Mersenne prime

Prime number of the form (2^n)-1

Mersenne prime

Lleva el nombre de	Marin Mersenne
No. de términos conocidos	51
Conjeturaba que no. de términos	Infinito
Subsecuencia de	Números de Mersenne
Primeros términos	3 , 7 , 31 , 127 , 8191
Término más grande conocido	2 82,589,933 - 1 (7 de diciembre de 2018)
Índice OEIS	A000668 Mersenne primos (de la forma 2 ^ p - 1 donde p es un primo)

En matemáticas , un número primo de Mersenne es un número primo que es uno menos que una potencia de dos . Es decir, es un número primo de la forma M _n = 2 ⁿ - 1 para algún número entero n . Llevan el nombre de Marin Mersenne , un fraile minim francés , que los estudió a principios del siglo XVII. Si n es un número compuesto, entonces también lo es 2 ⁿ - 1 . Por lo tanto, una definición equivalente de los números primos de Mersenne es que son los números primos de la forma M _p = 2^p - 1para algunos primos p .

Los exponentes n que dan primos de Mersenne son 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, ... (secuencia A000043 en la OEIS ) y los primos de Mersenne resultantes son 3 , 7 , 31 , 127 , 8191, 131071, 524287, 2147483647 , ... (secuencia A000668 en la OEIS ).

Los números de la forma M _n = 2 ⁿ - 1 sin el requisito de primalidad pueden llamarse números de Mersenne . A veces, sin embargo, los números de Mersenne se definen para tener el requisito adicional de que n sea ​​primo. El número compuesto más pequeño de Mersenne con exponente primo n es 2 ¹¹ - 1 = 2047 = 23 × 89 .

Los números primos de Mersenne se estudiaron en la antigüedad debido a su estrecha conexión con los números perfectos : el teorema de Euclides-Euler afirma una correspondencia uno a uno entre los números perfectos pares y los números primos de Mersenne. Muchos de los números primos más grandes conocidos son primos de Mersenne porque los números de Mersenne son más fáciles de verificar para determinar si son primarios.

A octubre de 2020 ^[ref], se conocen 51 primos de Mersenne. El número primo más grande conocido , 2 ^82,589,933 - 1 , es un primo de Mersenne. ^[1] Desde 1997, todos los números primos de Mersenne recién descubiertos han sido descubiertos por Great Internet Mersenne Prime Search , un proyecto de computación distribuida . En diciembre de 2020, se superó un hito importante en el proyecto después de que todos los exponentes por debajo de 100 millones se verificaron al menos una vez. ^[2]

Acerca de los primos de Mersenne

Problema no resuelto en matemáticas :

¿Hay infinitos números primos de Mersenne?

(más problemas sin resolver en matemáticas)

Muchas preguntas fundamentales sobre los números primos de Mersenne siguen sin resolverse. Ni siquiera se sabe si el conjunto de números primos de Mersenne es finito o infinito. La conjetura de Lenstra-Pomerance-Wagstaff afirma que hay infinitos números primos de Mersenne y predice su orden de crecimiento . Tampoco se sabe si un número infinito de números de Mersenne con exponentes primos son compuestos , aunque esto se seguiría de conjeturas ampliamente creídas sobre números primos, por ejemplo, la infinitud de los primos de Sophie Germain congruentes con 3 ( mod 4 ). Para estos primos p , 2 p + 1 (que también es primo) dividirá M _p, por ejemplo, 23 |  M ₁₁ , 47 |  M ₂₃ , 167 |  M ₈₃ , 263 |  M ₁₃₁ , 359 |  M ₁₇₉ , 383 |  M ₁₉₁ , 479 |  M ₂₃₉ y 503 |  M ₂₅₁ (secuencia A002515 en la OEIS ). Dado que para estos primos p , 2 p + 1 es congruente con 7 mod 8, entonces 2 es un residuo cuadrático mod 2 p+ 1 , y el orden multiplicativo de 2 mod 2 p + 1 debe dividir = p . Como p es primo, debe ser p o 1. Sin embargo, no puede ser 1 ya que 1 no tiene factores primos , por lo que debe ser p . Por tanto, 2 p + 1 se divide y no puede ser primo.${\displaystyle {\frac {(2p+1)-1}{2}}}$${\displaystyle \Phi _{1}(2)=1}$${\displaystyle \Phi _{p}(2)=2^{p}-1}$${\displaystyle 2^{p}-1=M_{p}}$

Los primeros cuatro primos de Mersenne son M ₂ = 3 , M ₃ = 7 , M ₅ = 31 y M ₇ = 127 y debido a que el primer primo de Mersenne comienza en M ₂ , todos los primos de Mersenne son congruentes con 3 (mod 4). Aparte de M ₀ = 0 y M ₁ = 1 , todos los demás números de Mersenne también son congruentes con 3 (mod 4). En consecuencia, en la factorización prima de un número de Mersenne (  ≥  M ₂  ) debe haber al menos un factor primo congruente con 3 (mod 4).

Un teorema básico sobre los números de Mersenne establece que si M _p es primo, entonces el exponente p también debe ser primo. Esto se sigue de la identidad

${\displaystyle {\begin{aligned}2^{ab}-1&=(2^{a}-1)\cdot \left(1+2^{a}+2^{2a}+2^{3a}+\cdots +2^{(b-1)a}\right)\\&=(2^{b}-1)\cdot \left(1+2^{b}+2^{2b}+2^{3b}+\cdots +2^{(a-1)b}\right).\end{aligned}}}$

Esto descarta la primalidad para los números de Mersenne con exponente compuesto, como M ₄ = 2 ⁴ - 1 = 15 = 3 × 5 = (2 ² - 1) × (1 + 2 ² ) .

Aunque los ejemplos anteriores pueden sugerir que M _p es primo para todos los primos p , este no es el caso, y el contraejemplo más pequeño es el número de Mersenne

M ₁₁ = 2 ¹¹ - 1 = 2047 = 23 × 89 .

La evidencia disponible sugiere que es mucho más probable que un número de Mersenne seleccionado aleatoriamente sea primo que un número entero impar arbitrario seleccionado aleatoriamente de tamaño similar. ^[3] No obstante, los valores primos de M _p parecen volverse cada vez más escasos a medida que p aumenta. Por ejemplo, ocho de los primeros 11 primos p dan lugar a un primo de Mersenne M _p (los términos correctos en la lista original de Mersenne), mientras que M _p es primo para solo 43 de los primeros dos millones de números primos (hasta 32,452,843).

La falta de una prueba simple para determinar si un número de Mersenne dado es primo hace que la búsqueda de primos de Mersenne sea una tarea difícil, ya que los números de Mersenne crecen muy rápidamente. La prueba de primalidad de Lucas-Lehmer (LLT) es una prueba de primalidad eficiente que ayuda enormemente en esta tarea, lo que hace que sea mucho más fácil probar la primacía de los números de Mersenne que la de la mayoría de los otros números del mismo tamaño. La búsqueda de la prima más grande conocida tiene algo de seguidores de culto . En consecuencia, se ha gastado una gran cantidad de energía informática en la búsqueda de nuevos números primos de Mersenne, gran parte de los cuales ahora se realizan mediante computación distribuida .

Módulo aritmético un número de Mersenne es particularmente eficiente en una computadora binaria , lo que los convierte en opciones populares cuando se desea un módulo primo, como el generador de números aleatorios de Park-Miller . Para encontrar un polinomio primitivo de orden numérico de Mersenne requiere conocer la factorización de ese número, por lo que los números primos de Mersenne permiten encontrar polinomios primitivos de orden muy alto. Estos trinomios primitivos se utilizan en generadores de números pseudoaleatorios con períodos muy grandes, como el tornado de Mersenne , el registro de desplazamiento generalizado y los generadores de Fibonacci Lagged .

