Teorema del isomorfismo de Almgren
El teorema del isomorfismo de Almgren es un resultado de la teoría de la medida geométrica y la topología algebraica sobre la topología del espacio de ciclos planos en una variedad de Riemann.
El teorema juega un papel fundamental en la teoría mínima-máxima de Almgren-Pitts, ya que establece la existencia de familias de ciclos topológicamente no triviales, que fueron utilizadas por Frederick J. Almgren Jr. , Jon T. Pitts y otros para probar la existencia de ( posiblemente singulares) subvariedades mínimas en cada variedad de Riemann. En el caso especial de ciclos de codimensión 1 con coeficientes mod 2, el teorema del isomorfismo de Almgren implica que el espacio de ciclos es débilmente homotopía equivalente al espacio proyectivo real infinito . [1]
Sea M una variedad de Riemann . El teorema del isomorfismo de Almgren afirma que el m-ésimo grupo de homotopía del espacio de ciclos planos k-dimensionales en M es isomorfo al (m + k) -ésimo grupo de homología dimensional de M. Este resultado es una generalización del teorema de Dold-Thom , que se puede considerar como el caso k = 0 del teorema de Almgren. [2]
El isomorfismo se define como sigue. Sea G un grupo abeliano y denote el espacio de ciclos planos con coeficientes en el grupo G. A cada familia de ciclos asociamos un (m + k) -ciclo C como sigue. Arregle una triangulación fina T de . A cada vértice v en la estructura 0 de T asociamos un ciclo f (v). A cada borde E en el esqueleto 1 de T con ∂E = vw asociamos una cadena (k + 1) con el límite f (v) -f (w) de masa mínima. Procedemos de esta manera por inducción sobre el esqueleto de T.La suma de todas las cadenas correspondientes a las caras m-dimensionales de T será el ciclo deseado (m + k) C.Aunque las opciones de triangulación y rellenos de masa mínima no fueron únicos, todos dan como resultado un ciclo (m + k) en la misma clase de homología. [3]
