En matemáticas , un álgebra sobre un campo (a menudo llamado simplemente álgebra ) es un espacio vectorial equipado con un producto bilineal . Así, un álgebra es una estructura algebraica que consta de un conjunto junto con operaciones de multiplicación y suma y multiplicación escalar por elementos de un campo y que satisface los axiomas implicados por "espacio vectorial" y "bilineal". [1]
La operación de multiplicación en un álgebra puede ser asociativa o no , lo que lleva a las nociones de álgebras asociativas y álgebras no asociativas . Dado un número entero n , el anillo de matrices cuadradas reales de orden n es un ejemplo de un álgebra asociativa sobre el campo de números reales bajo la suma de matrices y la multiplicación de matrices, ya que la multiplicación de matrices es asociativa. Espacio euclidiano tridimensional con multiplicación dada por el producto cruzado vectoriales un ejemplo de un álgebra no asociativa sobre el campo de los números reales, ya que el producto cruzado vectorial no es asociativo, satisfaciendo en cambio la identidad de Jacobi .
Un álgebra es unital o unitaria si tiene un elemento de identidad con respecto a la multiplicación. El anillo de matrices cuadradas reales de orden n forma un álgebra unital ya que la matriz identidad de orden n es el elemento identidad con respecto a la multiplicación de matrices. Es un ejemplo de un álgebra asociativa unital, un anillo (unital) que también es un espacio vectorial.
Muchos autores usan el término álgebra para referirse a álgebra asociativa , o álgebra asociativa unital , o en algunas materias como geometría algebraica , álgebra conmutativa asociativa unital .
Reemplazar el campo de escalares por un anillo conmutativo conduce a la noción más general de un álgebra sobre un anillo . Las álgebras no deben confundirse con espacios vectoriales equipados con una forma bilineal , como espacios de producto internos , ya que, para tal espacio, el resultado de un producto no está en el espacio, sino en el campo de los coeficientes.
Deje que K sea un campo, y dejar que A sea un espacio vectorial sobre K equipado con un adicional de operación binaria de A × A a A , que se denota aquí por · (es decir, si x y y son dos elementos de A , entonces x · y es un elemento de A que se llama el producto de x y y ). Entonces A es un álgebra sobre Ksi las siguientes identidades se mantienen para todos los elementos x , y , z en A , y todos los elementos (a menudo llamadas escalares ) un y b en K :