En el campo matemático de la teoría de conjuntos , un ultrafiltro es un filtro propio máximo : es un filtro en un conjunto no vacío dado que es un cierto tipo de familia no vacía de subconjuntos deque no es igual a la potencia establecida de (tales filtros se denominan adecuados ) y eso también es "máximo" en el sentido de que no existe ningún otro filtro adecuado enque lo contiene como un subconjunto adecuado . Dicho de otra manera, un filtro adecuadose llama ultrafiltro si existe exactamente un filtro adecuado que lo contiene como un subconjunto, ese filtro adecuado (necesariamente) es sí mismo.
Más formalmente, un ultrafiltro en es un filtro adecuado que también es un filtro máximo encon respecto a la inclusión de conjuntos , lo que significa que no existe ningún filtro adecuado en eso contiene como un subconjunto adecuado . Los ultrafiltros en conjuntos son una instancia especial importante de ultrafiltros en conjuntos parcialmente ordenados , donde el conjunto parcialmente ordenado consiste en el conjunto de potencia y el orden parcial es la inclusión de subconjuntos
Los ultrafiltros tienen muchas aplicaciones en la teoría de conjuntos, la teoría de modelos y la topología . [1] : 186
Definiciones
Dado un conjunto arbitrario un ultrafiltro en es una familia no vacía de subconjuntos de tal que:
- Propio o no degenerado : el conjunto vacío no es un elemento de
- Hacia arriba cerrado en : Si y si es cualquier superconjunto de (es decir, si ) luego
- π −sistema : Si y son elementos de entonces también lo es su intersección
- Si entonces o [nota 1] o su complemento relativo es un elemento de
Las propiedades (1), (2) y (3) son las propiedades definitorias de un filtro enAlgunos autores no incluyen la no degeneración (que es la propiedad (1) anterior) en su definición de "filtro". Sin embargo, la definición de "ultrafiltro" (y también de "prefiltro" y "subbase de filtro") siempre incluye la no degeneración como condición definitoria. Este artículo requiere que todos los filtros sean adecuados, aunque un filtro podría describirse como "adecuado" para enfatizar.
Para un filtro que no es un ultrafiltro, se diría Si y Si partida indefinido en otro lugar. [ cita requerida ] [ aclaración necesaria ]
Un filtro de sub base de es una familia no vacía de conjuntos que tiene la propiedad de la intersección finita (es decir, todas las intersecciones finitas son no vacía). De manera equivalente, una subbase de filtro es una familia de conjuntos no vacía que está contenida en algún filtro (adecuado). El más pequeño (relativo a) se dice que el filtro que contiene una subbase de filtro dada es generado por la subbase de filtro.
El cierre al alza en de una familia de conjuntos es el set
Un prefiltro o base de filtro no está vacío y es adecuado (es decir,) familia de conjuntos que está dirigido hacia abajo , lo que significa que si entonces existe algo tal que De manera equivalente, un prefiltro es cualquier familia de conjuntos cuyo cierre hacia arriba es un filtro, en cuyo caso este filtro se denomina filtro generado por y se dice que es una base de filtro para
El dual en[2] de una familia de conjuntos es el set
Generalización a ultra prefiltros
Una familia de subconjuntos de se llama ultra siy se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes: [2] [3]
- Para cada set existe un conjunto tal que o (o de manera equivalente, tal que es igual a o ).
- Para cada set existe un conjunto } tal que es igual a o
- Aquí, se define como la unión de todos los conjuntos en
- Esta caracterización de " es ultra "no depende del conjunto así que mencionando el set es opcional cuando se usa el término "ultra".
- Para cada set (no necesariamente incluso un subconjunto de ) existe algún conjunto tal que es igual a o
- Si satisface esta condición entonces también lo hace cada superconjunto En particular, un conjunto es ultra si y solo si y contiene como subconjunto algunos conjuntos de ultrafamilia.
Una subbase de filtro que es ultra es necesariamente un prefiltro. [prueba 1]
La propiedad ultra ahora se puede utilizar para definir tanto ultrafiltros como ultra prefiltros:
- Un prefiltro ultra [2] [3] es un prefiltro ultra. De manera equivalente, es una subbase de filtro ultra.
- Un ultrafiltro [2] [3] en es un filtro (adecuado) en eso es ultra. De manera equivalente, es cualquier filtro en que es generado por un ultra prefiltro.
