En matemáticas , el grupo icosaédrico binario 2 I o ⟨2,3,5⟩ es un cierto grupo nobeliano de orden 120. Es una extensión del grupo icosaédrico I o (2,3,5) de orden 60 por el grupo cíclico de orden 2, y es la preimagen del grupo icosaédrico bajo el homomorfismo de cobertura 2: 1
del grupo ortogonal especial por el grupo de espín . De ello se deduce que el grupo icosaédrico binario es un subgrupo discreto de Spin (3) de orden 120.
No debe confundirse con el grupo icosaédrico completo , que es un grupo diferente de orden 120, y es más bien un subgrupo del grupo ortogonal O (3).
El grupo icosaédrico binario se describe más fácilmente concretamente como un subgrupo discreto de los cuaterniones unitarios , bajo el isomorfismodonde Sp (1) es el grupo multiplicativo de cuaterniones unitarios. (Para obtener una descripción de este homomorfismo, consulte el artículo sobre cuaterniones y rotaciones espaciales ).
Elementos
Explícitamente, el grupo icosaédrico binario se da como la unión de las 24 unidades de Hurwitz
con los 96 cuaterniones obtenidos de
mediante una permutación par de las cuatro coordenadas 0, 1, φ −1 , φ , y con todas las combinaciones de signos posibles. Aquí φ = (1 + √ 5 ) / 2 es la proporción áurea .
En total hay 120 elementos, a saber, la unidad icosianos . Todos tienen magnitud unitaria y, por lo tanto, se encuentran en el grupo de cuaterniones unitarios Sp (1).
Los 120 elementos en el espacio de 4 dimensiones coinciden con los 120 vértices de las 600 celdas , un politopo regular de 4 .
Propiedades
Extensión central
El grupo icosaédrico binario, denotado por 2 I , es la extensión central perfecta universal del grupo icosaédrico y, por tanto, es cuasimple : es una extensión central perfecta de un grupo simple. [ cita requerida ]
Explícitamente, encaja en la breve secuencia exacta
Esta secuencia no dividida , lo que significa que 2 I es no un producto semidirecto de {± 1} por I . De hecho, no hay ningún subgrupo de 2 I isomorfo a I .
El centro de 2 I es el subgrupo {± 1}, de modo que el grupo de automorfismos interior es isomorfo a I . El grupo de automorfismo completo es isomorfo a S 5 (el grupo simétrico de 5 letras), al igual que para- cualquier automorfismo de 2 I fija el elemento no trivial del centro (), por tanto desciende a un automorfismo de I, y viceversa, cualquier automorfismo de I se eleva a un automorfismo de 2 I, ya que los ascensores de generadores de I son generadores de 2 I (diferentes ascensores dan el mismo automorfismo).
Superperfecto
El grupo icosaédrico binario es perfecto , lo que significa que es igual a su subgrupo de conmutadores . De hecho, 2 I es el único grupo perfecto de orden 120. De ello se deduce que 2 I no se puede resolver .
Además, el grupo icosaédrico binario es superperfecto , lo que significa abstractamente que sus dos primeros grupos de homología de grupo desaparecen:Concretamente, esto significa que su abelianización es trivial (no tiene cocientes abelianos no triviales) y que su multiplicador de Schur es trivial (no tiene extensiones centrales perfectas no triviales). De hecho, el grupo icosaédrico binario es el grupo superperfecto más pequeño (no trivial). [ cita requerida ]
Sin embargo, el grupo icosaédrico binario no es acíclico , ya que H n (2 I , Z ) es cíclico de orden 120 para n = 4 k +3, y trivial para n > 0 en caso contrario, ( Adem & Milgram 1994 , p. 279) .
Isomorfismos
Concretamente, el grupo icosaédrico binario es un subgrupo de Spin (3) y cubre el grupo icosaédrico, que es un subgrupo de SO (3). De manera abstracta, el grupo icosaédrico es isomorfo a las simetrías del 4- simplex , que es un subgrupo de SO (4), y el grupo icosaédrico binario es isomorfo a la doble cobertura de este en Spin (4). Tenga en cuenta que el grupo simétrico no tienen una representación de 4 dimensiones (su habitual representación irreducible más bajo dimensiones como las simetrías de pleno derecho de la-simplex), y que las simetrías completas del 4-simplex son, no el grupo icosaédrico completo (estos son dos grupos diferentes de orden 120). [ cita requerida ]
El grupo icosaédrico binario se puede considerar como la doble cubierta del grupo alterno. denotado este isomorfismo cubre el isomorfismo del grupo icosaédrico con el grupo alterno . Tal como es un subgrupo discreto de , es un subgrupo discreto del doble de , a saber . El homomorfismo 2-1 de a luego se restringe al homomorfismo 2-1 de a . Similar, es un subgrupo discreto de , y sus dos cubiertas dobles son subgrupos discretos de los dos grupos de pines . [ cita requerida ]
Se puede demostrar que el grupo icosaédrico binario es isomorfo al grupo lineal especial SL (2,5) - el grupo de todas las matrices 2 × 2 sobre el campo finito F 5 con determinante unitario; esto cubre el isomorfismo excepcional decon el grupo lineal especial proyectivo PSL (2,5).