Números perfectos

Artículo principal: teorema de Euclides-Euler

Los primos de Mersenne M _p están estrechamente relacionados con números perfectos . En el siglo IV a. C., Euclides demostró que si 2 ^p - 1 es primo, entonces 2 ^{p - 1} (2 ^p - 1 ) es un número perfecto. En el siglo XVIII, Leonhard Euler demostró que, a la inversa, todos los números, incluso perfectos, tienen esta forma. ^[4] Esto se conoce como el teorema de Euclides-Euler . Se desconoce si existen números perfectos impares .

Historia

2	3	5	7	11	13	17	19
23	29	31	37	41	43	47	53
59	61	67	71	73	79	83	89
97	101	103	107	109	113	127	131
137	139	149	151	157	163	167	173
179	181	191	193	197	199	211	223
227	229	233	239	241	251	257	263
269	271	277	281	283	293	307	311
Los primeros 64 exponentes primos con los correspondientes a los primos de Mersenne sombreados en cian y en negrita, y los que Mersenne cree que lo hacen en rojo y en negrita.

Los números primos de Mersenne toman su nombre del erudito francés del siglo XVII Marin Mersenne , quien compiló lo que se suponía que era una lista de números primos de Mersenne con exponentes hasta 257. Los exponentes enumerados por Mersenne fueron los siguientes:

2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257.

Su lista reproducía los números primos conocidos de su tiempo con exponentes hasta 19. Su siguiente entrada, 31, era correcta, pero la lista se volvió en gran medida incorrecta, ya que Mersenne incluyó por error M ₆₇ y M ₂₅₇ (que son compuestos) y omitió M ₆₁ , M ₈₉ y M ₁₀₇ (que son primos). Mersenne dio pocos indicios de cómo se le ocurrió la lista. ^[5]

Édouard Lucas demostró en 1876 que M ₁₂₇ es realmente excelente, como afirmó Mersenne. Este fue el número primo más grande conocido durante 75 años hasta 1951, cuando Ferrier encontró un primo más grande , usando una máquina calculadora de escritorio. ^{[6] : página 22} Ivan Mikheevich Pervushin determinó que M ₆₁ era primo en 1883 , aunque Mersenne afirmó que era compuesto, y por esta razón a veces se le llama número de Pervushin. Este era el segundo número primo más grande conocido, y permaneció así hasta 1911. Lucas había mostrado otro error en la lista de Mersenne en 1876. Sin encontrar un factor, Lucas demostró que M ₆₇${\displaystyle (2^{148}+1)/17}$ es realmente compuesto. No se encontró ningún factor hasta una famosa charla de Frank Nelson Cole en 1903. ^[7] Sin decir una palabra, fue a un pizarrón y elevó 2 a la potencia 67, luego restó uno. En el otro lado del tablero, multiplicó 193,707,721 × 761,838,257,287 y obtuvo el mismo número, luego regresó a su asiento (entre aplausos) sin hablar. ^[8] Más tarde dijo que el resultado le había costado "tres años de domingos" encontrarlo. ^[9] Una lista correcta de todos los números primos de Mersenne en este rango de números se completó y verificó rigurosamente solo unos tres siglos después de que Mersenne publicara su lista.

Buscando números primos de Mersenne

Hay disponibles algoritmos rápidos para encontrar números primos de Mersenne y, a partir de junio de 2019, ^[update]los siete números primos más grandes conocidos son los números primos de Mersenne.

Los primeros cuatro números primos de Mersenne M ₂ = 3 , M ₃ = 7 , M ₅ = 31 y M ₇ = 127 se conocían en la antigüedad. El quinto, M ₁₃ = 8191 , fue descubierto de forma anónima antes de 1461; los dos siguientes ( M ₁₇ y M ₁₉ ) fueron encontrados por Pietro Cataldi en 1588. Después de casi dos siglos, Leonhard Euler verificó que M ₃₁ era primo en 1772. El siguiente (en orden histórico, no numérico) fue M ₁₂₇ , Encontrado porÉdouard Lucas en 1876, luego M ₆₁ por Ivan Mikheevich Pervushin en 1883. Dos más ( M ₈₉ y M ₁₀₇ ) fueron encontrados a principios del siglo XX, por RE Powers en 1911 y 1914, respectivamente.

El método más eficaz que se conoce actualmente para probar la primacía de los números de Mersenne es la prueba de primacía de Lucas-Lehmer . Específicamente, se puede demostrar que para primos p > 2 , M _p = 2 ^p - 1 es primo si y solo si M _p divide S _{p - 2} , donde S ₀ = 4 y S _k = ( S _{k - 1} ) ² - 2 para k > 0 .

Durante la era del cálculo manual, todos los exponentes hasta el 257 inclusive se probaron con la prueba de Lucas-Lehmer y se determinó que eran compuestos. Horace Scudder Uhler, profesor de física retirado de Yale, hizo una contribución notable, quien hizo los cálculos para los exponentes 157, 167, 193, 199, 227 y 229. ^[10] Desafortunadamente para esos investigadores, el intervalo que estaban probando contiene el mayor intervalo conocido. brecha relativa entre los números primos de Mersenne: el próximo exponente primo de Mersenne, 521, resultaría ser más de cuatro veces mayor que el récord anterior de 127.

Gráfico del número de dígitos en el número primo de Mersenne más grande conocido por año - era electrónica. La escala vertical es logarítmica en el número de dígitos, por lo que es función del valor del primo.${\displaystyle \log(\log(y))}$

La búsqueda de números primos de Mersenne se vio revolucionada por la introducción de la computadora digital electrónica. Alan Turing los buscó en el Manchester Mark 1 en 1949, ^[11] pero la primera identificación exitosa de un Mersenne prime, M ₅₂₁ , por este medio se logró a las 10:00 pm del 30 de enero de 1952 utilizando la Oficina Nacional de Estados Unidos de Standards Western Automatic Computer (SWAC) en el Instituto de Análisis Numérico de la Universidad de California, Los Ángeles , bajo la dirección de DH Lehmer , con un programa de búsqueda de computadoras escrito y dirigido por el Prof. RM Robinson. Fue la primera prima de Mersenne en ser identificada en treinta y ocho años; el siguiente, M ₆₀₇ , fue encontrado por la computadora poco menos de dos horas después. Tres más, M ₁₂₇₉ , M ₂₂₀₃ y M ₂₂₈₁  , fueron encontrados por el mismo programa en los siguientes meses. M ₄₂₅₃ es el primer primo de Mersenne que es titánico , M _44,497 es el primer gigante y M _6,972,593 fue el primer megaprime que se descubrió, siendo un primo con al menos 1,000,000 de dígitos. ^[12]Los tres fueron el primer primo conocido de ese tamaño. El número de dígitos en la representación decimal de M _n es igual a ⌊ n × log ₁₀ 2⌋ + 1 , donde ⌊ x ⌋ denota la función de piso (o equivalentemente ⌊log ₁₀ M _n ⌋ + 1 ).

En septiembre de 2008, los matemáticos de UCLA que participaron en Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS) ganaron parte de un premio de $ 100,000 de la Electronic Frontier Foundation por su descubrimiento de un Mersenne prime de casi 13 millones de dígitos. El premio, finalmente confirmado en octubre de 2009, es para el primer prime conocido con al menos 10 millones de dígitos. El principal se encontró en una Dell OptiPlex 745 el 23 de agosto de 2008. Este fue el octavo principal de Mersenne descubierto en UCLA. ^[13]

El 12 de abril de 2009, un registro del servidor de GIMPS informó que posiblemente se había encontrado un número 47 de Mersenne principal. El hallazgo se notó por primera vez el 4 de junio de 2009 y se verificó una semana después. El primo es 2 ^42,643,801 - 1 . Aunque cronológicamente es el número 47 de Mersenne principal descubierto, es más pequeño que el más grande conocido en ese momento, que fue el número 45 en ser descubierto.

