En matemáticas , un haz de marco es una fibra principal de haz F ( E ) asociado a cualquier paquete del vector E . La fibra de F ( E ) sobre un punto x es el conjunto de todas las bases ordenadas , o marcos , para E x . El grupo lineal general actúa naturalmente sobre F ( E ) a través de un cambio de base , dando al paquete de tramas la estructura de un paquete principal GL ( k , R ) (donde k es el rango de E ).
El haz de tramas de un colector liso es el asociado a su haz tangente . Por esta razón, a veces se le llama paquete de tramas tangentes .
Definición y construcción
Deje E → X ser un verdadero paquete del vector de rango k lo largo de un espacio topológico X . Un marco en un punto x ∈ X es una base ordenada para el espacio vectorial E x . De manera equivalente, un marco puede verse como un isomorfismo lineal
El conjunto de todos los marcos en x , denotado F x , tiene una acción derecha natural por el grupo lineal general GL ( k , R ) de matrices k × k invertibles : un elemento de grupo g ∈ GL ( k , R ) actúa sobre el marco p a través de la composición para dar un nuevo marco
Esta acción de GL ( k , R ) sobre F x es tanto libre como transitiva (esto se sigue del resultado del álgebra lineal estándar de que hay una transformación lineal invertible única que envía una base a otra). Como espacio topológico, F x es homeomorfo a GL ( k , R ) aunque carece de una estructura de grupo, ya que no existe un "marco preferido". Se dice que el espacio F x es un GL ( k , R ) - torsor .
El paquete de tramas de E , denotado por F ( E ) o F GL ( E ), es la unión disjunta de todos los F x :
Cada punto en F ( E ) es un par ( x , p ), donde x es un punto en X y p es un marco en x . Hay una proyección natural π: F ( E ) → X que envía ( x , p ) a x . El grupo GL ( k , R ) actúa sobre F ( E ) a la derecha como arriba. Esta acción es claramente libre y las órbitas son solo las fibras de π.
El marco de haz F ( E ) se puede dar una topología natural y estructura de paquete determinado por el de E . Sea ( U i , φ i ) ser una trivialización locales de E . Entonces para cada x ∈ U i uno tiene un isomorfismo lineal φ i , x : E x → R k . Este dato determina una biyección
dada por
Con estas biyecciones, a cada π −1 ( U i ) se le puede dar la topología de U i × GL ( k , R ). La topología en F ( E ) es la topología final coinducida por los mapas de inclusión π −1 ( U i ) → F ( E ).
Con todos los datos anteriores, el paquete de tramas F ( E ) se convierte en un paquete de fibras principal sobre X con el grupo de estructura GL ( k , R ) y trivializaciones locales ({ U i }, {ψ i }). Se puede comprobar que las funciones de transición de f ( E ) son los mismos que los de E .
La encima de todas las obras en la categoría liso así: si E es un haz vector suave sobre un múltiple liso M entonces el haz de marco de E se puede dar la estructura de un fibrado principal suave sobre M .
Paquetes de vectores asociados
Un paquete de vectores E y su paquete de tramas F ( E ) son paquetes asociados . Cada uno determina al otro. El haz de tramas F ( E ) se puede construir a partir de E como se indicó anteriormente, o de manera más abstracta utilizando el teorema de construcción de haces de fibras . Con el último método, F ( E ) es el haz de fibras con la misma base, grupo de estructura, vecindades trivializantes y funciones de transición que E pero con fibra abstracta GL ( k , R ), donde la acción del grupo de estructura GL ( k , R ) en la fibra GL ( k , R ) es el de la multiplicación por la izquierda.
Dada cualquier representación lineal ρ: GL ( k , R ) → GL ( V , F ) hay un paquete de vectores
asociado a F ( E ) que viene dado por el producto F ( E ) × V módulo la relación de equivalencia ( pg , v ) ~ ( p , ρ ( g ) v ) para todo g en GL ( k , R ). Denote las clases de equivalencia por [ p , v ].