- Interpretación como grandes conjuntos
Los elementos de un filtro adecuado en puede considerarse como "conjuntos grandes (en relación con ) "y los complementos en de un conjunto grande se puede considerar como conjuntos "pequeños" [4] (los "conjuntos pequeños" son exactamente los elementos en el ideal). En general, puede haber subconjuntos deque no son ni grandes ni pequeños, o posiblemente a la vez grandes y pequeños. Un ideal dual es un filtro (es decir, adecuado) si no hay un conjunto que sea a la vez grande y pequeño, o de manera equivalente, si elno es grande. [4] Un filtro es ultra si y solo si cada subconjunto dees grande o pequeño. Con esta terminología, las propiedades que definen un filtro se pueden reiniciar como: (1) cualquier superconjunto de un conjunto grande es un conjunto grande, (2) la intersección de dos (o un número finito) de conjuntos grandes es grande, (3) es un conjunto grande (es decir ), (4) el conjunto vacío no es grande. Diferentes ideales duales dan diferentes nociones de conjuntos "grandes".
Otra forma de ver los ultrafiltros en un equipo de potencia es el siguiente: para un ultrafiltro dado definir una función en configurando Si es un elemento de y de lo contrario. Esta función se denomina morfismo de dos valores . Luegoes finitamente aditivo y, por tanto, un contenido en y cada propiedad de los elementos de es cierto en casi todas partes o falso en casi todas partes. Sin emabargo,normalmente no es contable aditivo y, por tanto, no define una medida en el sentido habitual.
- Ultra prefiltros como prefiltros máximos
Para caracterizar los ultra prefiltros en términos de "máxima", se necesita la siguiente relación.
- Dadas dos familias de conjuntos y la familia se dice que es más burdo [5] [6] que y es más fino y subordinado a escrito o N ⊢ M , si para cada hay algunos tal que Las familias y se llaman equivalentes si y Las familias y son comparables si uno de estos conjuntos es más fino que el otro. [5]
La relación de subordinación, es decir es un preorden, por lo que la definición anterior de "equivalente" forma una relación de equivalencia . Si luego pero lo contrario no es válido en general. Sin embargo, si está cerrado hacia arriba, como un filtro, entonces si y solo si Cada prefiltro es equivalente al filtro que genera. Esto muestra que es posible que los filtros sean equivalentes a conjuntos que no son filtros.
Si dos familias de conjuntos y son equivalentes, entonces ambos y son ultra (resp. prefiltros, subbase de filtro) o de lo contrario ninguno de ellos es ultra (resp. un prefiltro, una subbase de filtro). En particular, si una subbase filtro no es también un prefiltro, entonces es no equivalente al filtro o prefiltro que genera. Si y ambos filtros están activados luego y son equivalentes si y solo si Si un filtro adecuado (o ultrafiltro) es equivalente a una familia de juegos luego es necesariamente un prefiltro (resp. ultra prefiltro). Usando la siguiente caracterización, es posible definir prefiltros (resp. Ultra prefiltros) usando solo el concepto de filtros (resp. Ultrafiltros) y subordinación:
- Una familia arbitraria de conjuntos es un prefiltro si y solo es equivalente a un filtro (adecuado).
- Una familia arbitraria de conjuntos es un ultra prefiltro si y solo es equivalente a un ultrafiltro.
- Un prefiltro máximo en[2] [3] es un prefiltro que satisfaga cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes:
- es ultra.
- es máximo en con respecto a lo que significa que si satisface luego [3]
- No existe un prefiltro debidamente subordinado a [3]
- Si un filtro (adecuado) en satisface luego
- El filtro en generado por es ultra.
Caracterizaciones
No hay ultrafiltros en dónde es el conjunto vacío , por lo que en adelante se supone que
Un filtro de sub base de en es un ultrafiltro en si y solo si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes: [2] [3]
- para cualquier ya sea o
- es una subbase de filtro máxima en lo que significa que si ¿Hay alguna subbase de filtro en luego implica [4]
Un filtro (adecuado) en es un ultrafiltro en si y solo si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes:
- es ultra;
- es generado por un ultra prefiltro;
- Para cualquier subconjunto o [4]
- Entonces un ultrafiltro decide por cada ya sea es "grande" (es decir ) o "pequeño" (es decir ). [7]
- Para cada subconjunto ya sea [nota 1] es en o () es.
