En geometría diferencial , la forma de curvatura describe la curvatura de una conexión en un paquete principal . Puede considerarse como una alternativa o generalización del tensor de curvatura en la geometría de Riemann .
Definición
Sea G un grupo de Lie con álgebra de Lie , y P → B ser un paquete G principal . Sea ω una conexión de Ehresmann en P (que es una-valuado de una forma en P ).
Entonces la forma de curvatura es la-valuado en 2 formas en P definido por
Aquí significa derivado exterior ,se define en el artículo " Forma valorada por álgebra de Lie " y D denota la derivada covariante exterior . En otros términos, [1]
donde X , Y son vectores tangentes a P .
También hay otra expresión para Ω: si X , Y son campos vectoriales horizontales en P , entonces [2]
donde hZ significa la componente horizontal de Z , a la derecha identificamos un campo vectorial vertical y un elemento de álgebra de Lie que lo genera ( campo vectorial fundamental ), yes el inverso del factor de normalización usado por convención en la fórmula para la derivada exterior .
Se dice que una conexión es plana si su curvatura desaparece: Ω = 0. De manera equivalente, una conexión es plana si el grupo de estructura se puede reducir al mismo grupo subyacente pero con la topología discreta. Ver también: paquete de vector plano .
Forma de curvatura en un paquete de vectores
Si E → B es un paquete de vectores, entonces también se puede pensar en ω como una matriz de formas 1 y la fórmula anterior se convierte en la ecuación de estructura de E. Cartan:
dónde es el producto de la cuña . Más precisamente, si y denotar componentes de ω y Ω correspondientemente, (por lo que cada es una forma 1 habitual y cada es una forma habitual de 2) entonces
Por ejemplo, para el haz tangente de una variedad de Riemann , el grupo de estructura es O ( n ) y Ω es una forma 2 con valores en el álgebra de Lie de O ( n ), es decir, las matrices antisimétricas . En este caso, la forma Ω es una descripción alternativa del tensor de curvatura , es decir
utilizando la notación estándar para el tensor de curvatura de Riemann.
Identidades Bianchi
Si es la forma 1 canónica con valores vectoriales en el paquete de marcos, la torsión del formulario de conexión es la forma 2 con valores vectoriales definida por la ecuación de estructura
donde, como arriba, D denota la derivada covariante exterior .
La primera identidad Bianchi toma la forma
La segunda identidad Bianchi toma la forma
y es válido de manera más general para cualquier conexión en un paquete principal .
Notas
Referencias
- Shoshichi Kobayashi y Katsumi Nomizu (1963) Fundamentos de la geometría diferencial , Vol. I, Capítulo 2.5 Ecuación de estructura y forma de curvatura, p 75, Wiley Interscience .