El paquete de vectores E es naturalmente isomorfo al paquete F ( E ) × ρ R k donde ρ es la representación fundamental de GL ( k , R ) en R k . El isomorfismo está dado por
donde v es un vector en R k y p : R k → E x es un marco en x . Se puede comprobar fácilmente que este mapa está bien definido .
Cualquier paquete de vectores asociado a E puede ser dado por la construcción anterior. Por ejemplo, el paquete dual de E viene dado por F ( E ) × ρ * ( R k ) * donde ρ * es el dual de la representación fundamental. Los haces de tensores de E se pueden construir de manera similar.
Paquete de marco tangente
El haz de marco tangente (o simplemente el paquete de bastidor ) de un múltiple liso M es el paquete de marco asociado al paquete de la tangente de M . El paquete de tramas de M a menudo se denota F M o GL ( M ) en lugar de F ( TM ). Si M es n -dimensional entonces el paquete de la tangente tiene rango n , por lo que el haz de marco de M es un GL director ( n , R ) más de paquete de M .
Marcos lisos
Secciones locales del paquete marco de M se denominan tramas suaves en M . El teorema de la sección transversal para los paquetes principales establece que el paquete de tramas es trivial sobre cualquier conjunto abierto en U en M que admite una trama suave. Dado un marco suave s : U → F U , la trivialización ψ: F U → U × GL ( n , R ) está dada por
donde p es una trama en x . De ello se deduce que una variedad es paralelizable si y solo si el paquete de tramas de M admite una sección global.
Dado que el paquete tangente de M es trivializable sobre vecindades coordinadas de M, también lo es el paquete de tramas. De hecho, dado cualquier vecindario de coordenadas U con coordenadas ( x 1 ,…, x n ), los campos del vector de coordenadas
definir un marco liso en U . Una de las ventajas de trabajar con conjuntos de marcos es que permiten trabajar con marcos distintos a los marcos de coordenadas; se puede elegir un marco adaptado al problema en cuestión. A esto se le llama a veces el método de mover fotogramas .
Forma de soldadura
El haz de marco de un colector M es un tipo especial de fibrado principal en el sentido de que su geometría es fundamentalmente ligada a la geometría de M . Esta relación se puede expresar mediante una forma 1 con valor vectorial en F M llamada forma de soldadura (también conocida como forma 1 fundamental o tautológica ). Vamos x ser un punto de colector M y p un marco en x , de modo que
es un isomorfismo lineal de R n con el espacio tangente de M en x . La forma de soldadura de F M es la forma 1 valorada en R n n definida por
donde ξ es un vector tangente a F M en el punto ( x , p ), y p −1 : T x M → R n es el inverso del mapa de tramas, y dπ es el diferencial del mapa de proyección π: F M → M . La forma de soldadura es horizontal en el sentido de que desaparece en los vectores tangentes a las fibras de π y equivariante a la derecha en el sentido de que
donde R g es la traslación a la derecha por g ∈ GL ( n , R ). Una forma con estas propiedades se denomina básica o forma tensorial en F M . Tales formas son en 1-1 correspondencia con TM -valued 1-formas en M que son, a su vez, en correspondencia con 1-1 suave haz de mapas TM → TM sobre M . Visto bajo esta luz, θ es solo el mapa de identidad en TM .
Como convención de nomenclatura, el término "una forma tautológica" generalmente se reserva para el caso en el que la forma tiene una definición canónica, como la tiene aquí, mientras que "forma de soldadura" es más apropiada para aquellos casos donde la forma no está definida canónicamente. . Esta convención no se está cumpliendo aquí.
Paquete de armazón ortonormal
Si un paquete vectorial E está equipado con una métrica de paquete de Riemann, entonces cada fibra E x no es solo un espacio vectorial, sino un espacio de producto interno . Entonces es posible hablar sobre el conjunto de todos los marcos ortonormales para E x . Un marco ortonormal para E x es una base ortonormal ordenada para E x , o, de manera equivalente, una isometría lineal
donde R k está equipado con la métrica euclidiana estándar . El grupo ortogonal O ( k ) actúa libre y transitivamente en el conjunto de todos los marcos ortonormales a través de la composición correcta. En otras palabras, el conjunto de todos los marcos ortonormales es un O ( k ) - torsor derecho .
