Expresión algebraica

En matemáticas , una expresión algebraica es una expresión construida a partir de constantes enteras , variables y operaciones algebraicas ( suma , resta , multiplicación , división y exponenciación por un exponente que es un número racional ). ^[1] Por ejemplo, $3 x 2 - 2 xy + c$ es una expresión algebraica. Dado que sacar la raíz cuadrada es lo mismo que elevar a la potencia 1/ 2 ,

{\ Displaystyle {\ sqrt {\ frac {1-x ^ {2}} {1 + x ^ {2}}}}}

también es una expresión algebraica.

Por el contrario, los números trascendentales como $π$ y $e$ no son algebraicos, ya que no se derivan de constantes enteras y operaciones algebraicas. Por lo general, Pi se construye como una relación geométrica y la definición de $e$ requiere un número infinito de operaciones algebraicas.

Una expresión racional es una expresión que puede reescribirse a una fracción racional usando las propiedades de las operaciones aritméticas ( propiedades conmutativas y propiedades asociativas de suma y multiplicación, propiedad distributiva y reglas para las operaciones sobre las fracciones). En otras palabras, una expresión racional es una expresión que puede construirse a partir de las variables y las constantes utilizando solo las cuatro operaciones aritméticas . Por lo tanto,

{\ Displaystyle {\ frac {3x ^ {2} -2xy + c} {y ^ {3} -1}}}

es una expresión racional, mientras que

{\ Displaystyle {\ sqrt {\ frac {1-x ^ {2}} {1 + x ^ {2}}}}}

no es.

Una ecuación racional es una ecuación en la que dos fracciones racionales (o expresiones racionales) de la forma

{\ Displaystyle {\ frac {P (x)} {Q (x)}}}

son iguales entre sí. Estas expresiones obedecen las mismas reglas que las fracciones . Las ecuaciones se pueden resolver mediante multiplicación cruzada . La división por cero no está definida, por lo que se rechaza una solución que provoque una división formal por cero.

Terminología

El álgebra tiene su propia terminología para describir partes de una expresión:

1 - exponente (potencia), 2 - coeficiente, 3 - término, 4 - operador, 5 - constante, - variables ${\ Displaystyle x, y}$

En raíces de polinomios

Las raíces de una expresión polinomial de grado n , o equivalentemente las soluciones de una ecuación polinomial , siempre se pueden escribir como expresiones algebraicas si n <5 (ver fórmula cuadrática , función cúbica y ecuación cuártica ). Esta solución de una ecuación se llama solución algebraica . Pero el teorema de Abel-Ruffini establece que las soluciones algebraicas no existen para todas estas ecuaciones (solo para algunas de ellas) si n 5. ${\ Displaystyle \ geq}$

Convenciones

Variables

Por convención, las letras al principio del alfabeto (p . Ej. ) Se utilizan normalmente para representar constantes , y las que se encuentran al final del alfabeto (p. Ej. Y ) se utilizan para representar variables . ^[2] Suelen estar escritos en cursiva. ^[3] ${\ Displaystyle a, b, c}$ ${\ Displaystyle x, y}$ ${\ Displaystyle z}$

Exponentes

Por convención, los términos con la mayor potencia ( exponente ), se escriben a la izquierda, por ejemplo, se escriben a la izquierda de . Cuando un coeficiente es uno, generalmente se omite (por ejemplo, está escrito ). ^[4] Del mismo modo, cuando el exponente (potencia) es uno, (por ejemplo, se escribe ), ^[5] y, cuando el exponente es cero, el resultado es siempre 1 (por ejemplo, se escribe , ya que es siempre ). ^[6] ${\ Displaystyle x ^ {2}}$ ${\ Displaystyle x}$ ${\ Displaystyle 1x ^ {2}}$ ${\ Displaystyle x ^ {2}}$ ${\ Displaystyle 3x ^ {1}}$ ${\ Displaystyle 3x}$ ${\ Displaystyle 3x ^ {0}}$ ${\ Displaystyle 3}$ ${\ Displaystyle x ^ {0}}$ ${\ Displaystyle 1}$

Expresiones algebraicas y otras matemáticas

La siguiente tabla resume cómo las expresiones algebraicas se comparan con varios otros tipos de expresiones matemáticas por el tipo de elementos que pueden contener, de acuerdo con convenciones comunes pero no universales.

