Teoría ideal

En matemáticas , la teoría ideal es la teoría de los ideales en anillos conmutativos ; y es el nombre precursor de la asignatura contemporánea de álgebra conmutativa . El nombre surgió de las consideraciones centrales, como el teorema de Lasker-Noether en geometría algebraica , y el grupo de clases ideal en la teoría algebraica de números , del álgebra conmutativa del primer cuarto del siglo XX. Se utilizó en el influyente texto de van der Waerden sobre álgebra abstracta de alrededor de 1930.

La teoría ideal en cuestión se había basado en la teoría de la eliminación , pero de acuerdo con el gusto de David Hilbert se alejó de los métodos algorítmicos . La teoría de la base de Gröbner ahora ha revertido la tendencia del álgebra computacional .

La importancia de la idea de un módulo , más general que un ideal , probablemente llevó a la percepción de que la teoría ideal era una descripción demasiado estrecha. La teoría de la valoración también fue una extensión técnica importante y fue utilizada por Helmut Hasse y Oscar Zariski . Bourbaki usó álgebra conmutativa ; a veces, el álgebra local se aplica a la teoría de los anillos locales . La Cambridge Tract Ideal Theory de Douglas Northcott de 1953 (reeditada en 2004 con el mismo título) fue una de las últimas apariciones del nombre.

Sea R un anillo y M un módulo R. Entonces, cada ideal de R determina una topología en M llamada topología -ádica tal que un subconjunto U de M está abierto si y solo si para cada x en U existe un entero positivo n tal que ${\ Displaystyle {\ mathfrak {a}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {a}}}$

Con respecto a esta topología -ádica, es una base de vecindad y hace que las operaciones del módulo sean continuas; en particular, es un grupo topológico posiblemente ajeno a Hausdorff . Además, M es un espacio topológico de Hausdorff si y solo si Además, cuando es Hausdorff, la topología es la misma que la topología espacial métrica dada al definir la función de distancia: para , donde es un número entero tal que . ${\ Displaystyle {\ mathfrak {a}}}$ ${\ Displaystyle \ {x + {\ mathfrak {a}} ^ {n} M \} _ {n}}$ ${\ Displaystyle x}$ ${\ Displaystyle M}$ ${\ textstyle \ bigcap _ {n> 0} {\ mathfrak {a}} ^ {n} M = 0.}$ ${\ Displaystyle M}$ ${\ Displaystyle d (x, y) = 2 ^ {- n}}$ ${\ Displaystyle x \ neq y}$ ${\ Displaystyle n}$ ${\ Displaystyle xy \ in {\ mathfrak {a}} ^ {n} M - {\ mathfrak {a}} ^ {n + 1} M}$