Las fichas de álgebra son manipuladores matemáticos que permiten a los estudiantes comprender mejor las formas de pensamiento algebraico y los conceptos de álgebra . Se ha demostrado que estos mosaicos proporcionan modelos concretos para los estudiantes de introducción al álgebra de la escuela primaria , secundaria , preparatoria y universitaria . También se han utilizado para preparar a los presos para sus exámenes de Desarrollo Educativo General (GED). [1] Las fichas de álgebra permiten un enfoque algebraico y geométrico de los conceptos algebraicos. Le dan a los estudiantes otra forma de resolver problemas algebraicos además de la manipulación abstracta. [1] El Consejo Nacional de Maestros de Matemáticas ( NCTM ) recomienda un menor énfasis en la memorización de las reglas del álgebra y la manipulación de símbolos del álgebra en su Currículo y Estándares de Evaluación para Matemáticas . De acuerdo con los estándares NCTM 1989 "[r] elalizar modelos entre sí construye una mejor comprensión de cada uno". [2]
Atributos físicos
Las fichas de álgebra se componen de cuadrados pequeños , rectángulos y cuadrados grandes. El cuadrado pequeño, la ficha de la unidad, representa el 1 ; el rectángulo representa la variable ; y el cuadrado grande representa. El lado de la baldosa es igual a la longitud de la teja. El ancho de lael mosaico es el mismo que el lado del mosaico de la unidad. Además, la longitud delEl mosaico a menudo no es un múltiplo entero del lado del mosaico de la unidad.
Los mosaicos constan de dos colores: uno para mostrar valores positivos y otro para mostrar valores negativos . Un par cero es una loseta de unidad negativa y positiva (o una unidad negativa y positiva azulejo, o un negativo y un positivo tile) que juntos forman una suma de cero. [1]
Usos
Sumar enteros
Sumar números enteros es el mejor lugar para comenzar cuando uno quiere acostumbrarse a la idea de representar números con una cantidad de mosaicos. Cualquier número entero se puede representar usando el mismo número de mosaicos en el color correcto. Por ejemplo, para un 6, se pueden seleccionar seis fichas amarillas. Para -3, se seleccionarían tres fichas rojas. Los azulejos suelen ser de doble cara con amarillo en un lado y rojo en el otro. Esto le permite al estudiante captar el poderoso concepto de "tomar lo opuesto" de una negativa, simplemente significando lo contrario. Entonces, una ficha amarilla es positiva y la opuesta (dale la vuelta) es negativa. Esta idea es útil cuando se trata de un - (-2). Para trabajar con una situación compleja como esta, comience con dos -1 (lado rojo) y el extra negativo significa tomar el opuesto o darles la vuelta. - (-2) = 2.
Al agregar mosaicos, uno debe pensar en combinar las cantidades. Si uno agrega 2 + 3, deben combinar dos fichas amarillas con tres fichas amarillas para formar 5 fichas amarillas. La misma idea funciona para combinar números negativos. Si uno va a sumar -3 + -1, debe combinar tres fichas rojas negativas con una ficha roja negativa para obtener cuatro fichas rojas negativas. -3 + -1 = -4.
Cuando uno agrega números positivos a números negativos usando fichas de álgebra, necesitan traer la idea de "eliminación" o "pares cero" cada vez que agregan uno positivo a uno negativo. Esto es cierto para cualquier número de fichas, siempre que la misma cantidad y el signo opuesto se eliminen entre sí (o creen un par cero). Por ejemplo, si uno suma -5 + 7, combinarán cinco fichas rojas con siete fichas amarillas. Uno puede hacer coincidir las fichas rojas y amarillas una a la vez para eliminar cinco de las fichas amarillas para terminar con dos fichas amarillas y cero fichas rojas. -5 + 7 = 2.
Si uno comienza con más fichas amarillas que rojas, la respuesta será positiva. Si uno comienza con más fichas rojas que amarillas, la respuesta será negativa.
Un ejemplo más: -5 + 2. Se combinan cinco fichas rojas con dos fichas amarillas. Las dos fichas amarillas se eliminarán entre sí (o formarán un par cero) con dos de las fichas rojas dejando tres fichas rojas detrás. -5 + 2 = -3.