El haz de marco ortonormal de E , denotada F O ( E ), es el conjunto de todos los marcos ortonormales en cada punto x en el espacio base X . Puede construirse mediante un método completamente análogo al del paquete de marcos ordinario. El marco de haz ortonormal de un rango k de Riemann del paquete del vector E → X es un O director ( k ) -bundle sobre X . Una vez más, la construcción funciona igual de bien en la categoría suave.
Si el paquete de vectores E es orientable, entonces se puede definir el paquete de marcos ortonormales orientados de E , denominado F SO ( E ), como el paquete principal de SO ( k ) de todos los marcos ortonormales orientados positivamente.
Si M es una variedad riemanniana n- dimensional , entonces el paquete de marco ortonormal de M , denotado F O M u O ( M ), es el paquete de marco ortonormal asociado al paquete tangente de M (que está equipado con una métrica de Riemann por definición ). Si M es orientable, a continuación, uno también tiene el marco ortonormal orientada haz F SO M .
Dado un paquete de vectores de Riemann E , el paquete de marco ortonormal es un subconjunto principal O ( k ) del paquete de marco lineal general. En otras palabras, el mapa de inclusión
es el mapa del paquete principal . Se dice que F O ( E ) es una reducción del grupo de estructura de F GL ( E ) de GL ( k , R ) a O ( k ).
Estructuras G
Si un colector liso M viene con una estructura adicional, a menudo es natural considerar un subpaquete del paquete de cuadro completo de M que se adapta a la estructura dada. Por ejemplo, si M es una variedad de Riemann nos sierra por encima de que es natural considerar el paquete de marco ortonormal de H . El paquete de marco ortonormal es solo una reducción del grupo de estructura de F GL ( M ) al grupo ortogonal O ( n ).
En general, si M es una superficie lisa n -manifold y G es un subgrupo de Lie de GL ( n , R ) se define una G -Estructura en M ser una reducción del grupo estructura de F GL ( M ) a G . Explícitamente, este es un paquete G principal F G ( M ) sobre M junto con un mapa de paquete G -equivariante
sobre M .
En este lenguaje, una métrica de Riemann en M da lugar a un O ( n ) -estructura en M . Los siguientes son algunos otros ejemplos.
- Cada colector orientado tiene un haz de marco orientado que es sólo un GL + ( n , R ) -estructura en M .
- Una forma de volumen en M determina una SL ( n , R ) -estructura en M .
- A 2 n -dimensional variedad simpléctica tiene un Sp natural (2 n , R ) -estructura.
- A 2 n -dimensional complejo o variedad casi compleja tiene un GL naturales ( n , C ) -estructura.
En muchos de estos casos, una G -Estructura en M determina de forma única la estructura correspondiente en M . Por ejemplo, una SL ( n , R ) -estructura en M determina una forma de volumen en M . Sin embargo, en algunos casos, como en el caso de variedades simplécticas y complejas, se necesita una condición de integrabilidad adicional . Una estructura Sp (2 n , R ) en M determina de forma única una forma 2 no degenerada en M , pero para que M sea simpléctica, esta forma 2 también debe estar cerrada .
Referencias
- Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996), Fundamentos de la geometría diferencial , vol. 1 (Nueva ed.), Wiley Interscience , ISBN 0-471-15733-3
|volume=
tiene texto extra ( ayuda ) - Kolář, Ivan; Michor, Peter; Slovák, Jan (1993), Operadores naturales en geometría diferencial (PDF) , Springer-Verlag, archivado desde el original (PDF) en 2017-03-30 , consultado 2008-08-02
- Sternberg, S. (1983), Lectures on Differential Geometry ((2a ed.) Ed.), Nueva York: Chelsea Publishing Co., ISBN 0-8218-1385-4