En la geometría euclidiana , de especial interés son las involuciones que son transformaciones lineales o afines sobre el espacio euclidiano R n . Tales involuciones son fáciles de caracterizar y pueden describirse geométricamente.
Involuciones lineales
Dar una involución lineal es lo mismo que dar una matriz involutiva , una matriz cuadrada A tal que
donde yo es la matriz de identidad .
Es una comprobación rápida de que una matriz cuadrada D cuyos elementos son todos cero en la diagonal principal y ± 1 en la diagonal, es decir, una matriz de firma de la forma
satisface (1), es decir, es la matriz de una involución lineal. Resulta que todas las matrices que satisfacen (1) son de la forma
- A = U −1 DU ,
donde U es invertible y D es como arriba. Es decir, la matriz de cualquier involución lineal es de la forma D hasta una matriz similar . Geométricamente, esto significa que se puede obtener cualquier involución lineal tomando reflejos oblicuos contra cualquier número de 0 a n hiperplanos que pasan por el origen. (El término reflexión oblicua como se usa aquí incluye reflejos ordinarios).
Se puede verificar fácilmente que A representa una involución lineal si y solo si A tiene la forma
- A = ± (2P - I)
para un lineal de proyección P .
Involuciones afines
Si A representa una involución lineal, entonces x → A ( x - b ) + b es una involución afín . Se puede comprobar que cualquier involución afín tiene de hecho esta forma. Geométricamente, esto significa que cualquier involución afín se puede obtener tomando reflejos oblicuos contra cualquier número de 0 a n hiperplanos que pasan por un punto b .
Las involuciones afines se pueden categorizar por la dimensión del espacio afín de puntos fijos ; esto corresponde al número de valores 1 en la diagonal de la matriz similar D (ver arriba), es decir, la dimensión del espacio propio para el valor propio 1.
Las involuciones afines en 3D son:
- la identidad
- la reflexión oblicua con respecto a un plano
- el reflejo oblicuo con respecto a una línea
- la reflexión con respecto a un punto.
Involuciones isométricas
En el caso de que el espacio propio para el valor propio 1 sea el complemento ortogonal del del valor propio -1, es decir, cada vector propio con valor propio 1 es ortogonal a todo vector propio con valor propio -1, dicha involución afín es una isometría . Los dos casos extremos para los que esto siempre se aplica son la función de identidad y la inversión en un punto .
Las otras isometrías involutivas son inversión en una línea (en 2D, 3D y arriba; esto es en 2D una reflexión y en 3D una rotación alrededor de la línea en 180 °), inversión en un plano (en 3D y arriba; en 3D esto es un reflejo en un plano), inversión en un espacio 3D (en 3D: la identidad), etc.