Restar enteros
Las fichas de álgebra también se pueden usar para restar números enteros . Una persona puede aceptar un problema como y comenzar con un grupo de fichas de seis unidades y luego quitar tres para dejar al estudiante con tres restantes, entonces . Las fichas de álgebra también se pueden utilizar para resolver problemas como, que es equivalente al problema . Ser capaz de relacionar estos dos problemas y por qué dan como resultado la misma respuesta es importante porque demuestra que. Otra forma en que se pueden usar las fichas de álgebra para la resta de números enteros se puede ver a través de problemas en los que se debe restar un número entero positivo de un número entero positivo más pequeño , como. Aquí uno comenzaría con cinco fichas de unidades positivas y luego agregaría cero pares a las cinco fichas de unidades positivas hasta que hubiera ocho fichas de unidades positivas. Agregar los pares de cero no cambiará el valor de las cinco fichas de unidades positivas originales. Luego, el estudiante quitaría las ocho fichas de unidades positivas y contaría el número de fichas de unidades negativas que quedan. Este número de fichas de unidades negativas sería la respuesta, que sería -3. [3]
Multiplicacion de enteros
La multiplicación de números enteros con fichas de álgebra se realiza formando un rectángulo con las fichas. La longitud y el ancho del rectángulo serían los dos factores y luego el número total de mosaicos en el rectángulo sería la respuesta al problema de multiplicación . Por ejemplo, para determinar 3 × 4, se tomarían tres mosaicos de unidades positivas para representar tres filas en el rectángulo y luego habría cuatro mosaicos de unidades positivas para representar las columnas en el rectángulo. Esto llevaría a tener un rectángulo con cuatro columnas de tres mosaicos de unidades positivas, lo que representa 3 × 4. Ahora, el estudiante puede contar el número de fichas de unidad en el rectángulo, que será igual a 12.
Modelar y simplificar expresiones algebraicas
Modelar expresiones algebraicas con fichas de álgebra es muy similar a modelar la suma y resta de números enteros usando fichas de álgebra. En una expresión comose agruparían cinco fichas x positivas juntas y luego tres fichas unitarias negativas juntas para representar esta expresión algebraica. Además de modelar estas expresiones, los mosaicos de álgebra también se pueden usar para simplificar expresiones algebraicas. Por ejemplo, si uno tiene Pueden combinar las fichas x positivas y negativas y las fichas unitarias para formar pares cero para dejar al estudiante con la expresión. . Dado que los mosaicos se colocan justo frente al alumno, es fácil combinar los términos similares o los términos que representan el mismo tipo de mosaico. [3]
La propiedad distributiva se modela a través de las fichas de álgebra demostrando que a (b + c) = (a × b) + (a × c). Uno querría modelar lo que se representa en ambos lados de la ecuación por separado y determinar que ambos son iguales entre sí. Si uno quiere mostrar eso luego harían tres juegos de un mosaico de unidad y un mosaico de x y luego los combinarían para ver si da como resultado , lo que hace. [4]
Resolver ecuaciones lineales usando la suma
La ecuación lineal se puede modelar con un positivo baldosa y ocho fichas de unidad negativa en el lado izquierdo de una hoja de papel y seis fichas de unidad positiva en el lado derecho. Para mantener la igualdad de los lados, cada acción debe realizarse en ambos lados. [1] Por ejemplo, se pueden agregar ocho mosaicos de unidades positivas a ambos lados. [1] Cero pares de fichas de unidad se eliminan del lado izquierdo, dejando una positiva.teja. El lado derecho tiene 14 fichas de unidades positivas, por lo que.
Modelo de mosaico de álgebra de
Modelo de mosaico de álgebra de
Modelo de mosaico de álgebra de
Resolver ecuaciones lineales usando resta
La ecuacion se puede modelar con un positivo baldosa y siete fichas de unidad positiva en el lado izquierdo y 10 fichas de unidad positiva en el lado derecho. En lugar de agregar el mismo número de mosaicos a ambos lados, se puede restar el mismo número de mosaicos de ambos lados. Por ejemplo, se pueden quitar siete fichas de unidades positivas de ambos lados. Esto deja uno positivo baldosa en el lado izquierdo y tres fichas de unidad positiva en el lado derecho, por lo que . [1]
Modelo de mosaico de álgebra de
Modelo de mosaico de álgebra de
Resolver sistemas lineales
Los sistemas lineales de ecuaciones se pueden resolver algebraicamente aislando una de las variables y luego realizando una sustitución. El aislamiento de una variable se puede modelar con mosaicos de álgebra de una manera similar a la resolución de ecuaciones lineales (arriba), y la sustitución se puede modelar con mosaicos de álgebra reemplazando mosaicos con otros mosaicos.
Multiplicar polinomios
Al usar fichas de álgebra para multiplicar un monomio por un monomio , el estudiante primero debe configurar un rectángulo donde la longitud del rectángulo sea el único monomio y luego el ancho del rectángulo sea el otro monomio , similar a cuando uno multiplica números enteros usando álgebra losas. Una vez que los lados del rectángulo están representados por las fichas de álgebra, se intentará averiguar qué fichas de álgebra llenarían el rectángulo. Por ejemplo, si uno tuviera x × x, la única ficha de álgebra que completaría el rectángulo sería x 2 , que es la respuesta.
