Un carácter algebraico es una expresión formal adjunta a un módulo en la teoría de la representación de álgebras de Lie semisimples que generaliza el carácter de una representación de dimensión finita y es análoga al carácter Harish-Chandra de las representaciones de grupos de Lie semisimplejos .
Definición
Dejar ser un álgebra de mentira semisimple con una subálgebra de Cartan fija y deja que el grupo abeliano consisten en las combinaciones lineales integrales formales (posiblemente infinitas) de , dónde , el espacio vectorial (complejo) de pesos. Suponer quees un módulo de ponderación localmente finito . Entonces el carácter algebraico de es un elemento de definido por la fórmula:
donde la suma se toma sobre todos los espacios de peso del módulo
Ejemplo
El carácter algebraico del módulo Verma con el mayor peso está dado por la fórmula
con el producto asumido sobre el conjunto de raíces positivas.
Propiedades
Los caracteres algebraicos se definen para módulos de peso localmente finitos y son aditivos , es decir, el carácter de una suma directa de módulos es la suma de sus caracteres. Por otro lado, aunque se puede definir la multiplicación de los exponentes formales por la fórmulay extenderlo a sus combinaciones lineales finitas por linealidad, esto no haceen un anillo, debido a la posibilidad de sumas infinitas formales. Por tanto, el producto de los caracteres algebraicos está bien definido sólo en situaciones restringidas; por ejemplo, para el caso de un módulo de mayor peso , o un módulo de dimensión finita. En buenas situaciones, el carácter algebraico es multiplicativo , es decir, el carácter del producto tensorial de dos módulos de peso es el producto de sus caracteres.
Generalización
Los caracteres también se pueden definir casi literalmente para los módulos de peso sobre un álgebra Kac-Moody o Kac-Moody Lie generalizada .
Ver también
Referencias
- Weyl, Hermann (1946). Los grupos clásicos: sus invariantes y representaciones . Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN 0-691-05756-7. Consultado el 26 de marzo de 2007 .
- Kac, Victor G (1990). Álgebras de mentiras de dimensión infinita . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-46693-8. Consultado el 26 de marzo de 2007 .
- Wallach, Nolan R; Goodman, Roe (1998). Representaciones e invariantes de los grupos clásicos . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-66348-2. Consultado el 26 de marzo de 2007 .