El 25 de enero de 2013, Curtis Cooper , un matemático de la Universidad de Central Missouri , descubrió un número primo número 48 de Mersenne, 2 ^57.885.161 - 1 (un número con 17.425.170 dígitos), como resultado de una búsqueda ejecutada por una red de servidores GIMPS. ^[14]

El 19 de enero de 2016, Cooper publicó su descubrimiento de un número 49 de Mersenne primo, 2 ^74,207,281 - 1 (un número con 22,338,618 dígitos), como resultado de una búsqueda ejecutada por una red de servidores GIMPS. ^{[15] [16] [17]} Este fue el cuarto primo de Mersenne descubierto por Cooper y su equipo en los últimos diez años.

El 2 de septiembre de 2016, Great Internet Mersenne Prime Search terminó de verificar todas las pruebas por debajo de M _37,156,667 , confirmando así oficialmente su posición como la 45th Mersenne Prime. ^[18]

El 3 de enero de 2018, se anunció que Jonathan Pace, un ingeniero eléctrico de 51 años que vive en Germantown, Tennessee , había encontrado un número primo número 50 de Mersenne, 2 ^77,232,917 - 1 (un número con 23,249,425 dígitos), como resultado de una búsqueda ejecutada por una red de servidores GIMPS. ^[19] El descubrimiento fue realizado por una computadora en las oficinas de una iglesia en el mismo pueblo. ^{[20] [21]}

El 21 de diciembre de 2018, se anunció que The Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS) descubrió el número primo más grande conocido, 2 ^82,589,933 - 1 , con 24,862,048 dígitos. Una computadora ofrecida por Patrick Laroche de Ocala, Florida, hizo el hallazgo el 7 de diciembre de 2018. ^[22]

A finales de 2020, GIMPS comenzó a utilizar una nueva técnica para descartar posibles primos de Mersenne llamada prueba de primo probable (PRP), basada en el desarrollo de Robert Gerbicz en 2017, y una forma sencilla de verificar las pruebas desarrolladas por Krzysztof Pietrzak en 2018. la baja tasa de error y la facilidad de prueba, esto casi redujo a la mitad el tiempo de cálculo para descartar posibles números primos sobre la prueba de Lucas-Lehmer (ya que dos usuarios ya no tendrían que realizar la misma prueba para confirmar el resultado del otro), aunque los exponentes que pasan el La prueba de PRP aún requiere una para confirmar su primordialidad. ^[23]

Teoremas sobre los números de Mersenne

1. Si una y p son números naturales tales que un ^p - 1 es primo, entonces un = 2 o p = 1 .
   • Prueba : a ≡ 1 ( mod a - 1) . Entonces a ^p ≡ 1 (mod a - 1) , entonces a ^p - 1 ≡ 0 (mod a - 1) . Por tanto, a - 1 | a ^p - 1 . Sin embargo, a ^p - 1 es primo, entonces a - 1 = a ^p - 1 o a - 1 = ± 1 . En el primer caso, a = a ^p , por tanto a = 0, 1(lo cual es una contradicción, ya que ni −1 ni 0 son primos) o p = 1. En el último caso, a = 2 o a = 0 . Sin embargo, si a = 0 , 0 ^p - 1 = 0 - 1 = −1 que no es primo. Por tanto, a = 2 .
2. Si 2 ^p - 1 es primo, entonces p es primo.
   • Demostración : suponga que p es compuesto, por lo tanto, se puede escribir p = ab con a y b > 1 . Entonces 2 ^p - 1 = 2 ^ab - 1 = (2 ^a ) ^b - 1 = (2 ^a - 1) ( (2 ^a ) ^{b −1} + (2 ^a ) ^{b −2} +… + 2 ^a + 1 ) entonces 2 ^p - 1 es compuesto. Por contrapositivo, si 2 ^p - 1es primo, entonces p es primo.
3. Si p es un primo impar, entonces todo primo q que divide 2 ^p - 1 debe ser 1 más un múltiplo de 2 p . Esto se mantiene incluso cuando 2 ^p - 1 es primo.
   • Por ejemplo, 2 ⁵ - 1 = 31 es primo y 31 = 1 + 3 × (2 × 5) . Un ejemplo compuesto es 2 ¹¹ - 1 = 23 × 89 , donde 23 = 1 + (2 × 11) y 89 = 1 + 4 × (2 × 11) .
   • Prueba : Por el pequeño teorema de Fermat , q es un factor de 2 ^{q -1} - 1 . Como q es un factor de 2 ^p - 1 , para todos los enteros positivos c , q también es un factor de 2 ^pc - 1 . Dado que p es primo y q no es un factor de 2 ¹ - 1 , p también es el entero positivo más pequeño x tal que q es un factor de 2 ^x - 1. Como resultado, para todos los enteros positivos x , q es un factor de 2 ^x - 1 si y solo si p es un factor de x . Por lo tanto, puesto que q es un factor de 2 ^{q -1} - 1 , p es un factor de q - 1 de modo q ≡ 1 (mod p ) . Además, dado que q es un factor de 2 ^p - 1 , que es impar, q es impar. Por lo tanto, q ≡ 1 (mod 2 p ) .
   • Este hecho conduce a una demostración del teorema de Euclides , que afirma la infinitud de los primos, distinta de la prueba escrita por Euclides: para cada primo impar p , todos los primos que dividen 2 ^p - 1 son mayores que p ; por lo tanto, siempre hay primos más grandes que cualquier primo en particular.
   • De este hecho se deduce que por cada primo p > 2 , hay al menos un primo de la forma 2 kp +1 menor o igual que M _p , para algún entero k .
4. Si p es un primo impar, entonces todo primo q que divide 2 ^p - 1 es congruente con ± 1 (mod 8) .
   • Prueba : 2 ^{p 1} ≡ 2 (mod q ) , así 2 ^{1 / 2 (p + 1)} es una raíz cuadrada de 2 mod q . Por reciprocidad cuadrática , cada módulo primo en el que el número 2 tiene una raíz cuadrada es congruente con ± 1 ( módulo 8) .
5. Una prima de Mersenne no puede ser una prima de Wieferich .
   • Demostración : Demostramos que si p = 2 ^m - 1 es un primo de Mersenne, entonces la congruencia 2 ^{p −1} ≡ 1 (mod p ² ) no se cumple. Por el pequeño teorema de Fermat, m | p - 1 . Por lo tanto, se puede escribir p - 1 = mλ . Si se satisface la congruencia dada, entonces p ² | 2 ^mλ - 1 , por lo tanto 0 ≡ 2 ^mλ - 1 / 2 ^m - 1 = 1 + 2 ^m + 2 ^{2 m}+ ... + 2 ^{( λ - 1) m} ≡ - λ mod (2 ^m - 1) . Por tanto, 2 ^m - 1 | λ , y por lo tanto λ ≥ 2 ^m - 1 . Esto conduce a p - 1 ≥ m (2 ^m - 1) , lo cual es imposible ya que m ≥ 2 .
6. Si m y n son números naturales, entonces m y n son primos entre sí si y sólo si 2 ^m - 1 y 2 ⁿ - 1 son primos entre sí. En consecuencia, un número primo divide como máximo un número de Mersenne de exponente primo. ^[24] Es decir, el conjunto de números perniciosos de Mersenne es coprimo por pares.
7. Si p y 2 p + 1 son primos (lo que significa que p es un primo de Sophie Germain ), y p es congruente con 3 (mod 4) , entonces 2 p + 1 divide 2 ^p - 1 . ^[25]
   • Ejemplo : 11 y 23 son primos y 11 = 2 × 4 + 3 , por lo que 23 divide 2 ¹¹ - 1 .
   • Prueba : Let q sea 2 p + 1 . Según el pequeño teorema de Fermat, 2 ^{2 p} ≡ 1 (mod q ) , entonces 2 ^p ≡ 1 (mod q ) o 2 ^p ≡ −1 (mod q ) . Suponiendo último cierto, entonces 2 ^{p 1} = (2 ^{1 / 2 ( p + 1)} ) ² ≡ -2 (mod q ) , de modo -2 sería una cuadrática residuo mod q . Sin embargo, dado que pes congruente con 3 (mod 4) , q es congruente con 7 (mod 8) y por lo tanto 2 es un residuo cuadrático mod q . Además, dado que q es congruente con 3 (mod 4) , −1 es un mod q de no residuo cuadrático , entonces −2 es el producto de un residuo y un no residuo y por lo tanto es un no residuo, lo cual es una contradicción. Por tanto, la primera congruencia debe ser verdadera y 2 p + 1 divide a M _p .
8. Todos los divisores compuestos de números de Mersenne con exponente primo son pseudoprimos fuertes a la base 2.
9. Con la excepción de 1, un número de Mersenne no puede ser una potencia perfecta. Es decir, y de acuerdo con el teorema de Mihăilescu , la ecuación 2 ^m - 1 = n ^k no tiene soluciones donde m , n y k son números enteros con m > 1 y k > 1 .