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v t mi	Expresiones aritméticas	Expresiones polinomiales	Expresiones algebraicas	Expresiones de forma cerrada	Expresiones analíticas	Expresiones matematicas
Constante	sí	sí	sí	sí	sí	sí
Operación aritmética elemental	sí	Solo suma, resta y multiplicación	sí	sí	sí	sí
Suma finita	sí	sí	sí	sí	sí	sí
Producto finito	sí	sí	sí	sí	sí	sí
Fracción continua finita	sí	No	sí	sí	sí	sí
Variable	No	sí	sí	sí	sí	sí
Exponente entero	No	sí	sí	sí	sí	sí
Raíz n-ésima entera	No	No	sí	sí	sí	sí
Exponente racional	No	No	sí	sí	sí	sí
Factorial entero	No	No	sí	sí	sí	sí
Exponente irracional	No	No	No	sí	sí	sí
Logaritmo	No	No	No	sí	sí	sí
Funcion trigonometrica	No	No	No	sí	sí	sí
Función trigonométrica inversa	No	No	No	sí	sí	sí
Función hiperbólica	No	No	No	sí	sí	sí
Función hiperbólica inversa	No	No	No	sí	sí	sí
Raíz de un polinomio que no es una solución algebraica	No	No	No	No	sí	sí
Función gamma y factorial de un no entero	No	No	No	No	sí	sí
Función de Bessel	No	No	No	No	sí	sí
Funcion especial	No	No	No	No	sí	sí
Suma infinita (serie) (incluida la serie de potencias )	No	No	No	No	Solo convergente	sí
Producto infinito	No	No	No	No	Solo convergente	sí
Fracción continua infinita	No	No	No	No	Solo convergente	sí
Límite	No	No	No	No	No	sí
Derivado	No	No	No	No	No	sí
Integral	No	No	No	No	No	sí

Una expresión algebraica racional (o expresión racional ) es una expresión algebraica que se puede escribir como un cociente de polinomios , como $x 2 + 4 x + 4$ . Una expresión algebraica irracional es una que no es racional, como $\sqrt x + 4$ .

Ver también

Ecuación algebraica
Función algebraica
Expresión analítica
Expresión aritmética
Expresión de forma cerrada
Expresión (matemáticas)
Precálculo
Polinomio
Término (lógica)

Notas

^ Morris, Christopher G. (1992). Diccionario de prensa académica de ciencia y tecnología . Publicaciones profesionales del Golfo. pag. 74 . expresión algebraica sobre un campo.
^ William L. Hosch (editor), The Britannica Guide to Algebra and Trigonometry , Britannica Educational Publishing, The Rosen Publishing Group, 2010, ISBN 1615302190 , 9781615302192, página 71
^ James E. Gentle, Álgebra lineal numérica para aplicaciones en estadística , Editorial: Springer, 1998, ISBN 0387985425 , 9780387985428, 221 páginas, [James E. Gentle página 183]
^ David Alan Herzog, Teach Yourself Visually Algebra , Publisher John Wiley & Sons, 2008, ISBN 0470185597 , 9780470185599, 304 páginas, página 72
^ John C. Peterson, Matemáticas técnicas con cálculo , Publisher Cengage Learning, 2003, ISBN 0766861899 , 9780766861893, 1613 páginas, página 31
^ Jerome E. Kaufmann, Karen L. Schwitters, Álgebra para estudiantes universitarios , Publisher Cengage Learning, 2010, ISBN 0538733543 , 9780538733540, 803 páginas, página 222

Referencias

James, Robert Clarke; James, Glenn (1992). Diccionario de matemáticas . pag. 8. ISBN 9780412990410.

enlaces externos

Weisstein, Eric W. "Expresión algebraica" . MathWorld .

[1] Morris, Christopher G. (1992). Diccionario de prensa académica de ciencia y tecnología . Publicaciones profesionales del Golfo. pag. 74 . expresión algebraica sobre un campo.

[2] William L. Hosch (editor), The Britannica Guide to Algebra and Trigonometry , Britannica Educational Publishing, The Rosen Publishing Group, 2010, ISBN 1615302190 , 9781615302192, página 71

[3] James E. Gentle, Álgebra lineal numérica para aplicaciones en estadística , Editorial: Springer, 1998, ISBN 0387985425 , 9780387985428, 221 páginas, [James E. Gentle página 183]

[4] David Alan Herzog, Teach Yourself Visually Algebra , Publisher John Wiley & Sons, 2008, ISBN 0470185597 , 9780470185599, 304 páginas, página 72

[5] John C. Peterson, Matemáticas técnicas con cálculo , Publisher Cengage Learning, 2003, ISBN 0766861899 , 9780766861893, 1613 páginas, página 31

[6] Jerome E. Kaufmann, Karen L. Schwitters, Álgebra para estudiantes universitarios , Publisher Cengage Learning, 2010, ISBN 0538733543 , 9780538733540, 803 páginas, página 222

[1]