- Esta condición se puede reformular como: está dividido por y es dual
- Los conjuntos y son inconexos para todos los prefiltros en
- es un ideal en [4]
- Para cualquier familia finita de subconjuntos de (dónde ), Si luego para algún índice
- En palabras, un conjunto "grande" no puede ser una unión finita de conjuntos que no sean grandes. [8]
- Para cualquier Si luego o
- Para cualquier Si luego o (un filtro con esta propiedad se denomina filtro principal ).
- Para cualquier Si y entonces tampoco o
- es un filtro máximo; eso es, si es un filtro en tal que luego Equivalentemente, es un filtro máximo si no hay filtro en eso contiene como un subconjunto adecuado (es decir, ningún filtro es estrictamente más fino que). [4]
Parrillas y parrillas con filtro
Si entonces su parrilla en es la familia
dónde puede escribirse si es claro por el contexto. Por ejemplo, y si luego Si luego y además, si es una subbase de filtro entonces [9] La parrilla está cerrado hacia arriba en si y solo si que en adelante se asumirá. Es más, así que eso está cerrado hacia arriba en si y solo si
La parrilla de un filtro en se llama rejilla de filtro en[9] Para cualquier es una rejilla de filtro en si y solo si (1) está cerrado hacia arriba en y (2) para todos los conjuntos y Si luego o El funcionamiento de la parrilla induce una biyección
cuyo inverso también está dado por [9] Si luego es una rejilla de filtro en si y solo si [9] o de manera equivalente, si y solo si es un ultrafiltro en [9] Es decir, un filtro enes un filtro-grill si y solo si es ultra. Para cualquier no vacio es un filtro en y una rejilla de filtro en si y solo si (1) y (2) para todos se mantienen las siguientes equivalencias:
- si y solo si si y solo si [9]
Libre o principal
Si es cualquier familia de conjuntos no vacíos, entonces el núcleo de es la intersección de todo lo establecido en :
- [10]
Una familia de conjuntos no vacíos se llama:
- gratis siy arreglado de otra manera (es decir, si),
- principal si
- principal en un punto si y es un conjunto singleton; en este caso, si luego se dice que es director en
Si una familia de conjuntos está arreglado entonces es ultra si y solo si algún elemento de es un conjunto singleton, en cuyo caso será necesariamente un prefiltro. Cada prefiltro principal es fijo, por lo que un prefiltro principal es ultra si y solo si es un conjunto singleton. Un conjunto singleton es ultra si y solo si su único elemento es también un conjunto singleton.
Cada filtro activado que es principal en un solo punto es un ultrafiltro, y si además es finito, entonces no hay ultrafiltros en que no sean estos. [10] Si existe un ultrafiltro gratuito (o incluso una subbase de filtro) en un conjunto luego debe ser infinito.
El siguiente teorema muestra que cada ultrafiltro cae en una de dos categorías: o es gratis o es un filtro principal generado por un solo punto.
Proposición - Si es un ultrafiltro en Entonces los siguientes son equivalentes:
- es fijo, o lo que es lo mismo, no es gratuito.
- es principal.
- Algún elemento de es un conjunto finito.
- Algún elemento de es un conjunto singleton.
- es principal en algún momento de lo que significa para algunos
- no no contener el filtro de Fréchet como un subconjunto.
- es secuencial. [9]
Ejemplos, propiedades y condiciones suficientes
Si y son familias de conjuntos tales que es ultra, y luego es necesariamente ultra. Una subbase de filtroque no es un prefiltro no puede ser ultra; pero, no obstante, es posible que el prefiltro y el filtro generados por ser ultra.
Suponer es ultra y es un conjunto. El rastroes ultra si y solo si no contiene el conjunto vacío. Además, al menos uno de los conjuntos y será ultra (este resultado se extiende a cualquier partición finita de ). Si son filtros activados es un ultrafiltro en y entonces hay algo que satisface [11] Este resultado no es necesariamente cierto para una familia infinita de filtros. [11]
La imagen debajo de un mapa de un ultra set es de nuevo ultra y si es un prefiltro ultra, entonces también lo es La propiedad de ser ultra se conserva bajo biyecciones. Sin embargo, la preimagen de un ultrafiltro no es necesariamente ultra, ni siquiera si el mapa es sobreyectivo. Por ejemplo, si tiene más de un punto y si el rango de consta de un solo punto luego es un prefiltro ultra en pero su preimagen no es ultra. Alternativamente, si es un filtro principal generado por un punto en entonces la preimagen de contiene el conjunto vacío y por lo tanto no es ultra.
