En el campo matemático de la topología geométrica , un mango es una descomposición de una variedad en piezas estándar. Los mangos juegan un papel importante en la teoría Morse , la teoría del cobordismo y la teoría de la cirugía de variedades de alta dimensión. Los mangos se utilizan para estudiar particularmente 3 variedades .
Los mangos desempeñan un papel similar en el estudio de las variedades como los complejos simpliciales y los complejos CW en la teoría de la homotopía , lo que permite analizar un espacio en términos de piezas individuales y sus interacciones.
manijas n -dimensionales
Si es un -variedad dimensional con límite, y
(dónde representa una n-esfera yes una n-ball ) es una incrustación, el-variedad dimensional con límite
se dice que se obtiene de
adjuntando un -mango . EL limite se obtiene de por cirugía . Como ejemplos triviales, tenga en cuenta que colocar un mango en 0 es simplemente tomar una unión disjunta con una bola, y que unir un mango en n a es pegar una bola a lo largo de cualquier componente esférico de . Thom y Milnor utilizaron la teoría de Morse para demostrar que cada variedad (con o sin límite) es un cuerpo de manija, lo que significa que tiene una expresión como una unión de manijas. La expresión no es única: la manipulación de las descomposiciones del cuerpo del mango es un ingrediente esencial de la demostración del teorema del h-cobordismo de Smale y su generalización al teorema del s-cobordismo . Una variedad se llama "k-handlebody" si es la unión de r-handle, para r como máximo k. Esta no es la misma que la dimensión del colector. Por ejemplo, un cuerpo de 2 asas de 4 dimensiones es una unión de asas 0, 1 asas y 2 asas. Cualquier colector es un cuerpo de n-mango, es decir, cualquier colector es la unión de mangos. No es demasiado difícil ver que una variedad es un controlador (n-1) si y solo si tiene un límite no vacío. Cualquier descomposición de mango-cuerpo de un colector define una descomposición compleja CW del colector, ya que adjuntar un mango r es lo mismo, hasta la equivalencia de homotopía, que adjuntar una celda r. Sin embargo, una descomposición del cuerpo del mango proporciona más información que solo el tipo de homotopía del colector. Por ejemplo, una descomposición del cuerpo del mango describe completamente la variedad hasta el homeomorfismo. En la dimensión cuatro, incluso describen la estructura suave, siempre que los mapas adjuntos sean suaves. Esto es falso en dimensiones superiores; cualquier esfera exótica es la unión de un mango 0 y un mango n.
Manijas tridimensionales
Un cuerpo de mango puede definirse como un colector de 3 con límite orientable que contiene 2 discos separados por pares, incrustados adecuadamente, de modo que el colector resultante del corte a lo largo de los discos es una bola de 3. Es instructivo imaginar cómo revertir este proceso para conseguir un cuerpo perfecto. (A veces, la hipótesis de la orientabilidad se elimina de esta última definición, y se obtiene un tipo de cuerpo de manija más general con un mango no orientable).
El género de un mango es el género de su superficie límite . Hasta el homeomorfismo , hay exactamente un cuerpo de asa de cualquier género entero no negativo.
La importancia de los mangos en la teoría de tres variedades proviene de su conexión con las divisiones de Heegaard . La importancia de los mangos en la teoría de grupos geométricos proviene del hecho de que su grupo fundamental es libre.
A veces, sobre todo en la literatura más antigua, un cuerpo de asa tridimensional se denomina cubo con asas .
Ejemplos de
Sea G un gráfico finito conectado incrustado en el espacio euclidiano de dimensión n. Sea V una vecindad regular cerrada de G en el espacio euclidiano. Entonces V es un cuerpo de manija n-dimensional. El gráfico G se denomina columna de V .
Cualquier cuerpo de mango de género cero es homeomórfico al B 3 de tres bolas . Un cuerpo del género con un asa es homeomórfico a B 2 × S 1 (donde S 1 es el círculo ) y se llama toro sólido . Todos los demás mangos pueden obtenerse tomando la suma relacionada con los límites de una colección de toros sólidos.
Ver también
- Manejar la descomposición
Referencias
- Matsumoto, Yukio (2002), Introducción a la teoría Morse , Traducciones de monografías matemáticas, 208 , Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-1022-4, MR 1873233