Lista de primos conocidos de Mersenne

La siguiente tabla enumera todos los primos de Mersenne conocidos (secuencia A000043 ( p ) y A000668 ( M _p ) en OEIS ):

#	pag	M p	M p dígitos	Descubierto	Descubridor	Método utilizado
1	2	3	1	C. 430 a. C.	Matemáticos griegos antiguos [26]
2	3	7	1	C. 430 a. C.	Matemáticos griegos antiguos [26]
3	5	31	2	C. 300 a. C.	Matemáticos griegos antiguos [27]
4	7	127	3	C. 300 a. C.	Matemáticos griegos antiguos [27]
5	13	8191	4	1456 [28]	Anónimo [29] [30] [28]	División de prueba
6	17	131071	6	1588 [31] [28]	Pietro Cataldi [28]	División de prueba [32]
7	19	524287	6	1588 [28]	Pietro Cataldi [28]	División de prueba [33]
8	31	2147483647	10	1772	Leonhard Euler [34] [35]	División de prueba con restricciones modulares [36]
9	61	2305843009213693951	19	1883 noviembre [37]	Ivan M. Pervushin	Secuencias de Lucas
10	89	618970019642 ... 137449562111	27	Junio ​​de 1911 [38]	Ralph Ernest Powers	Secuencias de Lucas
11	107	162259276829 ... 578010288127	33	1 de junio de 1914 [39] [40] [41]	Ralph Ernest Powers [42]	Secuencias de Lucas
12	127	170141183460 ... 715884105727	39	1876 ​​10 de enero [43]	Édouard Lucas	Secuencias de Lucas
13	521	686479766013 ... 291115057151	157	30 de enero de 1952 [44]	Raphael M. Robinson	LLT / SWAC
14	607	531137992816 ... 219031728127	183	30 de enero de 1952 [44]	Raphael M. Robinson	LLT / SWAC
15	1,279	104079321946 ... 703168729087	386	1952 25 de junio [45]	Raphael M. Robinson	LLT / SWAC
dieciséis	2.203	147597991521 ... 686697771007	664	7 de octubre de 1952 [46]	Raphael M. Robinson	LLT / SWAC
17	2,281	446087557183 ... 418132836351	687	9 de octubre de 1952 [46]	Raphael M. Robinson	LLT / SWAC
18	3,217	259117086013 ... 362909315071	969	1957 8 de septiembre [47]	Hans Riesel	LLT / BESK
19	4.253	190797007524 ... 815350484991	1,281	1961 3 de noviembre [48] [49]	Alexander Hurwitz	LLT / IBM 7090
20	4.423	285542542228 ... 902608580607	1.332	1961 3 de noviembre [48] [49]	Alexander Hurwitz	LLT / IBM 7090
21	9,689	478220278805 ... 826225754111	2,917	11 de mayo de 1963 [50]	Donald B. Gillies	LLT / ILLIAC II
22	9,941	346088282490 ... 883789463551	2,993	16 de mayo de 1963 [50]	Donald B. Gillies	LLT / ILLIAC II
23	11,213	281411201369 ... 087696392191	3.376	2 de junio de 1963 [50]	Donald B. Gillies	LLT / ILLIAC II
24	19,937	431542479738 ... 030968041471	6,002	4 de marzo de 1971 [51]	Bryant Tuckerman	LLT / IBM 360 /91
25	21,701	448679166119 ... 353511882751	6.533	1978 30 de octubre [52]	Landon Curt Noll y Laura Nickel	LLT / CDC Cyber 174
26	23,209	402874115778...523779264511	6,987	1979 February 9[52]	Landon Curt Noll	LLT / CDC Cyber 174
27	44,497	854509824303...961011228671	13,395	1979 April 8[53][54]	Harry L. Nelson & David Slowinski	LLT / Cray 1
28	86,243	536927995502...709433438207	25,962	1982 September 25	David Slowinski	LLT / Cray 1
29	110,503	521928313341...083465515007	33,265	1988 January 29[55][56]	Walter Colquitt & Luke Welsh	LLT / NEC SX-2[57]
30	132,049	512740276269...455730061311	39,751	1983 September 19[58]	David Slowinski	LLT / Cray X-MP
31	216,091	746093103064...103815528447	65,050	1985 September 1[59][60]	David Slowinski	LLT / Cray X-MP/24
32	756,839	174135906820...328544677887	227,832	1992 February 17	David Slowinski & Paul Gage	LLT / Harwell Lab's Cray-2[61]
33	859,433	129498125604...243500142591	258,716	1994 January 4[62][63][64]	David Slowinski & Paul Gage	LLT / Cray C90
34	1,257,787	412245773621...976089366527	378,632	1996 September 3[65]	David Slowinski & Paul Gage[66]	LLT / Cray T94
35	1,398,269	814717564412...868451315711	420,921	1996 November 13	GIMPS / Joel Armengaud[67]	LLT / Prime95 on 90 MHz Pentium
36	2,976,221	623340076248...743729201151	895,932	1997 August 24	GIMPS / Gordon Spence[68]	LLT / Prime95 on 100 MHz Pentium
37	3,021,377	127411683030...973024694271	909,526	1998 January 27	GIMPS / Roland Clarkson[69]	LLT / Prime95 on 200 MHz Pentium
38	6,972,593	437075744127...142924193791	2,098,960	1999 June 1	GIMPS / Nayan Hajratwala[70]	LLT / Prime95 on 350 MHz Pentium II IBM Aptiva
39	13,466,917	924947738006...470256259071	4,053,946	2001 November 14	GIMPS / Michael Cameron[71]	LLT / Prime95 on 800 MHz Athlon T-Bird
40	20,996,011	125976895450...762855682047	6,320,430	2003 November 17	GIMPS / Michael Shafer[72]	LLT / Prime95 on 2 GHz Dell Dimension
41	24,036,583	299410429404...882733969407	7,235,733	2004 May 15	GIMPS / Josh Findley[73]	LLT / Prime95 on 2.4 GHz Pentium 4
42	25,964,951	122164630061...280577077247	7,816,230	2005 February 18	GIMPS / Martin Nowak[74]	LLT / Prime95 on 2.4 GHz Pentium 4
43	30,402,457	315416475618...411652943871	9,152,052	2005 December 15	GIMPS / Curtis Cooper & Steven Boone[75]	LLT / Prime95 on 2 GHz Pentium 4
44	32,582,657	124575026015...154053967871	9,808,358	2006 September 4	GIMPS / Curtis Cooper & Steven Boone[76]	LLT / Prime95 on 3 GHz Pentium 4
45	37,156,667	202254406890...022308220927	11,185,272	2008 September 6	GIMPS / Hans-Michael Elvenich[77]	LLT / Prime95 on 2.83 GHz Core 2 Duo
46	42,643,801	169873516452...765562314751	12,837,064	2009 June 4[n 1]	GIMPS / Odd M. Strindmo[78][n 2]	LLT / Prime95 on 3 GHz Core 2
47	43,112,609	316470269330...166697152511	12,978,189	2008 August 23	GIMPS / Edson Smith[77]	LLT / Prime95 on Dell Optiplex 745
48	57,885,161	581887266232...071724285951	17,425,170	2013 January 25	GIMPS / Curtis Cooper[79]	LLT / Prime95 on 3 GHz Intel Core2 Duo E8400[80]
	57,895,237			Lowest unverified milestone[n 3]
49[n 4]	74,207,281	300376418084...391086436351	22,338,618	2016 January 7[n 5]	GIMPS / Curtis Cooper[15]	LLT / Prime95 on Intel Core i7-4790
50[n 4]	77,232,917	467333183359...069762179071	23,249,425	2017 December 26	GIMPS / Jon Pace[81]	LLT / Prime95 on 3.3 GHz Intel Core i5-6600[82]
51[n 4]	82,589,933	148894445742...325217902591	24,862,048	2018 December 7	GIMPS / Patrick Laroche[1]	LLT / Prime95 on Intel Core i5-4590T
	105,160,981			Lowest unchecked milestone[n 3]