Tenga en cuenta también el isomorfismo excepcional que es un grupo diferente de orden 120, con el cuadrado conmutativo de SL, GL, PSL, PGL isomorfo a un cuadrado conmutativo de que son isomorfos a los subgrupos del cuadrado conmutativo de Spin (4), Pin (4), SO (4), O (4).
Presentación
El grupo 2 I tiene una presentación a cargo de
o equivalente,
Los generadores con estas relaciones están dados por
Subgrupos
El único subgrupo normal apropiado de 2 I es el centro {± 1}.
Según el tercer teorema del isomorfismo , existe una conexión de Galois entre subgrupos de 2 I y subgrupos de I , donde el operador de cierre en subgrupos de 2 I es la multiplicación por {± 1}.
es el único elemento de orden 2, por lo que está contenido en todos los subgrupos de orden incluso: así cada subgrupo de 2 I es ya sea de orden impar o es la imagen inversa de un subgrupo de I .
Además de los grupos cíclicos generados por los diversos elementos (que pueden tener un orden impar), los únicos otros subgrupos de 2 I (hasta la conjugación) son: [1]
- grupos diédricos binarios , Dic 5 = Q20 = ⟨2,2,5⟩, orden 20 y Dic 3 = Q12 = ⟨2,2,3⟩ de orden 12
- El grupo de cuaterniones , Q8 = ⟨2,2,2⟩, que consta de las 8 unidades de Lipschitz forma un subgrupo de índice 15, que también es el grupo dicíclico Dic 2 ; esto cubre el estabilizador de un borde.
- Las 24 unidades de Hurwitz forman un subgrupo de índice 5 llamado grupo tetraédrico binario ; esto cubre un grupo tetraédrico quiral . Este grupo se auto-normaliza, por lo que su clase de conjugación tiene 5 miembros (esto da un mapa cuya imagen es ).
Relación con grupos de simetría de 4 dimensiones
El análogo de 4 dimensiones del grupo de simetría icosaédrico I h es el grupo de simetría de las 600 celdas (también el de su dual, las 120 celdas ). Así como el primero es el grupo Coxeter de tipo H 3 , el segundo es el grupo Coxeter de tipo H 4 , también denominado [3,3,5]. Su subgrupo rotacional, denotado [3,3,5] + es un grupo de orden 7200 que vive en SO (4) . SO (4) tiene una doble cobertura llamada Spin (4) de la misma manera que Spin (3) es la doble cobertura de SO (3). Similar al isomorfismo Spin (3) = Sp (1), el grupo Spin (4) es isomorfo a Sp (1) × Sp (1).
La preimagen de [3,3,5] + en Spin (4) (un análogo tetradimensional de 2 I ) es precisamente el grupo de productos 2 I × 2 I de orden 14400. El grupo de simetría rotacional de las 600 celdas es luego
- [3, 3, 5] + = (2 I × 2 I ) / {± 1}.
Varios otros grupos de simetría 4-dimensionales se pueden construir a partir de 2 I . Para obtener más información, consulte (Conway y Smith, 2003).
Aplicaciones
El espacio clase lateral de la vuelta (3) / 2 I = S 3 /2 I es un esférica 3-colector llama la esfera homología Poincaré . Es un ejemplo de una esfera de homología , es decir, una variedad de 3 cuyos grupos de homología son idénticos a los de una esfera de 3 . El grupo fundamental de la esfera de Poincaré es isomorfo al grupo icosaédrico binario, ya que la esfera de Poincaré es el cociente de una esfera 3 por el grupo icosaédrico binario.
Ver también
- grupo poliédrico binario
- grupo cíclico binario , ⟨ n ⟩, orden 2 n
- grupo diedro binario , ⟨2,2, n ⟩, orden de 4 n
- grupo tetraédrico binario , 2T = ⟨2,3,3⟩, orden 24
- grupo octaédrico binario , 2O = ⟨2,3,4⟩, orden 48
Referencias
- Adem, Alejandro ; Milgram, R. James (1994), Cohomología de grupos finitos , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Principios fundamentales de las ciencias matemáticas], 309 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-57025-7, MR 1317096
- Coxeter, HSM y Moser, WOJ (1980). Generadores y Relaciones para Grupos Discretos, 4ª edición . Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-09212-9.6.5 Los grupos poliédricos binarios, pág. 68
- Conway, John H .; Smith, Derek A. (2003). Sobre cuaterniones y octoniones . Natick, Massachusetts: AK Peters, Ltd. ISBN 1-56881-134-9.
Notas
- ^ en GroupNames