En matemáticas , una matriz involutiva es una matriz cuadrada que es su propia inversa . Es decir, la multiplicación por la matriz A es una involución si y solo si A 2 = I , donde I es la matriz identidad n × n . Las matrices involutivas son todas raíces cuadradas de la matriz identidad. Esto es simplemente una consecuencia del hecho de que cualquier matriz no singular multiplicada por su inversa es la identidad. [1]
Ejemplos de
La matriz real 2 × 2 es involutivo siempre que [2]
Las matrices de Pauli en M (2, ℂ) son involutivas:
Una de las tres clases de matriz elemental es involutiva, a saber, la matriz elemental de intercambio de filas. Un caso especial de otra clase de matriz elemental, la que representa la multiplicación de una fila o columna por -1, también es involutiva; de hecho, es un ejemplo trivial de una matriz de firmas , todas las cuales son involutivas.
A continuación se muestran algunos ejemplos sencillos de matrices involutivas.
dónde
- I es la matriz de identidad de 3 × 3 (que es trivialmente involutiva);
- R es la matriz de identidad de 3 × 3 con un par de filas intercambiadas;
- S es una matriz de firmas .
Todas las matrices diagonales de bloques construidas a partir de matrices involutivas también serán involutivas, como consecuencia de la independencia lineal de los bloques.
Simetría
Una matriz involutiva que también es simétrica es una matriz ortogonal y, por lo tanto, representa una isometría (una transformación lineal que conserva la distancia euclidiana ). A la inversa, toda matriz involutiva ortogonal es simétrica. [3] Como caso especial de esto, toda matriz de reflexión es involutiva.
Propiedades
El determinante de una matriz involutiva sobre cualquier campo es ± 1. [4]
Si A es una matriz n × n , entonces A es involutivo si y solo si ( A + I ) / 2 es idempotente . Esta relación da una biyección entre matrices involutivas y matrices idempotentes. [4]
Si A es una matriz involutiva en M ( n , ℝ), un álgebra matricial sobre los números reales , entonces la subálgebra { x I + y A : x , y ∈ ℝ} generada por A es isomorfa a los números complejos divididos .
Si A y B son dos matrices involutivas que se conmutan entre sí (es decir, AB = BA ), AB también es involutiva.
Si A es una matriz involutiva, entonces cada potencia entera de A es involutiva. De hecho, A n será igual a A si n es impar e I si n es par .
Ver también
Referencias
- ^ Higham, Nicholas J. (2008), "6.11 Matrices involutivas", Funciones de matrices: teoría y computación , Filadelfia, PA: Sociedad de matemáticas industriales y aplicadas (SIAM), págs. 165-166, doi : 10.1137 / 1.9780898717778 , ISBN 978-0-89871-646-7, Señor 2396439.
- ^ Peter Lancaster y Miron Tismenetsky (1985) La teoría de las matrices , 2da edición, pp 12,13 Academic PressISBN 0-12-435560-9
- ^ Govaerts, Willy JF (2000), Métodos numéricos para bifurcaciones de equilibrios dinámicos , Filadelfia, PA: Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas (SIAM), p. 292, doi : 10.1137 / 1.9780898719543 , ISBN 0-89871-442-7, Señor 1736704.
- ^ a b Bernstein, Dennis S. (2009), "3.15 Facts on Involutory Matrices", Matrix Mathematics (2ª ed.), Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press, págs. 230-231, ISBN 978-0-691-14039-1, MR 2513751.