uniforme | {3 [4] } | δ 4 | hδ 4 | qδ 4 | |
E 4 | Uniforme de 4 panales | {3 [5] } | δ 5 | hδ 5 | qδ 5 | Panal de 24 celdas |
E 5 | Uniforme de 5 panales | {3 [6] } | δ 6 | hδ 6 | qδ 6 | |
E 6 | Uniforme de 6 panales | {3 [7] } | δ 7 | hδ 7 | qδ 7 | 2 22 |
E 7 | Uniforme de 7 panales | {3 [8] } | δ 8 | hδ 8 | qδ 8 | 1 33 • 3 31 |
E 8 | Uniforme de 8 panal | {3 [9] } | δ 9 | hδ 9 | qδ 9 | 1 52 • 2 51 • 5 21 |
E 9 | Uniforme de 9 panales | {3 [10] } | δ 10 | hδ 10 | qδ 10 | |
E n -1 | Uniforme ( n -1) - panal | {3 [n] } | δ n | hδ n | qδ n | 1 k2 • 2 k1 • k 21 |