1. Although M_42,643,801 was first reported by a machine on April 12, 2009, no human took notice of this fact until June 4, 2009.
2. Strindmo also uses the alias Stig M. Valstad.
3. As of 2021 October 6 according to GIMPS.
4. It is not verified whether any undiscovered Mersenne primes exist between the 48th (M_57,885,161) and the 51st (M_82,589,933) on this chart; the ranking is therefore provisional.
5. Although M_74,207,281 was first reported by a machine on September 17, 2015, no human took notice of this fact until January 7, 2016.

All Mersenne numbers below the 51st Mersenne prime (M_82,589,933) have been tested at least once but some have not been double-checked. Primes are not always discovered in increasing order. For example, the 29th Mersenne prime was discovered after the 30th and the 31st. Similarly, M_43,112,609 was followed by two smaller Mersenne primes, first 2 weeks later and then 9 months later.^[83] M_43,112,609 was the first discovered prime number with more than 10 million decimal digits.

The largest known Mersenne prime (2^82,589,933 − 1) is also the largest known prime number.^[1]

The largest known prime has been a Mersenne prime since 1952, except between 1989 and 1992.^[84]

Factorization of composite Mersenne numbers

Since they are prime numbers, Mersenne primes are divisible only by 1 and themselves. However, not all Mersenne numbers are Mersenne primes. Mersenne numbers are very good test cases for the special number field sieve algorithm, so often the largest number factorized with this algorithm has been a Mersenne number. As of June 2019^[update], 2^1,193 − 1 is the record-holder,^[85] having been factored with a variant of the special number field sieve that allows the factorization of several numbers at once. See integer factorization records for links to more information. The special number field sieve can factorize numbers with more than one large factor. If a number has only one very large factor then other algorithms can factorize larger numbers by first finding small factors and then making a primality test on the cofactor. As of July 2021^[update], the largest factorization with probable prime factors allowed is 2^10,443,557 − 1 = 37,289,325,994,807 × q, where q is a 3,143,811-digit probable prime. It was discovered by GIMPS participant with nickname "fre_games".^[86] As of July 2021^[update], the Mersenne number M₁₂₇₇ is the smallest composite Mersenne number with no known factors; it has no prime factors below 2⁶⁸.^[87]

The table below shows factorizations for the first 20 composite Mersenne numbers (sequence A244453 in the OEIS).

p	Mp	Factorization of Mp
11	2047	23 × 89
23	8388607	47 × 178,481
29	536870911	233 × 1,103 × 2,089
37	137438953471	223 × 616,318,177
41	2199023255551	13,367 × 164,511,353
43	8796093022207	431 × 9,719 × 2,099,863
47	140737488355327	2,351 × 4,513 × 13,264,529
53	9007199254740991	6,361 × 69,431 × 20,394,401
59	57646075230343487	179,951 × 3,203,431,780,337 (13 digits)
67	147573952589676412927	193,707,721 × 761,838,257,287 (12 digits)
71	2361183241434822606847	228,479 × 48,544,121 × 212,885,833
73	9444732965739290427391	439 × 2,298,041 × 9,361,973,132,609 (13 digits)
79	604462909807314587353087	2,687 × 202,029,703 × 1,113,491,139,767 (13 digits)
83	967140655691...033397649407	167 × 57,912,614,113,275,649,087,721 (23 digits)
97	158456325028...187087900671	11,447 × 13,842,607,235,828,485,645,766,393 (26 digits)
101	253530120045...993406410751	7,432,339,208,719 (13 digits) × 341,117,531,003,194,129 (18 digits)
103	101412048018...973625643007	2,550,183,799 × 3,976,656,429,941,438,590,393 (22 digits)
109	649037107316...312041152511	745,988,807 × 870,035,986,098,720,987,332,873 (24 digits)
113	103845937170...992658440191	3,391 × 23,279 × 65,993 × 1,868,569 × 1,066,818,132,868,207 (16 digits)
131	272225893536...454145691647	263 × 10,350,794,431,055,162,386,718,619,237,468,234,569 (38 digits)

The number of factors for the first 500 Mersenne numbers can be found at (sequence A046800 in the OEIS).

Mersenne numbers in nature and elsewhere

In the mathematical problem Tower of Hanoi, solving a puzzle with an n-disc tower requires M_n steps, assuming no mistakes are made.^[88] The number of rice grains on the whole chessboard in the wheat and chessboard problem is M₆₄.

The asteroid with minor planet number 8191 is named 8191 Mersenne after Marin Mersenne, because 8191 is a Mersenne prime (3 Juno, 7 Iris, 31 Euphrosyne and 127 Johanna having been discovered and named during the 19th century).^[89]

In geometry, an integer right triangle that is primitive and has its even leg a power of 2 ( ≥ 4 ) generates a unique right triangle such that its inradius is always a Mersenne number. For example, if the even leg is 2^n + 1 then because it is primitive it constrains the odd leg to be 4ⁿ − 1, the hypotenuse to be 4ⁿ + 1 and its inradius to be 2ⁿ − 1.^[90]

The Mersenne numbers were studied with respect to the total number of accepting paths of non-deterministic polynomial time Turing machines in 2018^[91] and intriguing inclusions were discovered.

Mersenne–Fermat primes

A Mersenne–Fermat number is defined as 2^pr − 1/2^{pr − 1} − 1, with p prime, r natural number, and can be written as MF(p, r). When r = 1, it is a Mersenne number. When p = 2, it is a Fermat number. The only known Mersenne–Fermat primes with r > 1 are

MF(2, 2), MF(2, 3), MF(2, 4), MF(2, 5), MF(3, 2), MF(3, 3), MF(7, 2), and MF(59, 2).^[92]

In fact, MF(p, r) = Φ_p^r(2), where Φ is the cyclotomic polynomial.

Generalizations

The simplest generalized Mersenne primes are prime numbers of the form f(2ⁿ), where f(x) is a low-degree polynomial with small integer coefficients.^[93] An example is 2⁶⁴ − 2³² + 1, in this case, n = 32, and f(x) = x² − x + 1; another example is 2¹⁹² − 2⁶⁴ − 1, in this case, n = 64, and f(x) = x³ − x − 1.

It is also natural to try to generalize primes of the form 2ⁿ − 1 to primes of the form bⁿ − 1 (for b ≠ 2 and n > 1). However (see also theorems above), bⁿ − 1 is always divisible by b − 1, so unless the latter is a unit, the former is not a prime. This can be remedied by allowing b to be an algebraic integer instead of an integer:

Complex numbers

In the ring of integers (on real numbers), if b − 1 is a unit, then b is either 2 or 0. But 2ⁿ − 1 are the usual Mersenne primes, and the formula 0ⁿ − 1 does not lead to anything interesting (since it is always −1 for all n > 0). Thus, we can regard a ring of "integers" on complex numbers instead of real numbers, like Gaussian integers and Eisenstein integers.

Gaussian Mersenne primes

If we regard the ring of Gaussian integers, we get the case b = 1 + i and b = 1 − i, and can ask (WLOG) for which n the number (1 + i)ⁿ − 1 is a Gaussian prime which will then be called a Gaussian Mersenne prime.^[94]

(1 + i)ⁿ − 1 is a Gaussian prime for the following n:

2, 3, 5, 7, 11, 19, 29, 47, 73, 79, 113, 151, 157, 163, 167, 239, 241, 283, 353, 367, 379, 457, 997, 1367, 3041, 10141, 14699, 27529, 49207, 77291, 85237, 106693, 160423, 203789, 364289, 991961, 1203793, 1667321, 3704053, 4792057, ... (sequence A057429 in the OEIS)

Like the sequence of exponents for usual Mersenne primes, this sequence contains only (rational) prime numbers.

