Teoría de la cirugía

En matemáticas , específicamente en topología geométrica , la teoría de la cirugía es una colección de técnicas utilizadas para producir una variedad de dimensión finita a partir de otra de una manera "controlada", introducida por John Milnor  ( 1961 ). Milnor llamó a esta técnica cirugía , mientras que Andrew Wallace la llamó modificación esférica . ^[1] El "cirugía" en una variedad diferenciable M de dimensión , podría ser descrito como la eliminación de un incrustada esfera de dimensión p de M .${\ Displaystyle n = p + q + 1}$^[2] Desarrolladas originalmente para variedades diferenciables (o suaves ), las técnicas quirúrgicas también se aplican avariedades lineales por partes (PL-) y topológicas .

La cirugía se refiere a cortar partes del colector y reemplazarlo con una parte de otro colector, haciendo coincidir a lo largo del corte o límite. Esto está estrechamente relacionado, pero no es idéntico, a las descomposiciones del cuerpo del mango .

Más técnicamente, la idea es comenzar con una variedad M bien entendida y realizar una cirugía en ella para producir una variedad M ′ que tenga alguna propiedad deseada, de tal manera que los efectos sobre la homología , los grupos de homotopía u otras invariantes de la múltiples son conocidos. Un argumento relativamente fácil que utiliza la teoría de Morse muestra que se puede obtener una variedad de otra mediante una secuencia de modificaciones esféricas si y solo si esas dos pertenecen a la misma clase de cobordismo . ^[1]

La clasificación de esferas exóticas por Michel Kervaire y Milnor  ( 1963 ) condujo al surgimiento de la teoría de la cirugía como una herramienta importante en la topología de alta dimensión.

La observación básica que justifica la cirugía es que el espacio puede entenderse como el límite de o como el límite de . En simbolos, ${\ Displaystyle S ^ {p} \ times S ^ {q-1}}$${\ Displaystyle D ^ {p + 1} \ times S ^ {q-1}}$${\ Displaystyle S ^ {p} \ times D ^ {q}}$

donde es el disco q -dimensional, es decir, el conjunto de puntos que están a una distancia uno o menos de un punto fijo dado (el centro del disco); por ejemplo, entonces, es homeomorfo al intervalo unitario, mientras que es un círculo junto con los puntos en su interior.${\ Displaystyle D ^ {q}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {q}}$${\ Displaystyle D ^ {1}}$${\ Displaystyle D ^ {2}}$

Figura 1

Figura 2a

Figura 2b

Figura 2c. Esta forma no se puede incrustar en 3 espacios.