El filtro elemental inducido por una secuencia infinita, cuyos puntos son distintos, no es un ultrafiltro. [11] Si luego denota el conjunto que consta de todos los subconjuntos de tener cardinalidad y si contiene al menos () puntos distintos, luego es ultra pero no está contenido en ningún prefiltro. Este ejemplo se generaliza a cualquier número entero y tambien a Si contiene más de un elemento. Rara vez se utilizan ultra sets que no son también prefiltros.
Para cada y cada dejar Si es un ultrafiltro en entonces el conjunto de todos tal que es un ultrafiltro en [12]
Estructura de la mónada
El functor que se asocia a cualquier conjunto el conjunto de de todos los ultrafiltros en forma una mónada llamada mónada ultrafiltro . El mapa de la unidad
envía cualquier elemento al ultrafiltro principal dado por
Esta mónada admite una explicación conceptual como la mónada de codensidad de la inclusión de la categoría de conjuntos finitos en la categoría de todos los conjuntos . [13]
El lema del ultrafiltro
El lema del ultrafiltro fue probado por primera vez por Alfred Tarski en 1930. [12]
El lema / principio / teorema del ultrafiltro [5] - Cada filtro adecuado en un conjunto está contenido en algún ultrafiltro en
El lema del ultrafiltro es equivalente a cada una de las siguientes afirmaciones:
- Para cada prefiltro en un set existe un prefiltro máximo en subordinado a él. [2]
- Cada subbase de filtro adecuada en un conjunto está contenido en algún ultrafiltro en
Una consecuencia del lema del ultrafiltro es que cada filtro es igual a la intersección de todos los ultrafiltros que lo contienen. [14] [nota 2]
Los siguientes resultados pueden probarse utilizando el lema del ultrafiltro. Existe un ultrafiltro gratuito en un set si y solo si es infinito. Cada filtro adecuado es igual a la intersección de todos los ultrafiltros que lo contienen. [5] Dado que hay filtros que no son ultra, esto muestra que la intersección de una familia de ultrafiltros no necesita ser ultra. Una familia de decorados puede extenderse a un ultrafiltro libre si y solo si la intersección de cualquier familia finita de elementos de es infinito.
Relaciones con otras declaraciones bajo ZF
A lo largo de esta sección, ZF se refiere a la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel y ZFC se refiere a ZF con el axioma de elección ( AC ). El lema del ultrafiltro es independiente de ZF . Es decir, existen modelos en los que se cumplen los axiomas de ZF pero no el lema del ultrafiltro. También existen modelos de ZF en los que todo ultrafiltro es necesariamente principal.
Cada filtro que contiene un conjunto singleton es necesariamente un ultrafiltro y se le da la definición del ultrafiltro discreto no requiere más de ZF . Sies finito, entonces cada ultrafiltro es un filtro discreto en un punto; en consecuencia, los ultrafiltros gratuitos solo pueden existir en conjuntos infinitos. En particular, sies finito, entonces el lema del ultrafiltro puede probarse a partir de los axiomas ZF . La existencia de ultrafiltro libre en conjuntos infinitos se puede probar si se asume el axioma de elección. De manera más general, el lema del ultrafiltro se puede probar utilizando el axioma de elección , que en breve establece que cualquier producto cartesiano de conjuntos no vacíos es no vacío. Bajo ZF , el axioma de elección es, en particular, equivalente a (a) el lema de Zorn , (b) el teorema de Tychonoff , (c) la forma débil del teorema de la base vectorial (que establece que todo espacio vectorial tiene una base ), ( d) la forma fuerte del teorema de la base vectorial y otros enunciados. Sin embargo, el lema del ultrafiltro es estrictamente más débil que el axioma de elección. Mientras ultrafiltros libres pueden ser probadas de existir, es no posible construir un ejemplo explícito de un ultrafiltro libre; es decir, los ultrafiltros gratuitos son intangibles. [15] Alfred Tarski demostró que bajo ZFC , la cardinalidad del conjunto de todos los ultrafiltros gratuitos en un conjunto infinito es igual a la cardinalidad de dónde denota el conjunto de poder de [dieciséis]
Bajo ZF , el axioma de elección puede usarse para probar tanto el lema del ultrafiltro como el teorema de Kerin-Milman ; a la inversa, bajo ZF , el lema del ultrafiltro junto con el teorema de Kerin-Milman pueden demostrar el axioma de elección. [17]
Declaraciones que no se pueden deducir
El lema del ultrafiltro es un axioma relativamente débil. Por ejemplo, cada una de las declaraciones en la siguiente lista no se puede deducir de ZF junto con solo el lema del ultrafiltro:
- Una unión contable de conjuntos contables es un conjunto contable.
