En matemáticas , un campo completo es un campo equipado con una métrica y completo con respecto a esa métrica. Los ejemplos básicos incluyen los números reales , los números complejos y los campos completos con valores (como los números p -adic ).
Construcciones
Números reales y complejos
Los números reales son el campo con la métrica euclidiana estándar. . Dado que se construye a partir de la finalización decon respecto a esta métrica, es un campo completo. Extender los reales por su cierre algebraico le da al campo(ya que su grupo absoluto de Galois es). En este caso, también es un campo completo, pero este no es el caso en muchos casos.
p-adic
Los números p-ádicos se construyen a partir de utilizando el valor absoluto p-adic
dónde . Luego usando la factorización dónde no divide , su valoración es el entero . La finalización de por es el campo completo llamados los números p-ádicos. Este es un caso en el que el campo [1] no está algebraicamente cerrado. Por lo general, el proceso consiste en tomar el cierre separable y luego completarlo nuevamente. Este campo generalmente se denota.
Campo de función de una curva
Para el campo de función de una curva , cada punto corresponde a un valor absoluto , o lugar ,. Dado un elemento expresado por una fracción , el lugar mide el orden de desaparición de a menos el orden de desaparición de a . Entonces, la finalización de a da un nuevo campo. Por ejemplo, si a , el origen en la carta afín , luego la finalización de a es isomorfo al anillo de la serie de potencias .
Referencias
- ^ Koblitz, Neal. (1984). Números p-ádicos, análisis p-ádico y funciones zeta (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer New York. págs. 52–75. ISBN 978-1-4612-1112-9. OCLC 853269675 .