As for all Gaussian primes, the norms (that is, squares of absolute values) of these numbers are rational primes:

5, 13, 41, 113, 2113, 525313, 536903681, 140737471578113, ... (sequence A182300 in the OEIS).

Eisenstein Mersenne primes

One may encounter cases where such a Mersenne prime is also an Eisenstein prime, being of the form b = 1 + ω and b = 1 − ω. In these cases, such numbers are called Eisenstein Mersenne primes.

(1 + ω)ⁿ − 1 is an Eisenstein prime for the following n:

2, 5, 7, 11, 17, 19, 79, 163, 193, 239, 317, 353, 659, 709, 1049, 1103, 1759, 2029, 5153, 7541, 9049, 10453, 23743, 255361, 534827, 2237561, ... (sequence A066408 in the OEIS)

The norms (that is, squares of absolute values) of these Eisenstein primes are rational primes:

7, 271, 2269, 176419, 129159847, 1162320517, ... (sequence A066413 in the OEIS)

Divide an integer

Repunit primes

Main article: Repunit

The other way to deal with the fact that bⁿ − 1 is always divisible by b − 1, it is to simply take out this factor and ask which values of n make

${\displaystyle {\frac {b^{n}-1}{b-1}}}$

be prime. (The integer b can be either positive or negative.) If, for example, we take b = 10, we get n values of:

2, 19, 23, 317, 1031, 49081, 86453, 109297, 270343, ... (sequence A004023 in the OEIS),
corresponding to primes 11, 1111111111111111111, 11111111111111111111111, ... (sequence A004022 in the OEIS).

These primes are called repunit primes. Another example is when we take b = −12, we get n values of:

2, 5, 11, 109, 193, 1483, 11353, 21419, 21911, 24071, 106859, 139739, ... (sequence A057178 in the OEIS),
corresponding to primes −11, 19141, 57154490053, ....

It is a conjecture that for every integer b which is not a perfect power, there are infinitely many values of n such that bⁿ − 1/b − 1 is prime. (When b is a perfect power, it can be shown that there is at most one n value such that bⁿ − 1/b − 1 is prime)

Least n such that bⁿ − 1/b − 1 is prime are (starting with b = 2, 0 if no such n exists)

2, 3, 2, 3, 2, 5, 3, 0, 2, 17, 2, 5, 3, 3, 2, 3, 2, 19, 3, 3, 2, 5, 3, 0, 7, 3, 2, 5, 2, 7, 0, 3, 13, 313, 2, 13, 3, 349, 2, 3, 2, 5, 5, 19, 2, 127, 19, 0, 3, 4229, 2, 11, 3, 17, 7, 3, 2, 3, 2, 7, 3, 5, 0, 19, 2, 19, 5, 3, 2, 3, 2, ... (sequence A084740 in the OEIS)

For negative bases b, they are (starting with b = −2, 0 if no such n exists)

3, 2, 2, 5, 2, 3, 2, 3, 5, 5, 2, 3, 2, 3, 3, 7, 2, 17, 2, 3, 3, 11, 2, 3, 11, 0, 3, 7, 2, 109, 2, 5, 3, 11, 31, 5, 2, 3, 53, 17, 2, 5, 2, 103, 7, 5, 2, 7, 1153, 3, 7, 21943, 2, 3, 37, 53, 3, 17, 2, 7, 2, 3, 0, 19, 7, 3, 2, 11, 3, 5, 2, ... (sequence A084742 in the OEIS) (notice this OEIS sequence does not allow n = 2)

Least base b such that b^prime(n) − 1/b − 1 is prime are

2, 2, 2, 2, 5, 2, 2, 2, 10, 6, 2, 61, 14, 15, 5, 24, 19, 2, 46, 3, 11, 22, 41, 2, 12, 22, 3, 2, 12, 86, 2, 7, 13, 11, 5, 29, 56, 30, 44, 60, 304, 5, 74, 118, 33, 156, 46, 183, 72, 606, 602, 223, 115, 37, 52, 104, 41, 6, 338, 217, ... (sequence A066180 in the OEIS)

For negative bases b, they are

3, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 7, 2, 16, 61, 2, 6, 10, 6, 2, 5, 46, 18, 2, 49, 16, 70, 2, 5, 6, 12, 92, 2, 48, 89, 30, 16, 147, 19, 19, 2, 16, 11, 289, 2, 12, 52, 2, 66, 9, 22, 5, 489, 69, 137, 16, 36, 96, 76, 117, 26, 3, ... (sequence A103795 in the OEIS)

Other generalized Mersenne primes

Another generalized Mersenne number is

${\displaystyle {\frac {a^{n}-b^{n}}{a-b}}}$

with a, b any coprime integers, a > 1 and −a < b < a. (Since aⁿ − bⁿ is always divisible by a − b, the division is necessary for there to be any chance of finding prime numbers. In fact, this number is the same as the Lucas number U_n(a + b, ab), since a and b are the roots of the quadratic equation x² − (a + b)x + ab = 0, and this number equals 1 when n = 1) We can ask which n makes this number prime. It can be shown that such n must be primes themselves or equal to 4, and n can be 4 if and only if a + b = 1 and a² + b² is prime. (Since a⁴ − b⁴/a − b = (a + b)(a² + b²). Thus, in this case the pair (a, b) must be (x + 1, −x) and x² + (x + 1)² must be prime. That is, x must be in OEIS: A027861.) It is a conjecture that for any pair (a, b) such that for every natural number r > 1, a and b are not both perfect rth powers, and −4ab is not a perfect fourth power. there are infinitely many values of n such that aⁿ − bⁿ/a − b is prime. (When a and b are both perfect rth powers for an r > 1 or when −4ab is a perfect fourth power, it can be shown that there are at most two n values with this property, since if so, then aⁿ − bⁿ/a − b can be factored algebraically) However, this has not been proved for any single value of (a, b).