La multiplicación de binomios es similar a la multiplicación de monomios cuando se usan las fichas de álgebra. También se puede pensar en la multiplicación de binomios como la creación de un rectángulo donde los factores son la longitud y el ancho . [2] Al igual que con los monomios , uno podría configurar los lados del rectángulo para que sean los factores y luego llenar el rectángulo con las fichas de álgebra. [2] Este método de usar fichas de álgebra para multiplicar polinomios se conoce como modelo de área [5] y también se puede aplicar para multiplicar monomios y binomios entre sí. Un ejemplo de multiplicación de binomios es (2x + 1) × (x + 2) y el primer paso que daría el estudiante es colocar dos fichas x positivas y una ficha de unidad positiva para representar la longitud de un rectángulo y luego tomaría una baldosa x positiva y dos baldosas unitarias positivas para representar el ancho . Estas dos líneas de mosaicos crearían un espacio que parece un rectángulo que se puede rellenar con ciertos mosaicos. En el caso de este ejemplo, el rectángulo estaría compuesto por dos fichas x 2 positivas, cinco fichas x positivas y dos fichas unitarias positivas. Entonces la solución es 2x 2 + 5x + 2.
Factorización
Para factorizar usando fichas de álgebra, uno tiene que comenzar con un conjunto de fichas que el estudiante combina en un rectángulo, esto puede requerir el uso de agregar pares de cero para hacer la forma rectangular. Un ejemplo sería cuando a uno se le da una ficha x 2 positiva, tres fichas x positivas y dos fichas unitarias positivas. El estudiante forma el rectángulo colocando el mosaico x 2 en la esquina superior derecha, luego uno tiene dos mosaicos x en el lado derecho del mosaico x 2 , un mosaico x debajo del mosaico x 2 y dos mosaicos unitarios están en la parte inferior esquina derecha. Al colocar las fichas de álgebra a los lados de este rectángulo, podemos determinar que necesitamos una ficha x positiva y una ficha unitaria positiva para la longitud y luego una ficha x positiva y dos fichas unitarias positivas para el ancho . Esto significa que los dos factores son y . [1] En cierto sentido, este es el procedimiento inverso para multiplicar polinomios .
Completando el cuadrado
El proceso de completar el cuadrado se puede lograr usando fichas de álgebra colocando las fichas x 2 y las fichas x en un cuadrado. Uno no podrá crear el cuadrado por completo porque faltará un cuadrado más pequeño del cuadrado más grande que el estudiante hizo con las fichas que se le dieron, que se completará con las fichas de la unidad. Para completar el cuadrado , el estudiante determinaría cuántos mosaicos de unidades se necesitarían para completar el cuadrado que falta. Para completar el cuadrado de x 2 + 6x, se comenzaría con una ficha x 2 positiva y seis fichas x positivas. Luego, colocarían la ficha x 2 en la esquina superior izquierda y luego se colocarían tres fichas x positivas a la derecha de la ficha x 2 y tres fichas x unidades positivas debajo de la ficha x 2 . Para completar el cuadrado, necesitamos nueve fichas de unidades positivas. ahora hemos creado x 2 + 6x + 9, que se puede factorizar en. [6]
Referencias
- ^ a b c d e f g Kitt 2000.
- ^ a b c Stein 2000.
- ^ a b "Escuela de Prentice Hall" (PDF) . Phschool.com. Archivado desde el original (PDF) el 12 de febrero de 2012 . Consultado el 22 de julio de 2013 .
- ^ [1] Archivado el 16 de mayo de 2008 en la Wayback Machine.
- ^ Larson R: "Álgebra 1", página 516. McDougal Littell, 1998.
- ^ Donna Roberts. "Uso de azulejos de álgebra para completar el cuadrado" . Regentsprep.org. Archivado desde el original el 18 de agosto de 2013 . Consultado el 22 de julio de 2013 .
Fuentes
- Kitt, Nancy A. y Annette Ricks Leitze. "Uso de fichas de álgebra caseras para desarrollar conceptos de álgebra y preálgebra". PROFESOR DE MATEMÁTICAS 2000. 462-520.
- Stein, Mary Kay et al., Implementación de instrucción matemática basada en estándares . Nueva York: Teachers College Press, 2000.
- Larson, Ronald E., Álgebra 1 . Illinois: McDougal Littell, 1998.
enlaces externos
- La Biblioteca Nacional de Manipulantes Virtuales