En matemáticas , un espacio acíclico es un espacio topológico X en el que los ciclos son siempre límites, en el sentido de la teoría de la homología . Esto implica que los grupos de homología integral en todas las dimensiones de X son isomorfos a los grupos de homología correspondientes de un punto.
En otras palabras, usando la idea de homología reducida ,
Es común considerar tal espacio como un espacio sin "agujeros", por ejemplo, un círculo o una esfera no es acíclico pero un disco o una bola es acíclico. Sin embargo, esta condición es más débil que pedir que cada bucle cerrado en el espacio uniría un disco en el espacio, todo lo que pedimos es que cualquier bucle cerrado, y un análogo de dimensión superior del mismo, uniría algo así como una "superficie bidimensional". La condición de aciclicidad en un espacio X implica, por ejemplo, para espacios agradables —digamos, complejos simples— que cualquier mapa continuo de X hacia el círculo o las esferas superiores es homotópico nulo.
Si un espacio X es contráctil , entonces también es acíclico, por la invariancia de homotopía de la homología. Lo contrario no es cierto, en general. No obstante, si X es un complejo CW acíclico , y si el grupo fundamental de X es trivial, entonces X es un espacio contráctil , como se deduce del teorema de Whitehead y del teorema de Hurewicz .
Ejemplos de
Los espacios acíclicos ocurren en topología , donde se pueden utilizar para construir otros espacios topológicos más interesantes.
Por ejemplo, si se quita un solo punto de una variedad M que es una esfera de homología , se obtiene ese espacio. Los grupos de homotopía de un espacio acíclico X no desaparecen en general, porque el grupo fundamentalno tiene por qué ser trivial. Por ejemplo, la esfera de homología de Poincaré perforada es una variedad tridimensional acíclica que no es contráctil.
Esto da un repertorio de ejemplos, ya que el primer grupo de homología es la abelianización del grupo fundamental. Con cada grupo perfecto G se puede asociar un espacio acíclico (canónico, terminal), cuyo grupo fundamental es una extensión central del grupo G dado .
Los grupos de homotopía de estos espacios acíclicos asociados están estrechamente relacionados con la construcción plus de Quillen en el espacio de clasificación BG .
Grupos acíclicos
Un grupo acíclico es un grupo G cuyo espacio de clasificación BG es acíclico; en otras palabras, todos sus grupos de homología (reducidos) desaparecen, es decir,, para todos . Cada grupo acíclico es, por tanto, un grupo perfecto , lo que significa que su primer grupo de homología desaparece:, y de hecho, un grupo superperfecto , lo que significa que los dos primeros grupos de homología desaparecen:. Lo contrario no es cierto: el grupo icosaédrico binario es superperfecto (por lo tanto perfecto) pero no acíclico.
Ver también
Referencias
- Emmanuel Dror, "Acyclic spaces", Topology 11 (1972), 339–348. Señor 0315713
- Emmanuel Dror, "Homology spheres", Israel Journal of Mathematics 15 (1973), 115-129. SEÑOR0328926
- A. Jon Berrick y Jonathan A. Hillman, "Subgrupos perfectos y acíclicos de grupos finitamente presentables", Revista de la London Mathematical Society (2) 68 (2003), no. 3, 683–698. SEÑOR2009444
enlaces externos
- "Grupos acíclicos" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]