For more information, see ^{[95][96][97][98][99][100][101][102][103][104]}

a	b	numbers n such that an − bn/a − b is prime (some large terms are only probable primes, these n are checked up to 100000 for |b| ≤ 5 or |b| = a − 1, 20000 for 5 < |b| < a − 1)	OEIS sequence
2	1	2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 42643801, 43112609, ..., 57885161, ..., 74207281, ..., 77232917, ..., 82589933, ...	A000043
2	−1	3, 4*, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 31, 43, 61, 79, 101, 127, 167, 191, 199, 313, 347, 701, 1709, 2617, 3539, 5807, 10501, 10691, 11279, 12391, 14479, 42737, 83339, 95369, 117239, 127031, 138937, 141079, 267017, 269987, 374321, 986191, 4031399, ..., 13347311, 13372531, ...	A000978
3	2	2, 3, 5, 17, 29, 31, 53, 59, 101, 277, 647, 1061, 2381, 2833, 3613, 3853, 3929, 5297, 7417, 90217, 122219, 173191, 256199, 336353, 485977, 591827, 1059503, ...	A057468
3	1	3, 7, 13, 71, 103, 541, 1091, 1367, 1627, 4177, 9011, 9551, 36913, 43063, 49681, 57917, 483611, 877843, ...	A028491
3	−1	2*, 3, 5, 7, 13, 23, 43, 281, 359, 487, 577, 1579, 1663, 1741, 3191, 9209, 11257, 12743, 13093, 17027, 26633, 104243, 134227, 152287, 700897, 1205459, ...	A007658
3	−2	3, 4*, 7, 11, 83, 149, 223, 599, 647, 1373, 8423, 149497, 388897, ...	A057469
4	3	2, 3, 7, 17, 59, 283, 311, 383, 499, 521, 541, 599, 1193, 1993, 2671, 7547, 24019, 46301, 48121, 68597, 91283, 131497, 148663, 184463, 341233, ...	A059801
4	1	2 (no others)
4	−1	2*, 3 (no others)
4	−3	3, 5, 19, 37, 173, 211, 227, 619, 977, 1237, 2437, 5741, 13463, 23929, 81223, 121271, ...	A128066
5	4	3, 43, 59, 191, 223, 349, 563, 709, 743, 1663, 5471, 17707, 19609, 35449, 36697, 45259, 91493, 246497, 265007, 289937, ...	A059802
5	3	13, 19, 23, 31, 47, 127, 223, 281, 2083, 5281, 7411, 7433, 19051, 27239, 35863, 70327, ...	A121877
5	2	2, 5, 7, 13, 19, 37, 59, 67, 79, 307, 331, 599, 1301, 12263, 12589, 18443, 20149, 27983, ...	A082182
5	1	3, 7, 11, 13, 47, 127, 149, 181, 619, 929, 3407, 10949, 13241, 13873, 16519, 201359, 396413, 1888279, ...	A004061
5	−1	5, 67, 101, 103, 229, 347, 4013, 23297, 30133, 177337, 193939, 266863, 277183, 335429, ...	A057171
5	−2	2*, 3, 17, 19, 47, 101, 1709, 2539, 5591, 6037, 8011, 19373, 26489, 27427, ...	A082387
5	−3	2*, 3, 5, 7, 17, 19, 109, 509, 661, 709, 1231, 12889, 13043, 26723, 43963, 44789, ...	A122853
5	−4	4*, 5, 7, 19, 29, 61, 137, 883, 1381, 1823, 5227, 25561, 29537, 300893, ...	A128335
6	5	2, 5, 11, 13, 23, 61, 83, 421, 1039, 1511, 31237, 60413, 113177, 135647, 258413, ...	A062572
6	1	2, 3, 7, 29, 71, 127, 271, 509, 1049, 6389, 6883, 10613, 19889, 79987, 608099, ...	A004062
6	−1	2*, 3, 11, 31, 43, 47, 59, 107, 811, 2819, 4817, 9601, 33581, 38447, 41341, 131891, 196337, ...	A057172
6	−5	3, 4*, 5, 17, 397, 409, 643, 1783, 2617, 4583, 8783, ...	A128336
7	6	2, 3, 7, 29, 41, 67, 1327, 1399, 2027, 69371, 86689, 355039, ...	A062573
7	5	3, 5, 7, 113, 397, 577, 7573, 14561, 58543, ...	A128344
7	4	2, 5, 11, 61, 619, 2879, 2957, 24371, 69247, ...	A213073
7	3	3, 7, 19, 109, 131, 607, 863, 2917, 5923, 12421, ...	A128024
7	2	3, 7, 19, 79, 431, 1373, 1801, 2897, 46997, ...	A215487
7	1	5, 13, 131, 149, 1699, 14221, 35201, 126037, 371669, 1264699, ...	A004063
7	−1	3, 17, 23, 29, 47, 61, 1619, 18251, 106187, 201653, ...	A057173
7	−2	2*, 5, 23, 73, 101, 401, 419, 457, 811, 1163, 1511, 8011, ...	A125955
7	−3	3, 13, 31, 313, 3709, 7933, 14797, 30689, 38333, ...	A128067
7	−4	2*, 3, 5, 19, 41, 47, 8231, 33931, 43781, 50833, 53719, 67211, ...	A218373
7	−5	2*, 11, 31, 173, 271, 547, 1823, 2111, 5519, 7793, 22963, 41077, 49739, ...	A128337
7	−6	3, 53, 83, 487, 743, ...	A187805
8	7	7, 11, 17, 29, 31, 79, 113, 131, 139, 4357, 44029, 76213, 83663, 173687, 336419, 615997, ...	A062574
8	5	2, 19, 1021, 5077, 34031, 46099, 65707, ...	A128345
8	3	2, 3, 7, 19, 31, 67, 89, 9227, 43891, ...	A128025
8	1	3 (no others)
8	−1	2* (no others)
8	−3	2*, 5, 163, 191, 229, 271, 733, 21059, 25237, ...	A128068
8	−5	2*, 7, 19, 167, 173, 223, 281, 21647, ...	A128338
8	−7	4*, 7, 13, 31, 43, 269, 353, 383, 619, 829, 877, 4957, 5711, 8317, 21739, 24029, 38299, ...	A181141
9	8	2, 7, 29, 31, 67, 149, 401, 2531, 19913, 30773, 53857, 170099, ...	A059803
9	7	3, 5, 7, 4703, 30113, ...	A273010
9	5	3, 11, 17, 173, 839, 971, 40867, 45821, ...	A128346
9	4	2 (no others)
9	2	2, 3, 5, 13, 29, 37, 1021, 1399, 2137, 4493, 5521, ...	A173718
9	1	(none)
9	−1	3, 59, 223, 547, 773, 1009, 1823, 3803, 49223, 193247, 703393, ...	A057175
9	−2	2*, 3, 7, 127, 283, 883, 1523, 4001, ...	A125956
9	−4	2*, 3, 5, 7, 11, 17, 19, 41, 53, 109, 167, 2207, 3623, 5059, 5471, 7949, 21211, 32993, 60251, ...	A211409
9	−5	3, 5, 13, 17, 43, 127, 229, 277, 6043, 11131, 11821, ...	A128339
9	−7	2*, 3, 107, 197, 2843, 3571, 4451, ..., 31517, ...	A301369
9	−8	3, 7, 13, 19, 307, 619, 2089, 7297, 75571, 76103, 98897, ...	A187819
10	9	2, 3, 7, 11, 19, 29, 401, 709, 2531, 15787, 66949, 282493, ...	A062576
10	7	2, 31, 103, 617, 10253, 10691, ...	A273403
10	3	2, 3, 5, 37, 599, 38393, 51431, ...	A128026
10	1	2, 19, 23, 317, 1031, 49081, 86453, 109297, 270343, ...	A004023
10	−1	5, 7, 19, 31, 53, 67, 293, 641, 2137, 3011, 268207, ...	A001562
10	−3	2*, 3, 19, 31, 101, 139, 167, 1097, 43151, 60703, 90499, ...	A128069
10	−7	2*, 3, 5, 11, 19, 1259, 1399, 2539, 2843, 5857, 10589, ...
10	−9	4*, 7, 67, 73, 1091, 1483, 10937, ...	A217095
11	10	3, 5, 19, 311, 317, 1129, 4253, 7699, 18199, 35153, 206081, ...	A062577
11	9	5, 31, 271, 929, 2789, 4153, ...	A273601
11	8	2, 7, 11, 17, 37, 521, 877, 2423, ...	A273600
11	7	5, 19, 67, 107, 593, 757, 1801, 2243, 2383, 6043, 10181, 11383, 15629, ...	A273599
11	6	2, 3, 11, 163, 191, 269, 1381, 1493, ...	A273598
11	5	5, 41, 149, 229, 263, 739, 3457, 20269, 98221, ...	A128347
11	4	3, 5, 11, 17, 71, 89, 827, 22307, 45893, 63521, ...	A216181
11	3	3, 5, 19, 31, 367, 389, 431, 2179, 10667, 13103, 90397, ...	A128027
11	2	2, 5, 11, 13, 331, 599, 18839, 23747, 24371, 29339, 32141, 67421, ...	A210506
11	1	17, 19, 73, 139, 907, 1907, 2029, 4801, 5153, 10867, 20161, 293831, ...	A005808
11	−1	5, 7, 179, 229, 439, 557, 6113, 223999, 327001, ...	A057177
11	−2	3, 5, 17, 67, 83, 101, 1373, 6101, 12119, 61781, ...	A125957
11	−3	3, 103, 271, 523, 23087, 69833, ...	A128070
11	−4	2*, 7, 53, 67, 71, 443, 26497, ...	A224501
11	−5	7, 11, 181, 421, 2297, 2797, 4129, 4139, 7151, 29033, ...	A128340
11	−6	2*, 5, 7, 107, 383, 17359, 21929, 26393, ...
11	−7	7, 1163, 4007, 10159, ...
11	−8	2*, 3, 13, 31, 59, 131, 223, 227, 1523, ...
11	−9	2*, 3, 17, 41, 43, 59, 83, ...
11	−10	53, 421, 647, 1601, 35527, ...	A185239
12	11	2, 3, 7, 89, 101, 293, 4463, 70067, ...	A062578
12	7	2, 3, 7, 13, 47, 89, 139, 523, 1051, ...	A273814
12	5	2, 3, 31, 41, 53, 101, 421, 1259, 4721, 45259, ...	A128348
12	1	2, 3, 5, 19, 97, 109, 317, 353, 701, 9739, 14951, 37573, 46889, 769543, ...	A004064
12	−1	2*, 5, 11, 109, 193, 1483, 11353, 21419, 21911, 24071, 106859, 139739, ...	A057178
12	−5	2*, 3, 5, 13, 347, 977, 1091, 4861, 4967, 34679, ...	A128341
12	−7	2*, 3, 7, 67, 79, 167, 953, 1493, 3389, 4871, ...
12	−11	47, 401, 509, 8609, ...	A213216