- El axioma de la elección contable ( ACC ).
- El axioma de la elección dependiente ( ADC ).
Declaraciones equivalentes
Bajo ZF , el lema del ultrafiltro es equivalente a cada una de las siguientes afirmaciones: [18]
- El teorema del ideal primo de Boole ( BPIT ).
- Esta equivalencia se puede demostrar en la teoría de conjuntos ZF sin el axioma de elección ( AC ).
- Teorema de representación de Stone para álgebras de Boole .
- Cualquier producto de espacios booleanos es un espacio booleano. [19]
- Teorema de la existencia del ideal primo booleano: Todo álgebra booleana no degenerada tiene un ideal primo. [20]
- El teorema de Tychonoff de los espacios de Hausdorff : Cualquier producto de compactos espacios de Hausdorff es compacto. [19]
- Si está dotado de la topología discreta para cualquier conjuntoel espacio del producto es compacto . [19]
- Cada una de las siguientes versiones del teorema de Banach-Alaoglu es equivalente al lema del ultrafiltro:
- Cualquier conjunto equicontinuo de mapas con valores escalares en un espacio vectorial topológico (TVS) es relativamente compacto en la topología débil * (es decir, está contenido en algún conjunto débil * compacto). [21]
- El polar de cualquier barrio del origen en un televisor.es un subconjunto débil * compacto de su espacio dual continuo . [21]
- La bola unitaria cerrada en el espacio dual continuo de cualquier espacio normado es débil * compacta. [21]
- Si el espacio normado es separable, entonces el lema del ultrafiltro es suficiente pero no necesario para probar esta afirmación.
- Un espacio topológico es compacto si cada ultrafiltro en converge hasta cierto límite. [22]
- Un espacio topológico es compacto si y solo si cada ultrafiltro enconverge hasta cierto límite. [22]
- La adición de las palabras "y sólo si" es la única diferencia entre esta declaración y la que está inmediatamente arriba.
- El lema de Ultranet: cada red tiene una subred universal. [23]
- Por definición, una red ense llama ultranet o red universal si para cada subconjunto la red está eventualmente en o en
- Un espacio topológico es compacto si y solo si cada ultranet en converge hasta cierto límite. [22]
- Si se eliminan las palabras "y solo si", la declaración resultante sigue siendo equivalente al lema del ultrafiltro. [22]
- Un espacio de convergencia es compacto si cada ultrafiltro en converge. [22]
- Un espacio uniforme es compacto si está completo y totalmente acotado . [22]
- El teorema de compactación de Stone-Čech . [19]
- Cada una de las siguientes versiones del teorema de la compacidad es equivalente al lema del ultrafiltro:
- Si es un conjunto de oraciones de primer orden tal que cada subconjunto finito detiene un modelo , entoncestiene un modelo. [24]
- Si es un conjunto de oraciones de orden cero tal que cada subconjunto finito de tiene un modelo, entonces tiene un modelo. [24]
- El teorema de completitud : sies un conjunto de oraciones de orden cero que es sintácticamente consistente, entonces tiene un modelo (es decir, es semánticamente consistente).
Declaraciones más débiles
Se dice que cualquier enunciado que pueda deducirse del lema del ultrafiltro (junto con ZF ) es más débil que el lema del ultrafiltro. Se dice que una declaración más débil es estrictamente más débil si está bajo ZF , no es equivalente al lema del ultrafiltro. Bajo ZF , el lema del ultrafiltro implica cada una de las siguientes declaraciones:
- El axioma de elección para conjuntos finitos ( ACF ): dado y una familia de conjuntos finitos no vacíos , su productono está vacío. [23]
- Una unión contable de conjuntos finitos es un conjunto contable.
- Sin embargo, ZF con el lema del ultrafiltro es demasiado débil para demostrar que una unión contable de conjuntos contables es un conjunto contable.
- El teorema de Hahn-Banach . [23]
- En ZF , el teorema de Hahn-Banach es estrictamente más débil que el lema del ultrafiltro.
- La paradoja de Banach-Tarski .
- De hecho, bajo ZF , la paradoja de Banach-Tarski se puede deducir del teorema de Hahn-Banach , [25] [26] que es estrictamente más débil que el ultrafiltro Lemma.
- Cada juego se puede ordenar linealmente .
- Cada campo tiene un cierre algebraico único .
