En matemáticas , un paquete adjunto [1] [2] es un paquete de vectores asociado naturalmente a cualquier paquete principal . Las fibras del paquete adjunto llevan una estructura de álgebra de Lie que convierte el paquete adjunto en un paquete de álgebra (no asociativo) . Los paquetes adjuntos tienen aplicaciones importantes en la teoría de conexiones , así como en la teoría de gauge .
Definicion formal
Sea G un grupo de Lie con álgebra de Lie , y sea P un paquete G principal sobre una variedad M suave . Dejar
ser la representación adjunta de G . El paquete adjunto de P es el paquete asociado
El paquete adjunto también se denota comúnmente por . Explícitamente, los elementos del paquete adjunto son clases de equivalencia de pares [ p , x ] para p ∈ P y x ∈ tal que
para todos g ∈ G . Dado que el grupo de la estructura del haz adjunto consiste en álgebra de Lie automorfismos , las fibras llevan naturalmente una estructura de álgebra de Lie haciendo que el haz adjunto en un haz de Lie álgebra sobre M .
Ejemplo
Sea G cualquier grupo de Lie con un subgrupo cerrado H y sea L el álgebra de Lie de G. Dado que G es un grupo de transformación topológica de L por la acción adjunta de G, es decir, para cada y ~ , tenemos ,
definido por
dónde es la representación adjunta de G, es un homomorfismo de G en A que es un grupo de automorfismo de G y es el mapeo de G en sí mismo. H es un grupo de transformación topológica de L y obviamente para cada u en H, es un automorfismo del álgebra de Lie.
dado que H es un subgrupo cerrado de un grupo de Lie G, hay un paquete principal localmente trivial sobre X = G / H que tiene a H como grupo de estructura. Entonces la existencia de funciones de coordenadas está asegurado donde es una cobertura abierta para X. Entonces, por el teorema de existencia, existe un paquete de Lie con el mapeo continuo induciendo en cada fibra el soporte de Lie. [3]
Propiedades
Formas diferenciales en M con valores enestán en correspondencia uno-a-uno con horizontales, G -equivariant Lie formas de álgebra de valor en P . Un buen ejemplo es la curvatura de cualquier conexión en P que puede considerarse como una forma 2 en M con valores en.
El espacio de las secciones del paquete adjunto es, naturalmente, un álgebra de Lie (de dimensión infinita). Puede considerarse como el álgebra de Lie del grupo de Lie de dimensión infinita de transformaciones de gauge de P que se pueden considerar como secciones del paquete P × Ψ G donde Ψ es la acción de G sobre sí mismo por conjugación .
Si es el paquete de cuadros de un paquete de vectores , luego tiene fibra el grupo lineal general (ya sea real o complejo, dependiendo de ) dónde . Este grupo de estructura tiene álgebra de Lie que consta de todos matrices , y estos pueden considerarse como los endomorfismos del paquete de vectores . De hecho, existe un isomorfismo natural.
Notas
- ^ Janyška, J. (2006). "Teorema similar a Utiyama de orden superior". Informes de Física Matemática . 58 : 93–118 Véase la pág. 96. Código Bibliográfico : 2006RpMP ... 58 ... 93J . doi : 10.1016 / s0034-4877 (06) 80042-x .
- ^ Kolář, Michor y Slovák 1993 , págs. 161, 400
- ^ Kiranagi, BS (1984), "Conjuntos de álgebra de Lie y anillos de Lie", Proc. Natl. Acad. Sci. India A , 54 : 38–44
Referencias
- Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996), Fundamentos de la geometría diferencial , 1 , Wiley Interscience , ISBN 0-471-15733-3
- Kolář, Ivan; Michor, Peter; Slovák, Jan (1993), Operadores naturales en geometría diferencial , Springer, págs. 161, 400, ISBN 978-3-662-02950-3. Como PDF