^*Note: if b < 0 and n is even, then the numbers n are not included in the corresponding OEIS sequence.

A conjecture related to the generalized Mersenne primes:^[3][105] (the conjecture predicts where is the next generalized Mersenne prime, if the conjecture is true, then there are infinitely many primes for all such (a,b) pairs)

For any integers a and b which satisfy the conditions:

1. a > 1, −a < b < a.
2. a and b are coprime. (thus, b cannot be 0)
3. For every natural number r > 1, a and b are not both perfect rth powers. (since when a and b are both perfect rth powers, it can be shown that there are at most two n value such that aⁿ − bⁿ/a − b is prime, and these n values are r itself or a root of r, or 2)
4. −4ab is not a perfect fourth power (if so, then the number has aurifeuillean factorization).

has prime numbers of the form

${\displaystyle R_{p}(a,b)={\frac {a^{p}-b^{p}}{a-b}}}$

for prime p, the prime numbers will be distributed near the best fit line

${\displaystyle Y=G\cdot \log _{a}(\log _{a}(R_{(a,b)}(n)))+C}$

where

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }G={\frac {1}{e^{\gamma }}}=0.561459483566\ldots }$

and there are about

${\displaystyle (\log _{e}(N)+m\cdot \log _{e}(2)\cdot \log _{e}\left(\log _{e}(N))+{\frac {1}{\sqrt {N}}}-\delta \right)\cdot {\frac {e^{\gamma }}{\log _{e}(a)}}}$

prime numbers of this form less than N.

• e is the base of the natural logarithm.
• γ is the Euler–Mascheroni constant.
• log_a is the logarithm in base a.
• R_(a,b)(n) is the nth prime number of the form a^p − b^p/a − b for prime p.
• C is a data fit constant which varies with a and b.
• δ is a data fit constant which varies with a and b.
• m is the largest natural number such that a and −b are both perfect 2^{m − 1}th powers.

We also have the following three properties:

1. The number of prime numbers of the form a^p − b^p/a − b (with prime p) less than or equal to n is about e^γ log_a(log_a(n)).
2. The expected number of prime numbers of the form a^p − b^p/a − b with prime p between n and an is about e^γ.
3. The probability that number of the form a^p − b^p/a − b is prime (for prime p) is about e^γ/p log_e(a).

If this conjecture is true, then for all such (a,b) pairs, let q be the nth prime of the form a^p − b^p/a − b, the graph of log_a(log_a(q)) versus n is almost linear. (See ^[3])

When a = b + 1, it is (b + 1)ⁿ − bⁿ, a difference of two consecutive perfect nth powers, and if aⁿ − bⁿ is prime, then a must be b + 1, because it is divisible by a − b.

Least n such that (b + 1)ⁿ − bⁿ is prime are

2, 2, 2, 3, 2, 2, 7, 2, 2, 3, 2, 17, 3, 2, 2, 5, 3, 2, 5, 2, 2, 229, 2, 3, 3, 2, 3, 3, 2, 2, 5, 3, 2, 3, 2, 2, 3, 3, 2, 7, 2, 3, 37, 2, 3, 5, 58543, 2, 3, 2, 2, 3, 2, 2, 3, 2, 5, 3, 4663, 54517, 17, 3, 2, 5, 2, 3, 3, 2, 2, 47, 61, 19, ... (sequence A058013 in the OEIS)

Least b such that (b + 1)^prime(n) − b^prime(n) is prime are

1, 1, 1, 1, 5, 1, 1, 1, 5, 2, 1, 39, 6, 4, 12, 2, 2, 1, 6, 17, 46, 7, 5, 1, 25, 2, 41, 1, 12, 7, 1, 7, 327, 7, 8, 44, 26, 12, 75, 14, 51, 110, 4, 14, 49, 286, 15, 4, 39, 22, 109, 367, 22, 67, 27, 95, 80, 149, 2, 142, 3, 11, ... (sequence A222119 in the OEIS)

See also

• Repunit
• Fermat prime
• Power of two
• Erdős–Borwein constant
• Mersenne conjectures
• Mersenne twister
• Double Mersenne number
• Prime95 / MPrime
• Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS)
• Largest known prime number
• Titanic prime
• Gigantic prime
• Megaprime
• Wieferich prime
• Wagstaff prime
• Cullen prime
• Woodall prime
• Proth prime
• Solinas prime
• Gillies' conjecture
• Williams number

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39. "M. E. Fauquenbergue a trouvé ses résultats depuis Février, et j’en ai reçu communication le 7 Juin; M. Powers a envoyé le 1^er Juin un cablógramme à M. Bromwich [secretary of London Mathematical Society] pour M₁₀₇. Sur ma demande, ces deux auteurs m’ont adressé leurs remarquables résultats, et je m’empresse de les publier dans nos colonnes, avec nos felicitations." p. 103, André Gérardin, Nombres de Mersenne pp. 85, 103–108 in Sphinx-Œdipe. [Journal mensuel de la curiosité, de concours & de mathématiques.] v. 9, No. 1, 1914.
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External links

Look up Mersenne prime in Wiktionary, the free dictionary.

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• GIMPS home page
• GIMPS status — status page gives various statistics on search progress, typically updated every week, including progress towards proving the ordering of the largest known Mersenne primes
• GIMPS, known factors of Mersenne numbers
• M_q = (8x)² − (3qy)² Property of Mersenne numbers with prime exponent that are composite (PDF)
• M_q = x² + d·y² math thesis (PS)
• Grime, James. "31 and Mersenne Primes". Numberphile. Brady Haran. Archived from the original on 2013-05-31. Retrieved 2013-04-06.
• Mersenne prime bibliography with hyperlinks to original publications
• report about Mersenne primes — detection in detail (in German)
• GIMPS wiki
• Will Edgington's Mersenne Page — contains factors for small Mersenne numbers
• Known factors of Mersenne numbers
• Decimal digits and English names of Mersenne primes
• Prime curios: 2305843009213693951
• http://www.leyland.vispa.com/numth/factorization/cunningham/2-.txt Archived 2014-11-05 at the Wayback Machine
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• OEIS sequence A250197 (Numbers n such that the left Aurifeuillian primitive part of 2^n+1 is prime)—Factorization of Mersenne numbers M_n (n up to 1280)
• Factorization of completely factored Mersenne numbers
• The Cunningham project, factorization of bn ± 1, b = 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 12
• http://www.leyland.vispa.com/numth/factorization/cunningham/main.htm Archived 2016-03-04 at the Wayback Machine
• http://www.leyland.vispa.com/numth/factorization/anbn/main.htm Archived 2016-02-02 at the Wayback Machine

MathWorld links

• Weisstein, Eric W. "Mersenne number". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Mersenne prime". MathWorld.