En matemáticas , los componentes de Fatou son componentes del conjunto de Fatou . Fueron nombrados en honor a Pierre Fatou .
Caso racional
Si f es una función racional
definida en el plano complejo extendido , y si es una función no lineal (grado> 1)
luego para un componente periódico del conjunto de Fatou , exactamente uno de los siguientes valores:
- contiene un punto periódico de atracción
- es parabólico [1]
- es un disco de Siegel : un componente Fatou simplemente conectado en el que f ( z ) se conjuga analíticamente con una rotación euclidiana del disco unitario sobre sí mismo mediante un ángulo de rotación irracional.
- es un anillo de Herman : un componente Fatou de doble conexión (un anillo ) en el que f ( z ) se conjuga analíticamente con una rotación euclidiana de un anillo redondo, de nuevo mediante un ángulo de rotación irracional.
Conjunto Julia (blanco) y Conjunto Fatou (rojo oscuro / verde / azul) para con en el plano complejo.
Conjunto de Julia con ciclos superatractores (hiperbólicos) en el interior y el exterior
Niveles de curvas y rayos en un caso muy atractivo.
Julia set con ciclo parabólico
Conjunto de Julia con disco Siegel (estuche elíptico)
Julia engastada con anillo Herman
Atraer punto periódico
Los componentes del mapa contener los puntos de atracción que son las soluciones para . Esto se debe a que el mapa es el que se usa para encontrar soluciones a la ecuación.por la fórmula de Newton-Raphson . Las soluciones, naturalmente, deben atraer puntos fijos.
Anillo herman
El mapa
y t = 0,6151732 ... producirá un anillo de Herman. [2] Shishikura muestra que el grado de dicho mapa debe ser de al menos 3, como en este ejemplo.
Más de un tipo de componente
Si el grado d es mayor que 2, entonces hay más de un punto crítico y luego puede haber más de un tipo de componente.
Herman + Parabólico
Período 3 y 105
atrayente y parabólico
período 1 y período 1
Caso trascendental
Dominio Baker
En el caso de las funciones trascendentales, existe otro tipo de componentes periódicos de Fatou, llamados dominio de Baker : estos son " dominios en los que las iteraciones tienden a una singularidad esencial (no es posible para polinomios y funciones racionales)" [3] [4] Función de ejemplo: [5]
Dominio errante
Los mapas trascendentales pueden tener dominios errantes : estos son componentes de Fatou que finalmente no son periódicos.
Ver también
Referencias
- Lennart Carleson y Theodore W. Gamelin, Complex Dynamics , Springer 1993.
- Alan F. Beardon Iteración de funciones racionales , Springer 1991.
- ^ wikilibros: conjuntos de Julia parabólicos
- ^ Milnor, John W. (1990), Dinámica en una variable compleja , arXiv : math / 9201272 , Bibcode : 1992math ...... 1272M
- ^ Una introducción a la dinámica holomórfica (con especial énfasis en las funciones trascendentales) por L. Rempe
- ^ Discos Siegel en dinámica compleja por Tarakanta Nayak
- ↑ Una familia trascendental con dominios Baker de Aimo Hinkkanen, Hartje Kriete y Bernd Krauskopf
- ^ JULIA Y JUAN REVISADOS POR NICOLAE MIHALACHE