- El teorema de la subbase de Alexander . [23]
- Existen ultraproductos no triviales .
- El teorema del ultrafiltro débil: existe un ultrafiltro libre en
- Bajo ZF , el teorema del ultrafiltro débil no implica el lema del ultrafiltro; es decir, es estrictamente más débil que el lema del ultrafiltro.
- Existe un ultrafiltro gratuito en cada conjunto infinito;
- Esta afirmación es en realidad estrictamente más débil que el lema del ultrafiltro.
- ZF por sí solo ni siquiera implica que exista un ultrafiltro no principal en algún conjunto.
Lo completo
La integridad de un ultrafiltroen un powerset es el cardinal κ más pequeño, de modo que hay elementos κ de cuya intersección no está en La definición de un ultrafiltro implica que la integridad de cualquier ultrafiltro powerset es al menos ℵ 0 {\ Displaystyle \ aleph _ {0}} . Un ultrafiltro cuya integridad es mayor que—Es decir, la intersección de cualquier colección contable de elementos de todavía está en —Se llama numerablemente completo o σ-completo .
La integridad de una cantidad numerable completa nonprincipal ultrafiltro en un powerset es siempre un cardenal medible . [ cita requerida ]
Pedidos de ultrafiltros
El pedido de Rudin-Keisler (llamado así por Mary Ellen Rudin y Howard Jerome Keisler ) es un pedido anticipado en la clase de ultrafiltros powerset definidos de la siguiente manera: si es un ultrafiltro en y un ultrafiltro en luego si existe una función tal que
- si y solo si
para cada subconjunto
Ultrafiltros y se denominan equivalentes de Rudin-Keisler , denotados U ≡ RK V , si existen conjuntos y y una biyeccion que satisfaga la condición anterior. (Si y tienen la misma cardinalidad, la definición se puede simplificar fijando )
Se sabe que ≡ RK es el núcleo de ≤ RK , es decir, que U ≡ RK V si y solo si y [27]
Ultrafiltros en
Hay varias propiedades especiales que un ultrafiltro dónde amplía los números naturales que pueden poseer, que resultan útiles en diversas áreas de la teoría de conjuntos y la topología.
- Un ultrafiltro no principal se llama un punto P (o débilmente selectivo ) si para cada partición de tal que para todos existe algo tal que para todos es un conjunto finito para cada
- Un ultrafiltro no principal se llama Ramsey (o selectivo ) si para cada partición de tal que para todos existe algo tal que es un conjunto singleton para cada
Es una observación trivial que todos los ultrafiltros Ramsey son puntos P. Walter Rudin demostró que la hipótesis del continuo implica la existencia de ultrafiltros Ramsey. [28] De hecho, muchas hipótesis implican la existencia de ultrafiltros Ramsey, incluido el axioma de Martin . Saharon Shelah demostró más tarde que es coherente que no hay ultrafiltros de punto P. [29] Por tanto, la existencia de este tipo de ultrafiltros es independiente de ZFC .
Los puntos P se denominan así porque son puntos P topológicos en la topología habitual del espacio βω \ ω de ultrafiltros no principales. El nombre Ramsey proviene del teorema de Ramsey . Para ver por qué, se puede probar que un ultrafiltro es Ramsey si y solo si por cada 2 coloraciones de existe un elemento del ultrafiltro que tiene un color homogéneo.
Un ultrafiltro encendido es Ramsey si y solo si es mínimo en el pedido de Rudin-Keisler de ultrafiltros de potencia no principal. [ cita requerida ]
Ver también
- Filtro (matemáticas) : en matemáticas, un subconjunto especial de un conjunto parcialmente ordenado
- Filtros en topología : uso de filtros para describir y caracterizar todas las nociones y resultados topológicos básicos.
- Red universal
Notas
- ^ a b Las propiedades 1 y 3 implican que y no pueden ambos ser elementos de
- ^ Deje ser un filtro en eso no es un ultrafiltro. Si es tal que luego tiene la propiedad de intersección finita (porque si luego si y solo si ) de modo que por el lema del ultrafiltro, existe algún ultrafiltro en tal que (así que en particular ). Resulta que ∎
- Pruebas
- ^ Supongaes la subbase de filtro que es ultra. Dejar y definir Porque es ultra, existe algo tal que es igual a o La propiedad de intersección finita implica que tan necesariamente que es equivalente a ∎
Referencias
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Otras lecturas
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- Ultrafiltro en nLab